文档内容
专题 06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：等差型...................................................2
题型二：无理型...................................................5
题型三：指数型...................................................8
题型四：通项裂项为“ ”型.......................................11
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练..........................13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
1 1 1 1
① = ( − )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1 1 1
特别注意k=1, = − ;k=−1, = −
n(n+1) n n+1 n(n−1) n−1 n
②
1 1 1 1 1
如： = ( − )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 −1 2 2n−1 2n+1 2
类型二：无理型
1 1
① = (√n+k−√n)
√n+k+√n k如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“ ”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有 乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为（2）因为 ，
所以 .
所以数列 的前n项和 .
例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在① ， ，② 这三个条件中任
选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
(1)已知数列 的前n项和为 ，______，求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
【详解】（1）选条件①： ， ，
解法一：由 ， ，得 ， ，
当 时， ，
所以 ，
又 也符合 ，所以 ．
解法二：由 ，得 ，
所以数列 是常数列，
所以 ，
所以 ．
选条件②， ， 时， ，
又 ，显然不符合上式，所以 .
（2）选条件①： ，所以 ．
因此 ，
所以 ．
选条件②， ，
当 时， ，
又 ，符合 ，所以 ．
例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
.
(1)判断数列 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列 的前10项和为361，记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)数列 成等比数列，证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）数列 成等比数列，证明如下：
根据 得，
；
， ， ，即数列 成等比数列.
（2）由（1）得， ， ，
故
，
由 ，得 .
令 ，
当 时， 单调递增，且 ，故 ， ， ，
， ，
当 时，
，
综上，知
例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列 的前n项和为
，已知 ，且 ．
(1)求 和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）设 的公差为d（ ）．
因为 ，所以 ，
由 得 ，解得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
．
（2）由（1）得， ，
所以
．题型二：无理型
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当数列 的公差不为0时，记数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列 的公差为d，
由 ， ， 成等比数列，得 ，
即 ，
即 ，解得 或 .
当 时， ；
当 时， .
综上所述， 或 .
（2）由（1）可知，当数列 的公差不为0时， ，
，则 ，
，
所以
，
又 ，所以 .
例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列 中， ，且
成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设数列 的公比为 ，
因为 成等差数列，所以 ，即 ，
又因为 ，则 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由 ，可得 ，
所以
又由 ，可得 ，即 ，
即 ，所以 ，所以不等式的解集为 ．
例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列 的前 项和为
，且对于任意 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前99项和.
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）由题知 .
当 时， ；
当 时， ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，数列 是首项为2，公差也为2的等差数列，
则 ，
所以 .（2）由（1）得， ，
即 .
例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设公差为 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）
，
所以
，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以当 时， .
题型三：指数型
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，且
， ．
(1)求 的通项公式；(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
.
（2）由（1）得： ，
，
， .
例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，
则 ，
，即 ，两边同时除以 ，
得 ，即数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，即 ，所以数列 的通项公式 ；
（2） ，
即 ，
，
，
即 ，随着 的增大， 增大，
所以 的最小值为 ，随着 的增大， 无限接近1，
所以 .
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知 ，
所以 ，
当 时， 满足条件，所以 ；
（2）由于 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，显然 在 上为增函数， ，又，
所以 ；
综上， .
例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列 满足
（ 且 ），且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
当 时， ， 又 ，所以 ，
所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，得证.
题型四：通项裂项为“ ”型
例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为 ，可得 ，
两式相减得 ，
整理得 ，可知数列 是3为首项，2为公差的等差数列，
所以 ．
（2）由（1）可得： ，
则
，
所以 ．
例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前20项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由 ，得 ，而 ，
因此数列 是以1为首项，1为公差的等差数列， ，即 ，
当 时， ，显然 也满足上式，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
因此 ，所以 .
例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足： ，
.
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)令 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）证明：由 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，即
（2）由（1）知： ，所以 .
又 ，
例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列 的前n项和为 ，已知 ，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ①，所以 时， ②．
由 ，得 ，即 ．
因为 各项均为正数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，解得 ， ， ，
所以数列 是公差为2的等差数列，
所以 ．
（2）由（1）得 ．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列 的通项公式为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意得
则
即 ，
故 ．
故选:C．
2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列 中， ，数列
， 的前n项和为 ，则满足 的n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由题意得 ，所以 ，
所以 ，
令 ，整理得 ，解得 ，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号．用他名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过x的最大整数．已知正项数列
的前n项和为 ，且 ，令 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．17 D．18
【答案】B
【详解】当 时， ，
解得 （负值舍去）.
由
可得 ，
所以 ，即 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
故 ，即 ，
所以 ，
所以
，
由 知， ，
所以
故 ，
故选：B
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数 的图象在点
处的切线的斜率为 ，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列 是公差不为 的等差数列， ， ， 成等比数
列 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设正项等差数列 的公差为 ，且， ， 成等比数列，
，即 ，
整理得， ， ， ，
，
即 ，即 ，
，
．
故选： ．
6．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 各项均为正数，首项与公差相等， ，则
的值为（ ）
A．9069 B．9079 C．9089 D．9099
【答案】D
【详解】设等差数列 的公差为 ，因为首项 与公差 相等，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以
所以 ，
故选：D．
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）记数列 前 项和为 ，若1， ， 成等差数列，且数列
的前 项和 对任意的 都有 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】数列 前 项和为 ，若1， ， 成等差数列，
所以 ①，
当 时， .
当 时， ②，
①﹣②得 ，整理得 （常数），
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 .
所以 ，
则 .
由于对任意的 都有 恒成立，
所以 恒成立.
即 ，
当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C
二、多选题
8．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列 的前 项和 满足 ，
，且 ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A项， 由 ，得 ，两式相减，得 ，整理可得 ，所以 ，故A正确；
对于B项，当 时， ，解得 ，所以 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 ，
所以 ，所以， ，显然数列 不是等比数列，故B错误；
对于C项，由B知， ，所以 ，故C错误；
对于D项， ，
所以 ，故D正
确.
故选：AD.
9．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列 满足
， ， 为数列 的前 项和.若对任意实数 ，都有
成立.则实数 的可能取值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ABC
【详解】 ①
②
② ①得 ，
，当 时， ，当 时， ，满足上式，
故 ，
，
故 ，
，
故 .故选：ABC.
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ，且 ，则数列 的前n
项和 .
【答案】
【详解】依题意， ，
所以
.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若
，则数列 的前n项和 .
【答案】
【详解】数列 中，由 ，
得 ，
当 时， ，
两式相减得 ，整理得 ，而 满足上式，
因此 ， ，
所以 .
故答案为：
12．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列 中， ，其前n项和为 ，则
．【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列 满足 ， .
(1)计算 ， ，猜想 的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ，证明详见解析
(2)证明详见解析
【详解】（1）依题意， ， ，则 ，
所以 ，
猜想 .
当 时， 成立，
假设当 时，猜想成立，即 ，
则当 时，
，猜想成立，
所以 .
（2） ，
所以
.
14．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期中）已知数列 为等差数列，数列 为正项等比
数列，且满足 ， ， ．(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
则 ，解得： ，
所以数列 的通项公式为 ；
数列 的通项公式 .
（2） ，
数列 的前 项和 ．
.
15．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知 是数列 的前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 时， ，时 ，
经验证 时满足 ，
；
（2） ，
.
16．（2023·全国·高二专题练习）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ， ，
则当 时有 ，即 ，即 ，
即 ，则 且 为常数列，故 ，即 ，
又 满足上式，即数列 的通项公式为 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
则
，故命题得证．
17．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知 ①，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ②，
① ②得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）因为 ，
所以
.
