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专题 09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型........................................................1
题型一：通项含绝对值.............................................1
题型二：通项含取整函数...........................................2
题型三：通项含自定义符号.........................................3
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练.................4
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求 的前 项和
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前15项和 ．例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列 的前 项和为 ，
， ，且 有最小值.
(1)求数列 的通项公式 及前 项和 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
题型二：通项含取整函数
如：求 的前 项和
例题1．（2023·全国·高三专题练习） 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中
表示不超过x的最大整数，如 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前1000项和.例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 （其中 表示不超过 的最大整数），求数列 的前100项的和 .
题型三：通项含自定义符号
如：记 表示x的个位数字，如
求 的前 项和
例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设 为数列 的前 项和， .数列
前 项和为 且 .数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；（2）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前30项的和.
例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设 为数列 的前 项和， ，
数列 满足 .
(1)求 及 ；
(2)记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前20项和.二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列 满足 ， ，且 ，若
表示不超过 的最大整数（例如 ， ），则 ＝（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列 满足： ， ，若前三项构
成等比数列且满足 ， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ）
（ 表示不超过 的最大整数）.
A．4040 B．4041 C．5384 D．5385
二、填空题
3．（2023·全国·高三对口高考）已知 的前n项和 ，则 .
三、双空题
4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列 ，如果存在最小的一个常数 ，使得对任意的正整
数恒有 成立，则称数列 是周期为 的周期数列.设 ，数列前 项的和分别记为 ，则 三者的关系式 ；已知数列 的通项公式为
，那么满足 的正整数 = .
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比为2的等比数
列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 表示不超过 的最大整数（如： ），求集合
中元素的个数．
6．（2023·全国·高二专题练习）从条件① ；② ；③
中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列 的前 项和为 ， ，_____________.
(1)求 的通项公式；
(2) 表示不超过 的最大整数，记 ，求 的前 项和 .7．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为
常数， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中，公差 ， 是 和 的等比中项；
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前n项和 .10．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知数列 是单调递增的等差数列，设
其前 项和为 ，已知 ，且 成等比数列.
(1)求 的通项公式：
(2)定义 为不大于 的最大整数，求数列 的前 项和.
11．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 为等比数列，并求 ；
(2)对于实数 ， 表示不超过 的最大整数，求 的值.
12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知等比数列 是递减数列，设其前n项和为 ，已知 ，
且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)定义 为不大于x的最大整数，若等差数列 的首项为 ，公差为 的公比，求数列
的前15项和.13．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列 中， ，公差 ，令 ，求数列 的前n
项和 ．
14．（2023·全国·高三专题练习） ， ，记 表示 的个位数字，如
， 求数列 的前20项的和
15．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列 是以2为公差的等差数列， ， ， 成等
比数列，数列 前 项和为 ，且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 表示x的个位数字，如 ， 求数列 的前20项的和
.
