文档内容
跟踪训练 02 等差数列
一．选择题（共15小题）
1．已知等差数列 的前 项和为 ，且前3项的和为 ，最后3项的和为57，
，则 的值为
A．9 B．10 C．11 D．20
【解答】解：依题意， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
2．已知等差数列 ，其前 项和 满足 ，则
A．4 B． C． D．3
【解答】解： 是等差数列，其前 项为 ，
，
， ．
故选： ．
3．《莱因德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的
题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，则最大一份与最小一
份和为
A．30 B．35 C．40 D．60【解答】解：设每人所得面包个数成等差数列 ，
由题可得： ，
可得 ．
故选： ．
4．已知等差数列 ，记 为数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的
公差
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：在等差数列 中， 为数列 的前 项和， ，
由 可得 ，即 ，
解得 ．
故选： ．
5．已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得
为整数的正整数 的个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 等 差 数 列 中 ，
，
同理： ，
所以 ，要使 为整数，则 为24的因数，由于 ，故 可以为2，3，4，6，8，12，
24，故满足条件的正整数 的个数为7个，
故选： ．
6．等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的最大值为
A．60 B．45 C．30 D．15
【解答】解：因为 ， ，
则 ，
解得 ，
所以 ，
令 ，解得 ，
因为 是等差数列，所以当 ， 时，
， ，当 ， 时， ，
所以 的最大值为 ．
故选： ．
7．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【 解 答 】 解 ： 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 因 为 ， ， 得
，即 ，解得 ，
所以 ，则 ．
故选： ．
8．已知等差数列 中的各项均大于0，且 ，则 的最小值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解： 等差数列 中的各项均大于0，且 ，
或 （舍去）．
设等差数列 的公差为 ，则 ．
则 ．
设 ， ．
令 ，求得 ， 或 ．
在区间 上， ，在 ， 上， ，在 ， 或 或 上，
，
则当 时 ， 取得最小值，且 ，
故 的最小值为 ．
故选： ．
9．已知等差数列 中， ， ，则数列 的前5项和为
A．35 B．40 C．45 D．52【解答】解：数列 是等差数列，设公差为 ，
， ，
，
解得： ， ，
前5项和 ．
故选： ．
10．已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取得最大值时， 的
取值为
A．7 B．9 C．16 D．18
【解答】解：因为等差数列 中， ， ，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
由 为等差数列，得 时， ； 时， ，
所以当 时， 取得最大值．
故选： ．
11．已知 ， ， 成等差数列，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． ， ， D．
【解答】解：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
即 ，又因为 ， ， ，
即有 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 ，又 ，
因此 ，
所以 的取值范围是 ．
故选： ．
12．等差数列 中， 是数列 的前 项和， 是自然对数的底数，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：依题意， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
13．记等差数列 的公差为 ，若 是 与 的等差中项，则 的值为
A．0 B． C．1 D．2
【解答】解：等差数列 的公差为 ， 是 与 的等差中项，
，，
解得 （舍负）．
故选： ．
14．中位数为1010的一组数构成等差数列 ，其末项为2024，则数列 的首项
为
A． B． C． 或 D．3或
【解答】解：若这组数的个数为奇数，设为 个，则 ， ，
又 ，所以 ；
若这组数的个数为偶数，设为 个，则 ， ，
又 ，所以 ．
综上可得： ．
故选： ．
15．若 是等差数列 的前 项和， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．已知 为等差数列，前 项和为 ， ，公差 ，则
A．B．当 戓7时， 取得最小值
C．数列 的前10项和为50
D．当 时， 与数列 共有671项互为相反数
【解答】解：因为 为等差数列， ，公差 ，
故 ， ，
，显然正确；
：因为 ， ， ，数列递减， 没有最小值， 错误；
： 数 列 的 前 10 项 和 为
， 正确；
时，令 ，可得 ，
因为 ，故 为偶数且 ， ，即有670项互为相反数， 错
误．
故选： ．
17．设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列结论正确的是
A．数列 为单增数列 B．数列 为单减数列
C．对任意正整数 ，都有 D．对任意正整数 ，都有
【解答】解：在等差数列 中，因为 ， ，
可得 ， ，即 且 ，即 且 ，
所以 ， ，且 ，此时数列为递减数列，
可得对任意正整数 ，都有 ．
故选： ．
18．数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是
A．已知 ，则使得 ， ， 成等比数列的充要条件为
B．若 为等差数列，且 ， ，则当 时， 的最大值为2022
C．若 ，则数列 前5项的和最大
D．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则
【解答】解： ：因为 ，使得 ， ， 成等比数列等价于
，
即 ，解得 ，故 错误；
：因为 为等差数列，且 ， ，
由等差数列的性质可得： ，
所以 ，故 错误；
：因为 ，所以 ， ，
所以 为等差数列，的前 项和为 ，
由二次函数的性质可得，当 时， 取得最大值，故 正确；
：在等差数列 中，设 ．
因为 ，所以 ，且 ．
由等差数列的性质可知： ， ， ， 也构成等差数列，
所以 ， ， ， ，
解得 ， ， ， ，所以 ．故 正确．
故选： ．
19．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 等差数列 满足 ， ，
由等差数列前 项和公式有 ，解得 ，
， ，
对于 ， ，故选项 正确；
对于 ， ，当 取与 最接近的整数即15或16时， 最
大， ，故选项 正确；
对于 ， ，故选项 错误；
对于 ， ，故选项 错误．
故选： ．20．已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得
为整数的正整数 的值为
A．2 B．3 C．4 D．14
【解答】解：由题意可得 ，
则 ，
由 为整数，可知 为15的正约数，则 的可能取值有3，5，15，
因此，正整数 的可能取值有2，4，14．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 14 4 ．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
则 解得 ， ，
所以 ．
故答案为：144．
22．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
实数 的值是 5 ．
【解答】解：依题意 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
两式相减得 ， ，则 ， ，
，
所以 ，解得 ．
故答案为：5．
23．等差数列 中， ，则 的前9项和为 9 0 ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
又因为在等差数列 中， ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故答案为：90．
24．在等差数列 中， ，则 3 0 ．
【解答】解：由题意及等差中项的性质，
可知 ，
故 ，
解得 ．
故答案为：30．
25．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 5 ．
【解答】解：因为等差数列 的前 项和为 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ．
故答案为：5．
四．解答题（共3小题）
26．已知正项数列 ，其前 项和 满足 ．
（1）求证：数列 是等差数列，并求出 的表达式；
（2）数列 中是否存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列？
请说明理由．
【解答】解：（1）证明：依题意，正项数列 中， ，即 ，
当 时， ，即 ，
整理，得 ，又 ，
数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
， 数列 是正项数列， ；
（2）数列 中不存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列．
理由如下：
当 时， ，
，即 ，都有 ，
，
假设数列 中存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列，则 ，即 ，
两边同时平方，得 ，
，
整理得 ， ，不成立，故假设错误，
数列 中不存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列．
27．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式以及 ；
（2）求 的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，设等差数列的公差为 ，
则 ，即 ，解得 ， ，
所以 ，
；
（2）由（1）知， ，
是一条开口向上的抛物线，
所以当 时， 取到最小值，且最小值为 ，
所以 的最小值为 ．
28．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；（2）求 的最小值及取得最小值时 的值．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，得 ， ，解得 ， ，
所以 ．
（2）方法一：由 知 是递增数列，
当 时， ；当 时， ．
所以 ，
所以当 时， 最小，最小值为 ．
方法二： ，
又 ，所以当 时， 最小，最小值为 ．
