文档内容
第 08 讲 不等式（4 个知识点+4 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号
表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、
“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
知识点2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向
不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一
定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字
母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
知识点3．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等
号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
知识点4．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空
心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在
x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立
知识复习
一．不等式的定义（共9小题）
1．（2023春•灌云县月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们
往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高 的范围可表
示为A． B． C． D．
【分析】根据不等式的定义解决此题．
【解答】解：由题意可得， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
2．（2022春•莱州市期末）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中是不等式的有 3 个．
【分析】用“ ”或“ ”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“ ”号表示不等关
系的式子也是不等式．据此可得答案．
【解答】解：不等式有：① ，② ，⑤ ，共有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查不等式的定义，用“ ”或“ ”号表示大小关系的式子，叫做不
等式，用“ ”号表示不等关系的式子也是不等式．
3．（2022春•滨海县月考）下列数学表达式中：① ．② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ 中，不等式有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不等式的定义，不等号有 ， ， ， ， ，选出即可．
【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如 ， ， ， ， ，
则不等式有：①②⑤⑥，共4个．
故选： ．
【点评】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解
此题的关键．4．（2023春•阜新期中）“ 的3倍与2的差不大于 ”所对应的不等式是
．
【分析】根据不等式的定义即可解答．
【解答】解：“ 的3倍与2的差不大于 ”所对应的不等式是： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
5．（2023春•商水县期末）某日我市最高气温是 ，最低气温是 ，则当天气温
的变化范围是 ．
【分析】根据最高气温和最低气温得出 的范围即可．
【解答】解： 某日我市最高气温是 ，最低气温是 ，
当天气温 的变化范围是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的定义，能理解最高气温和最低气温的意义是解此题的关键．
6．（2022春•莱山区期末）（1）【阅读理解】“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应
的点到原点的距离．所以，“ ” 可理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离不
大于2；则：
①“ ”可理解为 数 在数轴上对应的点到原点的距离大于 2 ．
②请列举3个不同的整数 ，使不等式 成立．列举的 的值是 、 、 ．
我们定义：形如“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 为非负数）
的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对
值不等式的解集．（2）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式 的解集是 ；绝对值不等式 的解集是
或 ．
则，①不等式 的解集是 ；
②不等式 的解集是 ．
（3）【灵活运用】不等式 的解集是 ．
【分析】（1）①由题可知 可以理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离大于
2；
②使不等式 成立的整数 有0，1， ；
（2）①根据题意可求 的解集为 ；
②根据题意可求 或 ，解得 或 ；
（3）根据题意可求 ，解得 ．
【解答】解：（1）①由题意可知 可以理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离
大于2，
故答案为数 在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
②使不等式 成立的整数 有0，1， ，
故答案为0，1， ；
（2）①根据题意可求 的解集为 ，
故答案为 ；
②根据题意可求 或 ，或 ，
故答案为 或 ．
（3） ，
解得 ，
故答案为 ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法；理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元
一次不等式组求解是解题的关键．
7．（2022春•灌南县校级月考）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这
种药品的剂量范围是 ，则 ， 的值分别为
用法用量：口服，
每天 ，分
次服用．
规格：
□□□□□□
贮藏：
□□□□□□
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为 之间，若每天服用3次，则所需剂量为
之间，所以，一次服用这种药的剂量为 之间．
【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量为 之间，
若每天服用3次，则所需剂量为 之间，
所以，一次服用这种药的剂量为 之间，
所以 ， ．故选： ．
【点评】本题考查了对有理数的除法运算的实际运用．解题的关键是理解题意的能力，首
先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
8．（2021春•方城县期中）在数轴上有 ， 两点，其中点 所对应的数是 ，点 所对
应的数是1．已知 ， 两点的距离小于3，请你利用数轴．
（1）写出 所满足的不等式；
（2）数 ，0，4所对应的点到点 的距离小于3吗？
【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
得出 ，
（2）由（1）得：到点 的距离小于3的数在 和4之间，
在 ，0，4三个数中，只有0所对应的点到 点的距离小于3．
【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适
中．
9．有理数 ， 在数轴上如图，用不等号填空．
（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） ；（5）
．
【分析】由数轴得到 ，据此判断各式的大小．
【解答】解：由数轴可得 ，
（1）两个负数相加，和仍为负数，故 ；
（2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故 ；
（3）两个负数的积是正数，故 ；
（4）正数大于一切负数，故 ；
（5）由数轴离原点的距离可得， ．
【点评】解答此题要明确：两个负数的和是负数，两个负数的积是正数，两个负数比较大
小，绝对值大的反而小等．二．不等式的性质（共9小题）
10．（2023春•嘉祥县期末）下列判断不正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【分析】利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
【解答】解： 、若 ，则 ，此选项正确；
、若 ，则 ，此选项正确；
、若 ，则 ，没有注明 ，此选项错误；
、若 ，则 ，此选项正确．
故选： ．
【点评】此题考查不等式的性质：性质 1、不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同
一个式，不等号的方向不变．
性质2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，正数不等号的方向不变．
性质3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变改变．
11．（2023春•万州区校级期中）由不等式 可以推出 ，那么 的取值范围是
．
【分析】根据不等式性质3得到 的范围．
【解答】解： 不等式 的解集为 ，
，
即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同
一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数
不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．（2023春•靖西市期中）由不等式 得到 ，试化简 ．
【分析】首先求出 的取值范围，然后代入化简即可．【解答】解：由不等式 得到 ，
，即 ，
．
【点评】此题考查了不等式的性质，绝对值的意义，整式的加减运算，解题的关键是根据
题意求出 的取值范围．
13．（2024春•南山区校级期中）如图，数轴上的点 与点 所表示的数分别为 ， ，
则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【分析】由图可知， ，根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：由图可知， ，则有
、 ，成立，本选项符合题意；
、 ，原不等式不成立，本选项不符合题意；
、 ，原不等式不成立，本选项不符合题意；
、 ，原不等式不成立，本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查数轴和不等式的性质，通过数轴判断出 ，并掌握不等式的性质是解
答本题的关键．
14．（2023•莲都区期末）若 ， ，则下列不等式不成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断，即可求解．
【解答】解： ． ， ， ，故该选项正确，不符合题意；
． ， ， ，故该选项正确，不符合题意；
． ， ， ，故该选项不正确，符合题意；
． ， ， ，故该选项正确，不符合题意．故选： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
15．（2023春•榆树市校级期中）若 ，则 ．（填“ ”或“ ”
或“ ” ．
【分析】根据不等式的性质，进行计算判断即可．
【解答】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边同时乘（或除）一个负数时，不
等号方向要改变是解题的关键．
16．（2023春•海淀区期末）对于两个关于 的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个
不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联“的，例如不等式 和不等式 是“互
联“的．
（1）请判断不等式 和 是否是“互联“的，并说明理由；
（2）若 和 是“互联”的，求 的最大值；
（3）若不等式 和 是“互联”的，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）根据新定义，不等式 和 ，解集为： ，这两个不等式
是“互联“的．（2）不等式解集， ，是“互联”的 ，进而求解．（3）
不等式解集： ，是“互联”的， ，进而求解．
【解答】解：（1） ，
，
，，
故不等式的解集为： ，
有且仅有 时，使得这两个不等式同时成立，
不等式 和 是否是“互联“的．
（2） ，
，
不等式解集： ，
是“互联”的，要包含 1但不包含2，
即： ，
解得： ．
的最大值：4．
（3） ，
，
，
，
，
和 关于1对称，
不等式解集： ，
是“互联”的，
， ，
解得： ．
【点评】本题考查新定义两个不等式是“互联“，只能包含一个整数使得这两个不等式同
时成立，解题的关键是不等式的两端只包含一个整数，对端点的包含情况分析．17．（2022•长兴县期末）如果 ，那么 （用“ ”或“ ”填空）．
【分析】根据不等式的性质分析．
【解答】解：在不等式 的两边同时乘以 ，不等号的方向改变，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边
乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
18．（2023春•来凤县期末）【提出问题】已知 ，且 ， ，试确定
的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如 取表示另一个量如 ，然后根据题中已知量
的取值范围，构建另一量 的不等式，从而确定该量 的取值范围，同法再确定另一未
知量 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解： ， ．
又 ， ， ．
又 ， ， ①
同理得 ②
由① ②得 ．
的取值范围是 ．
【尝试应用】已知 ，且 ， ，求 的取值范围．
【分析】先根据已知条件用一个量如 取表示另一个量如 ，然后根据题中已知量 的取
值范围，构建另一量 的不等式，从而确定该量 的取值范围，同法再确定另一未知量
的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解答】解： ，
．又 ，
，
．
又 ，
， ①
同理得 ②
由① ②得 ．
的取值范围是 ．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一
个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母
的式子，不等号的方向不变．
三．不等式的解集（共10小题）
19．（2023春•长春期末）如果 是某不等式的解，那么该不等式可以是
A． B． C． D．
【分析】根据 即可得出答案．
【解答】解： ，
是不等式 的解．
故选： ．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解本题的关键．
20．（2022•渌口区期末）若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】先解不等式，然后根据解集为 ，可得结论．【解答】解： ，
不等式组的解集为 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
21．（2023春•南岗区校级期末）不等式 的解集为 ，则 的取值
范围是 ．
【分析】根据不等式的解集确定出 的范围即可．
【解答】解： 不等式 的解集为 ，
，
解得： ，
故答案为：
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．
22．（2023春•蓬莱区期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等
式 的解集是
A． B． C． D．
【分析】由已知不等式的解集确定出 与 的值，代入所求不等式计算即可得到结果．
【解答】解： 关于 的不等式 的解集是 ，
，即 ，且 ，
代入不等式 得： ，
解得： ．故选： ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式．能够正确求出 、 的值是解题的关键．
23．（2023•罗定市二模）若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范
围是 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于 的不等式，再求出不
等式的解集即可．
【解答】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
关于 的一元一次不等式组无解，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大
小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（2023春•沂水县期末）下列说法正确的是
A．由 ，得
B．由 ，得
C．若 ，则 为有理数）
D．不等式 的解一定是不等式 的解
【分析】根据不等式的性质求解．
【解答】解： ，则 ，故 是不符题意的；
：由 ，则 ，故 是不符合题意的；：当 时， ，故 是不符合题意的；
：不等式 的解都是 的解，故 是符合题意的；
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．
25．（2023春•鹿邑县期末）已知题目：解关于 的不等式组 ，其中
“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处数字
的取值范围是 □ ．
【分析】根据不等式组无解得出 □ ，进而求出答案．
【解答】解：关于 的不等式组 中，
不等式 的解集为 ，
不等式 □的解集为 □，
由于不等式组无解，
□ ，
解得□ ，
故答案为：□ ．
【点评】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式
组解集的定义是正确解答的前提．
26．（2023春•荔城区校级月考）已知不等式 ．
（1）若它的解集是 ，求 的取值范围；
（2）若它的解集与不等式 的解集相同，求 的值．
【分析】（1）首先移项可得 ，合并同类项可得 ，再两边同时除以 ，当 时，可得 ；
（2）首先解不等式 ，可得解集，再解 ，再两边同时除以 ，
当 时，可得 ，进而得到方程 ，再解方程即可．
【解答】解： ，
，
，
（1） 它的解集是 ，
，
解得 ；
（2） ，
解得： ，
它的解集是 ，
，且 ，
解得 ．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是要注意分类讨论： 或 ．
27．（2023春•江汉区月考）关于 的两个不等式① 与②
（1）若两个不等式的解集相同，求 的值；
（2）若不等式①的解都是②的解，求 的取值范围．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出
的值即可；
（2）根据不等式①的解都是②的解，求出 的范围即可．
【解答】解：（1）由①得： ，由②得： ，
由两个不等式的解集相同，得到 ，
解得： ；
（2）由不等式①的解都是②的解，得到 ，
解得： ．
【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
28．（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式 和 ，两个不等式
的解集相同，则称 与 为同解不等式．
（1）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，求 的值；
（2）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，其中 ， 是正
整数，求 ， 的值；
（3）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，
试求关于 的不等式 的解集．
【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解；
（2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解；
（3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式．
【解答】解：（1）解关于 的不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
由题意得： ，
解得： ．
（2）解不等式 得： ，
不等式 得： ，
，，
， 是正整数，
为1或4或2，
， 或； ， 或 ， ．
（3）解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
，
，
，
，且 ，
，
的解为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键．
四．在数轴上表示不等式的解集（共9小题）
29．（2023春•武昌区期末）关于 的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不
等式的解集是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可．
【解答】解： 处是空心圆点，且折线向右，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“小于向左，大于向右”是
解答此题的关键．
30．（2023春•海沧区期末）关于 的不等式的解集如图所示，则该不等式的解集为．
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法 ， 向右画； ， 向左画），可得答案．
【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了在数轴表示不等式的解集，运用数形结合的思想是解答此题的关键．
31．（2023春•原阳县期中）“不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等
式组的解集”如果一个关于 的一元一次不等式组由三个一元一次不等式组成，它的解集
表示在数轴上如图所示，那么这个不等式组的解集为 ．
【分析】找到三个解集的公共部分即可．
【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是不等式组的解集是所
有不等式解集的公共部分即可．
32．（2023春•文山州期末）将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：不等式组 的解集为无解，
在数轴上表示为：
故选： ．
【点评】本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出
不等式组的解集是解此题的关键．
33．（2022•垫江县校级期末）不等式 在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】把已知解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式 在数轴上表示为：
．
故选： ．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来
， 向右画； ， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面
表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几
个．在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表
示．
34．（2023春•江门期末）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是： ▲ ．已知关于 的不等式 ▲ 的解集在数轴上如图表示，则 的值是 ．
【分析】根据新定义运算得出关于 的不等式，求出关于 的不等式的解集，再根据数轴
上表示不等式解集得出含有 的方程，求解即可．
【解答】解：由新定义运算的定义可知，关于 的不等式 ▲ ，即 ，
解得 ，
由在数轴上表示的不等式解集可知，这个不等式的解集为 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，实数的运算以及整式的加减，掌握在数轴
上表示不等式解集的方法以及解一元一次不等式是正确解答的前提．
35．（2023春•大余县期末）解不等式组 并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由不等式①得： ，
由不等式②得： ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
不等式组的解集为 ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
36．（2023春•宝应县期末）整式 的值为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若 的取值范围如图所示，求 的非正整数值．
【分析】（1）把 代入代数式中进行计算便可；
（2）根据数轴列出 的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1） ，
的值为 ；
（2）由数轴知： ，
即 ，
解得 ，
为非正整数，
， 或 ．
【点评】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第
（2）题关键是根据数轴列出 的不等式．
37．（2023春•罗庄区期末）计算．
（1） ；
（2）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）利用代入消元法解答即可；
（2）分别求得不等式组中每个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论；【解答】解：（1） ，
由①得： ③，
把③代入②得： ，
解得： ．
把 代入③得： ，
原方程组的解为： ．
（2）不等式①的解集为： ，
不等式②的解集为： ，
原不等式组的解集为： ．
它的解集在数轴上表示：
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握上
述方法是解题的关键．
强化训练
一、单选题
1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如果 是某不等式的解，那么该不等式可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，得出 是不等式 的解，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 是不等式 的解，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义．2．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）下列数学式子：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；其中是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
【详解】解：① ，是不等式，符合题意；
② ，是不等式，符合题意；
③ ，是等式，不符合题意；
④ ，是多项式，不符合题意；
⑤ ，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．
3．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮
克/100毫升”，它的含义是（ ）
A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克
B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克
C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克
D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克
【答案】C
【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．
【详解】解：根据≥的含义，“氨基酸态氮 克/100毫升”，就是“每100毫升酱油所
含氨基酸态氮不低于1.2克”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
4．（22-23七年级下·广西贺州·期中）x与y的差为负数，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】 与 的差是 ；差是负数，那么所得结果小于0．
【详解】解： 与 的差是 ；
差是负数，
．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不
等式．
5．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）实数a，b，c满足 ，则下列式子中
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质以及化简绝对值，不等式两边同时加上或减去一个
数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘上或除去一个负数，不等号的方向改变；不等
式两边同时乘上或除去一个正数，不等号的方向不变，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，故选项是错误的；
B、∵ ， ，故选项是错误的；
C、∵ ， ，故选项是错误的；
D、∵ ，∴ ，故选项是正确的；
故选：D
6．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）下列命题中：（1）若 ， ，则 ；
（2）若 ，则 ；（3）若 ，则 ；（4）若 ，则 ，正确
的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理．利用反例对（1）进行判断；利用不等式的性质对
（2）、（3）、（4）进行判断．
【详解】解：当 ， ， ， ，满足 ， ，但 ，所以（1）错误；
当 ，若 ，则 ，所以（2）错误；
当 ，若 ，则 ，所以（3）错误；
若 ，则 ，所以（4）正确．
故选：A．
7．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式 的解集是 B． 是不等式 的一个解
C．不等式 的整数解有无数个 D．不等式 的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为 ，故错误，不符合题意；
B、∵ ，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为 ，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断
解的情况．
8．（22-23七年级下·山东淄博·期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由不等号（ ， ， ， ， ）连接的式子叫不等式，据此进行判断．
【详解】不等式有：① ；② ；④ ；⑤ ．
所以共有4个
故选择：C．
【点睛】本题考查来了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
9．（22-23七年级下·四川凉山·期末）已知 ，下列变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上可减去同一个数或
整式，不等号不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；
不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．
根据不等式的性质，逐项判定即可．
【详解】解：∵ ，
A. ，故此选项不符合题意；
B. 不能推出 ，故此选项不符合题意；
C. 当 时 ，当 时 ，当 时 ，故此选项不符合题意；
D. 一定成立，故此选项符合题意，
故选：D．
10．（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“ ”，规定： ．若关于
的不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据定义的新运算得到 ，得 ，由不等式的解集得
，即可求得 的值．
【详解】解： ，
，
得： ，
不等式 的解集为 ，
，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对新定义运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，解题
的关键是将新定义运算转化为所熟悉的不等式．
二、填空题11．（22-23七年级下·福建泉州·期中）若不等式 ，两边同除以 ，
得 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】运用不等式的性质解题即可．
【详解】解：由题可知： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的
符号要改变，是解本题的关键．
12．（22-23七年级下·河南周口·期中）据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气
温为 ，最低气温为 ，则当天气温 的变化范围是 ．
【答案】 /
【分析】根据最高气温和最低气温，可得答案．
【详解】解：由郑州市的最高气温为 ，最低气温为 ，
可得当天气温 的变化范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练根据题意列出不等式是解题的关键．
13．（21-22七年级下·全国·课前预习）像156＞155，155＜156，x＞50，这样，我们把用
符号“＞”或“＜”连接而成的式子叫做 ．像a≠2这样的式子也叫做不等式．
使不等式成立的未知数的值叫做 ．
【答案】 不等式 不等式的解
【解析】略
14．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）用不等式表示“x与1的和是负数” ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是掌握用不等式表示不
等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小)于)、不超过（不低于)、是正数(负数)、
至少、最多”等等，正确选择不等号．
先表示出“ 与1的和”，然后确定不等号，列出不等式即可．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．15．（22-23七年级下·河南周口·期中）比较大小： （填“ ”、“ ”或
“ ”）．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，即可求解．
【详解】解： ，则
故答案为：
【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，若
则 ．
16．（七年级下·安徽六安·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，化
简 ．
【答案】-1
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定a的值，从而解不等式.
【详解】解： 关于 的不等式 的解集为 ，
，
，
， ，
，
故答案为 ；
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握计算法则是解题关键.
17．（22-23七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使 ，2都是它的解，
这个不等式可以为
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由 ，2均小于3可得 ，在此基础上求解即可．
【详解】解：由 ，2均小于2可得 ，
所以符合条件的不等式可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做
不等式的解．
18．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】④
【解析】略
三、解答题
19．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3) 减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（3）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（4）根据不等量关系，直接列出不等式即可．
【详解】（1）解 ： ；
（2）解 ： ；
（3）解 ： ；
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不
小于”的意义是关键
20．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足 ．
(1)求a的取值范围．
(2)化简： ．
(3)关于k的不等式 的解集为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由 可得， ，从而得到关于a的不等式，即可求解；
（2）根据题意可得 ， ，然后根据绝对值的性质化简，再合并，即可求解；
（3）根据题意可得 ，再由不等式的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由 ，得： ，
整理，得 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴
（3）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的加减混合运算，绝对值的性质，不等
式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）（1）比较 与 的大小关系：
①当 时， __________ ；
②当 时， __________ ；
③当 时， __________ ．
（2）根据上述结果请你猜想 与 的大小关系：__________，并进行验证．
【答案】（1）① ；② ；③ ；（2） ，过程见详解
【分析】（1）①②③将 的值代入 和 ，求值后，比较大小即可；
（2）综合①②③得出结论： （ 时，取“ ”）；
本题主要考查的是不等式的基本性质： （ 时，取“ ”）；
【详解】解：①当 时，
，
∵ ，
∴ ；
②当 时，
，
∵ ，
∴ ；
③当 时
，∵ ，
∴ ；
（2）综合①②③得出结论： （ 时，取“=”）．
证明：∵ （ 时，取“=”），
∴ ，
∴
22．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系：
(1)x的 与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于 ；
(5)小明的体重不比小刚轻．
【答案】(1)
(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有
(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有
(4)用P表示明天下雨的可能性，则有
(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有
【分析】（1）非正数用“ ”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【详解】（1） ；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有 ；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 ；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有 ；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 ．
【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
23．（20-21七年级下·全国·课后作业） （ 为定值）是关 一元一次不等
式，求关于 的方程 的解．
【答案】方程的解为 或 ．
【分析】先根据一元一次不等式的定义得到 ，求得 ，则可得到 ，
由此求解即可．
【详解】解：∵ （ 为定值）是关 一元一次不等式，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解．
24．（七年级下·全国·课后作业）不等式的解集中是否一定有无限多个数？
不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？
不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？
【答案】见解析.
【详解】整体分析：
根据不等式的解集的定义和非负数的性质，绝对值的性质解题.解：不等式的解集中不一定有无数多个数.
|x|≤0的解集是x=0，x2＜0无解.
x2＞0的解集为x＞0或x＜0，
x2+4＞0的解集为一切实数.
25．（22-23七年级·全国·假期作业）阅读下列解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
故 ．③
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有
改变
(3)见解析
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有
字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等
号的方向改变，分别解答（1）（2）（3）即可．
【详解】（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）原因是：错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号
的方向没有改变；
（3）正确的解题过程如下：
因为 ，
所以 ，
故 ．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质．
26．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）新定义：若无理数 的被开方数 （ 为正整数）满足 （其中 为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；
同理规定无理数 的“青一区间”为 ．例如：因为 ，所以 ，
所以 的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ．请解答下列问题：
(1) 的“青一区间”是 ； 的“青一区间”是 ；
(2)若无理数 （ 为正整数）的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为
，求 的值；
(3)实数x，y，m满足关系式： ，求
的算术平方根的“青一区间”．
【答案】(1) ，
(2)2或
(3)
【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解；
（2）先根据无理数 和 的“青一区间”求出a的取值范围，再根据 为正整数求
出a的值，代入 即可求解；
（3）先根据 ， ，得出 ，进而得出 ，
，两式相减可得 ，再根据“青一区间”的定义即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
， ，的“青一区间”是 ， 的“青一区间”是 ，
故答案为： ， ；
（2）解： 无理数 的“青一区间”为 ，
，
，即 ，
的“青一区间”为 ，
，
，即 ，
，
，
为正整数，
或
当 时， ，
当 时， ，
的值为2或 ；
（3）解： ，
， ，
，
，
，
， ，
两式相减，得 ，
，的算术平方根为 ，
，
，
的算术平方根的“青一区间”是 ．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题
的关键是理解题目中“青一区间”的定义．
