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重难点突破 03 数列与函数综合
一．选择题（共20小题）
1．（2022•齐齐哈尔二模）已知数列 的通项公式 是数列 的最小
项，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：根据题意，设 ，
其导数 ， ，
当 时，有 ，则函数 为增函数，
对于数列 ，其通项公式 ，若 是数列 的最小项，
则函数 的零点在区间 上，则有 ，解可得
，
同时有 ，即 ，解可得 ，
又由 ，则有 ，
当 时， ，
当 时， ，即当 时，有 ，
若 是数列 的最小项，
必有 ， ， ， ，解可得 ，
综合可得： 的取值范围为 ， ；
故选： ．
2．（2022•宣城模拟）已知数列 为等差数列，若 ， 为函数 的两
个零点，则
A． B．9 C．14 D．20
【解答】解： 等差数列 中， ， 为函数 的两个零点，
， ，所以 ， ，或 ， ，
当 ， 时， ， ， ，
所以 ．
当 ， 时， ， ， ，
．
故选： ．
3．（2021•甘肃模拟）数列 的前 项和为 ，若点 在函数 的图象
上，则
A．2021 B．4041 C．4042 D．4043
【解答】解：将点 代入函数 得，
，
又 由 首 项 为 ， 公 差 为 的 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 为 ：，
，解之可得， ，
所以数列 的通项公式即为： ，
．
故选： ．
4．（2021•贺兰县二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，
数列 是首项为1、公差为1的等差数列，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解： 函数 是定义在 上的奇函数，
，且 ，
又 ，
，故周期为2．
令 ，可得 （1） ，
（1） ．
（1） （2） （3） ．
数列 是首项为1、公差为1的等差数列，
，则 ，
故选： ．
5．（2021•秦州区校级三模）已知等比数列 的各项均为正数，公比 ，设
， ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：等比数列 的各项均为正数，公比 ，
，
．
．
故选： ．
6．（2020•咸阳三模）若数列 为等差数列， 为等比数列，且满足： ，
， 函 数 满 足 且 ， ， ， 则
A． B． C． D．
【解答】解：数列 为等差数列， 为等比数列，且满足： ， ，
所以 （9），
函数 满足 且 ， ， ，（9） （7） （5） （3） （1） ．
故选： ．
7．（2023•西城区校级模拟）给定函数f（x），若数列{x }满足 ，则
n
称数列{x }为函数 f（x）的牛顿数列．已知{x }为f（x）＝x2﹣x﹣2的牛顿数列，
n n
，且 a ＝1，x ＞2（n N ），数列{a }的前 n 项和为 S ．则 S ＝
1 n + n n 2023
∈
（ ）
A．22023﹣1 B．22024﹣1
C． D．
【解答】解：由f题意得'（x）＝2x﹣1，
则 ， ，
则两边取对数可得 ．
即a ＝2a ，
n+1 n
所以数列{a }是以1为首项，2为公比的等比数列．
n
所以 ．
故选：A．
8．（2023•江西模拟）已知函数 对任意自变量 都有 ，且函数
在 ， 上单调．若数列 是公差不为0的等差数列，且 ，则的前2023项之和是
A．8092 B．4046 C．2023 D．0
【解答】解： 函数 对任意自变量 都有 ，
函数 的图象关于直线 对称，
函数 在 ， 上单调，数列 是公差不为0的等差数列，且 ，
，
，
则 的前2023项之和为 ．
故选： ．
9．（2021•云南模拟）已知定义域为正整数集的函数 满足 ，
（1） ，则数列 的前99项和为
A． B． C． D．
【解答】解：令 ， ，可得 （1） ，
则 （1） ，
则数列 的首项为1，公差为2的等差数列，
从而 ，
则 ，
则 的前99项和为
，，
，
，
，
故选： ．
10．（2021•全国Ⅱ卷模拟）九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都
有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解 连环需要的
步骤为 ， ，研究发现 是等比数列，已知 （1） ，
（2） ， （3） ，则
A．127 B．128 C．255 D．256
【解答】解：因为 ， （1） ， （2） ， （3） ，
所以 （2） （1） ，
（3） （2） ，
则 ，
所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列，
则 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
11．（2023•乌鲁木齐模拟）已知函数 的定义域为 ，且满足 （1） ，对任意实数 ， 都有 ，若 ，则 中的最大项为
A． B． C． 和 D． 和
【解答】解：根据题意可得 ，
可得 ，
令 ， ，而 （1） ，
可得 ，
，
数列 是以首项为 ，公差 的等差数列，
，
，
，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
中最大项为 和 ，
故选： ．
12．（2023•湖北二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ，
，数列 满足 且 ，则
A． B． C．2 D．3【解答】解： 函数 是奇函数，且满足 ， ，
，
即 ，则 ，
即函数 是周期为6的周期函数，
由数列 满足 且 ，
则 ，
即 ，
则 ，
则 ， ． ，
等式两边同时相乘得 ． ，
即 ，即 ，
即数列 的通项公式为 ，
则 （1），
是奇函数， ，
， （1） ，
即 （1） ，
则 （1） ．故选： ．
13．（2023•润州区校级二模）已知函数 ，记等差数列 的前
项和为 ，若 ， ，则
A． B． C．2023 D．4046
【解答】解：令 ，
因为 ，
所以 为 上的增函数，
因为 ，
所以 是奇函数，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选： ．
14．（2023•泸县校级模拟）已知函数 在 上单调，且函数 的图象关
于 对称，若数列 是公差不为0的等差数列，且 ，则 的前100项
的和为
A． B． C．0 D．50
【解答】解：依题意，由函数 的图象关于 对称，可知函数 的图象关于 对称，
数列 是公差不为0的等差数列， ，
，
，
数列 前100项和为 ．
故选： ．
15．（2022•沙河口区校级模拟）已知函数 ，记等差数列 的前 项和为
，若 ， ，则
A． B． C．2022 D．4044
【解答】解：因为 ， 是奇函数，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
16 ． （ 2021• 铁 岭 一 模 ） 已 知 是 上 的 奇 函 数 ，
（1） ，则数列 的通项公式为
A． B． C． D．
【解答】解： 在 上为奇函数
故 ，代入得： ，
当 时， ．
令 ，则 ，
上式即为： ．
当 为偶数时：
（1）
（1）
．
当 为奇数时：
（1）
（1）
．
综上所述， ．
故选： ．
17．（2021•贵州模拟）对于函数 ，部分 与 的对应关系如表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列 满足： ，且对于任意 ，点 ， 都在函数 的图象上，则A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
【解答】解：由题意可知 ，
（1） ，
（3） ，
（5） ，
（6） ，
所以数列 满足 ， ， ， ， ，
则 ．
故选： ．
18．（2022•临澧县校级二模）已知等比数列 首项 ，公比为 ，前 项和为 ，
前 项积为 ，函数 ，若 ，则下列结论不正确的
是
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的 的最大值为6
【解答】解：函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，由等比数列的性质可得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，故 正确；
因为等比数列 首项 ，公比为 ，所以 ，
则 ，故 为单调递减的等差数列，故 错误；
设 ，
则 为常数，
因为 ，所以 ， 单调递减，
所以 为单调递增的等比数列，故 正确；
因为 ，且 ，
所以 ， ，
所以使得 成立的 的最大值为6，故 正确．
故选： ．
19．（2021•大同模拟）已知各项都为正数的等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，若 ， 为函数 的导函数，则（1）
A． B． C． D．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
， ，
，且 ；
或 （舍 ．
．
，
．
， （1） ，
．
令 ，①
则 ，②
① ②得：
，
．即 （1） ．
故选： ．
20．（2023•山东模拟）已知函数 ，数列 满足 ， ，，则
A．0 B．1 C．675 D．2023
【解答】解：函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 为奇函数，
又 为 上的增函数，
因为 ，所以 ，
，
因为数列 满足 ， ，
所以 ，
故选： ．
二．多选题（共2小题）
21．（2023•安庆二模）牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，
它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数 和数列 ，若
，则称数列 为牛顿数列．已知函数 ，数列
为牛顿数列，且 ， ， ，则下列结论中正确的是
A．
B．C． 是等比数列
D．
【解答】解：对于 ，由 得， ，解得 ，
故 正确；
对于 ，因为 ，所以 ，
所以由 可得 ．
由 得， ，
一方面， ，另一方面， ，
因此 ，故 错误，
对于 ，于是 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，故 ．故 正确．
故选： ．
22．（2023•济南三模）若 为函数 的导函数，数列 满足 ，
则称 为“牛顿数列”．已知函数 ，数列 为“牛顿数列”，其中 ，
则A．
B．数列 是单调递减数列
C．
D．关于 的不等式 的解有无限个
【解答】解： ． ，则 ，则 ，
故 错误，
．由 ， ，得 ，
， ，
， ， ，
， ，即 ， ， ，即 ，
即 ，即数列 是单调递减数列，故 正确，
． ， ，由 ，得 ，
， ，
令 ，则 ，
则 是公比为2的等比数列， ， ，则 ，即 ，
即 ，即 ，
下面用数学归纳法证明： ，
当 时， ，命题成立，
假设当 时，成立，即 ，
则当 时， ，
，命题也成立．
命题成立．
综上 成立．故 正确．
． ， ， ， 即 ，
， 不等式的解有无限个，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共7小题）
23．（2022•碑林区校级一模）定义函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，
例如 ， ， ，当 ， 时， 的值域为 ，记集合
中元素的个数为 ，则 的值为 ．
【解答】解：根据题意，设 ，而 表示不超过 的最大整数，则
则函数 中在各区间中的元素个数是：1，1，2，3， ， ；
则有 ，
则
故答案为： ．
24．（2023•九江模拟）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛
顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数 ，若数列 满足
，则称数列 为牛顿数列，若函数 ， ，且 ，
则 ．
【解答】解： ， ，
，
，
即 ，又 ，
数列 为等差数列，公差为 ，首项为1，．
故答案为： ．
25．（2023•南海区校级模拟）函数 的图像在点 ， 处的切线与 轴交点
的横坐标为 ，且 ，则 2 1 ．
【解答】解： 对函数求导得到 ，
函数 的图像在点 ， 处的切线的斜率是 ，
在点 ， 处的切线方程为： ，
切线与 轴交点的横坐标为 ，
当 时，解得 ， ，
数列 是一个首项为32，公比为 的等比数列，
数列 的通项公式为 ，
．
故答案为：21．
26．（2022•徐汇区校级模拟）已知函数 ，数列 满足
，若数列 单调递增，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： 数列 是递增数列，
又 ， ，
且 （7） （8）， ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
27．（2022•上饶模拟）已知函数 有两个零点1和2，若数列
满足： ，记 ，且 ， ，则数列 的通项公式
．
【解答】解：由题意得： 的两个根为1和2，
由韦达定理得： ，
所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 为等比数列，公比为2，首项为3，
所以 ．
故答案为： ．
28．（2023•玉林三模）已知函数 ，若函数 ，数列 为等差数列， ，则 4 4 ．
【解答】解：由题意，可得 ，
设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，
则 ，
解得 ，
则 （4） ，
根据等差中项的性质，可得 ，
则
，
同理可得， ，
，
，
，
．
故答案为：44．
29．（2023•宝山区校级模拟）已知函数 有两个零点1，2，数列 满足，若 ，且 ，则数列 的前 2023 项的和为
．
【解答】解： 函数 有两个零点1，2，
，
，
，
，
为首项为 ，公比为2的等比数列，
数列 的前2023项的和为 ，
故答案为： ．
四．解答题（共1小题）
30．（2023•凉山州模拟）已知对于任意 ，函数 在点 ， 处切线
斜率为 ，正项等比数列 的公比 ，且 ，又 与 的等比
中项为2．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若 对任意 恒成立，求 取值范围．【解答】解：（1）由题意 ， ，
或 （舍 ，
则 ；
（2） ，
当 或2时取“ ”，
，即 的取值范围是 ， ．
