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专题 02 等差数列
目录
题型一： 等差数列的基本运算...................................................3
题型二： 等差数列的证明与判断.................................................8
题型三： 等差数列的前n项和..................................................11
题型四： “绝对值”求和......................................................13
题型五： 等差数列中的恒成立..................................................14
知识点总结
1．等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同
一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字
母d表示，即a － a ＝d(n∈N ，且n≥2)或a － a＝d(n∈N ).
n n－1 ＋ n＋1 n ＋
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列
的定义可以知道，2A＝ a ＋ b .
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a＝a ＋ ( n － 1 ) d. 该式又可以写成a＝ nd ＋ ( a － d )，这表明d≠0时，a 是关于
n 1 n 1 n
n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数.
(2)前n项和公式：S ＝ ＝ na ＋ d . 该式又可以写成S ＝ n 2 ＋ n ，这表明d≠0时，S 是关于n
n 1 n n
的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
3．等差数列的性质
(1)与项有关的性质①等差数列{a}中，若公差为d，则a＝a ＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
n n m
②在等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ＋a ＝a ＋a. 特别地，若m
n m n p q
＋n＝2p，则a ＋a＝2a.
m n p
③若数列{a}是公差为d的等差数列，则数列{λa＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
n n
④若数列{a}，{b}是公差分别为d，d 的等差数列，则数列{λa＋λb}(λ，λ 为常数)也是
n n 1 2 1 n 2 n 1 2
等差数列，且公差为λd＋λd.
1 1 2 2
⑤数列{a}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项a，a ，a ，…，组成的数列仍
n k k＋m k＋2m
是等差数列，公差为md.
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和S，S －S，S －S ，…组成公差为k2d的等差数列.
k 2k k 3k 2k
②记S 为所有偶数项的和，S 为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S
偶 奇 2n
＝n(a ＋a )，S －S ＝nd，＝(S ≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S ＝
n n＋1 偶 奇 奇 2n－1
(2n－1)a(a 是数列的中间项)，S －S ＝a，＝(S ≠0).
n n 奇 偶 n 奇
③{a}为等差数列⇒为等差数列.
n
④两个等差数列{a}，{b}的前n项和S，T 之间的关系为＝ (b≠0，T ≠0).
n n n n n 2n－1
常用结论与知识拓展
(1)若a＝pn＋q(p，q为常数)，则{a}一定是公差为p的等差数列.
n n
(2)等差数列前n项和的最值与{a}的单调性有关.
n
①若a>0，d<0，则S 存在最大值.
1 n
②若a<0，d>0，则S 存在最小值.
1 n③若a>0，d>0，则{S}是递增数列，S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则{S}是递减数列，
1 n 1 n 1 n
S 是{S}的最大值.
1 n
(3){a}是等差数列⇔S ＝An2＋Bn(A，B是常数). 若S ＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{a}从第2
n n n n
项起成等差数列.
例题精讲
题型一：等差数列的基本运算
【要点讲解】在等差数列五个基本量a ，d，n，a ，S 中，已知其中三个量，可以根据已
1 n n
知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两
个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
【例1】已知数列 为等差数列，若 ， ，则
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，得 ， ，
又 ， ，即 ，
得 ．
．
故选： ．
【变式训练1】已知数列 是等差数列，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列 是等差数列，且 ，
所以 ，所以 ．故选： ．
【变式训练2】在等差数列 中，若 ， ，则 等于
A．20 B．25 C．30 D．33
【解答】解：根据题意，设等差数列 的公差为 ，
若 ， ，则有 ，解得 ，
则 ，
故选： ．
【变式训练3】在等差数列 中， ， ，则
A． B． C． D．0
【解答】解：根据题意，等差数列 中，有 ，
又由 ， ，则 ；
故选： ．
【变式训练4】如果一个等差数列的相邻4项是 ， ， ， ，那么 ， 的值
分别是
A．0，5 B．1，6 C．2，7 D．无法确定
【解答】解： 一个等差数列的相邻4项是 ， ， ， ，
公差为 ， ，
， ， ，
即这个数列中的 ， 的值分别为2，7，
故选： ．
【变式训练5】公差不为零的等差数列 中， ，则下列各式一定成立的是A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
等差数列 的公差不为零， ，
， 错误， 正确，
令 ，则 ， ， ， 错误．
故选： ．
【例2】在等差数列 中，其前 项和为 ，若 ， 是方程 的两个根
那么 的值为
A．88 B． C．110 D．
【解答】解：在等差数列 中，其前 项和为 ， ， 是方程 的两个
根，
，
．
故选： ．
【变式训练1】在等差数列 中，若 ，则
A．13 B．26 C．39 D．52
【解答】解：因为 是等差数列，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则A．55 B．60 C．65 D．75
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
， ，
，解得 ， ，
．
故选： ．
【例3】设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：在等差数列 中， ， ， 成等差数列，
即 ，
设 ，则 ，于是 ，解得 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知等差数列 和 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，，
等差数列 和 的前 项和分别为 ， ， ，
，即 ，
．
故选： ．
【例4】已知 为等差数列， 为其前 项和， ， ，则
A．36 B．45 C．54 D．63
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
，
则 ，
故 ，即 ，解得 ，
．
故选： ．
【变式训练1】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ，
，
，故选： ．
【变式训练2】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．77 B．88 C．99 D．110
【解答】解： ， ，
则 ，解得 ， ，解得 ，
，解得 ，
．
故选： ．
题型二：等差数列的证明与判断
【要点讲解】证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有a －a 等
n＋1 n
于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2a ＝a ＋a ；(3)通项公式法：
n＋1 n n＋2
得出a＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出S＝An2＋Bn(A，B是常数).
n n
【例5】已知各项均为正数的等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，且满足 ，
且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明数列 是等差数列．
【解答】解：（1）设各项均为正数的等差数列 的公差为 ，
， ，，解得 ，
，
，
数列 的通项公式为 ；
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
【变式训练1】已知数列 ，其前 项和为 ．
（1）求 ， ．
（2）求数列 的通项公式，并证明数列 是等差数列．
【解答】解：（1） ，根据 ，解得 ．
（ 2 ） 证 明 ： 当 时 ，
．
又 满足 ，
数列的通项公式为 ．，为常数，
数列 是以5为首项，3为公差的等差数列．
【变式训练2】数列 的前 项和为 ．
（1）若 ，求证：数列 是等差数列；
（2）若 ，求证：数列 是等差数列．
【解答】证明：（1）当 时， ，
当 时， ，
综上， ，其中 ，
所以当 时， ，
故数列 是等差数列．
（2）当 时， ．
当 时，有 和 ，
所以 ．
即 ．
所以当 时，有 ， ，
从而 ， ．
即 ，其中 ．
故数列 是等差数列．【变式训练3】已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① ；
②数列 是等差数列；
③数列 是等比数列．
【解答】证明：若选①② ③，设 的公差为 ，
则 ，所以 ，
即 ，
故数列 是以2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ；
①③ ②，设 的公比为 ， ，
则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
时， 适合上式，
故 ， ，所以数列 是等差数列；
②③ ①，
因为数列 是等差数列，则 为常数，
所以 为常数，设为 ，
所以 ，
因为数列 是等比数列，
则 ，
故 ，
整理得 ，
解得 或 （舍 ，
所以 ．
题型三：等差数列的前n项和
【要点讲解】求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性
求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和S ＝An2＋Bn(A，B为常
n
数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值. 无论用哪种方法，都要注意a＝0
n
的情形.
【例6】已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最小值及取得最小值时 的值．【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，得 ， ，解得 ， ，
所以 ．
（2）方法一：由 知 是递增数列，
当 时， ；当 时， ．
所以 ，
所以当 时， 最小，最小值为 ．
方法二： ，
又 ，所以当 时， 最小，最小值为 ．
【变式训练1】已知数列 是等差数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，求 的最小值及取得最小值时 的值．
【解答】解：（1）设 的公差为 ，则 ，
解得 ，
所以 ．
（2） ，
所以当 或 时， 取得最小值，最小值为 ．
【变式训练2】已知在等差数列 中， ， ．（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和 ，则当 为何值时 取得最大，并求出此最大值．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
则 的通项公式为 ；
（2）因为 ，
令 得： ，令 得： ，
故当 时， 取得最大值，
其中 ， ，故最大值为 ．
题型四：“绝对值”求和
【要点讲解】在等差数列中，解决涉及“绝对值”求和问题的关键是，把握好通项的“变
号”特征，根据“变号”特征分别讨论，求解过程中，由于含有绝对值，可以直接分段求
解，也可以间接求解．
【例7】在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ．
（1）求 ， ；
（2）若 ，求 ．
【解答】解：（1）由 ， ，
，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ；
（2）由 ， ，
所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，
所以 ．
【变式训练1】已知数列 是等差数列， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前17项和 ．
【解答】解：（1）数列 是等差数列， ， ．
由题意可知 ， ，
故 ，
故数列 的通项公式 ．
（2）令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
，
数列 的前17项和为217．
题型五：等差数列中的恒成立
【例8】已知等差数列 的前 项和公式为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；（2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，
且 ，则 ，
可得 ， ，
所以 ．
（2）由（1）可得： ，
则 ，
因为 的开口向上，对称轴为 ，
且 ，则当 时， 取到最小值 ，
可得 ，即 ，
所以 的取值范围为 ， ．
【变式训练1】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，解得 ，
所以公差 ，
所以 ．（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
因为 对任意 恒成立，所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
A．45 B．49 C．56 D．63
【解答】解： 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
，
解得 ， ，
．
故选： ．
2．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：在等差数列 中， ， ， 成等差数列，
即 ，设 ，则 ，于是 ，解得 ，
所以 ．
故选： ．
3．已知 是各项不相等的等差数列，若 ，且 ， ， 成等比数列，则数列
的前10项和
A．5 B．45 C．55 D．110
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
由题意知， ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ．
故选： ．
4．已知等差数列 ， ， ， ， 的公差为 ，则 ， ， ， ，
为常数且 ， 是
A．公差为 的等差数列 B．公差为 的等差数列
C．非等差数列 D．公差为 的等差数列
【解答】解：由题意，可得，
， ， ， ， 是公差为 的等差数列，
故选： ．
5．已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 ，2， 是等差数列，则
A．1或 B．2或 C．2或 D． 或
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列，可得
，
即 ，化简得 ，解得 或 ．
当 时， ；当 时， ．
故选： ．
6．在等差数列 中，若 ， ，则
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设等差数列的公差为 ，
由 ， ，
可得 ；
故 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．已知数列 为等差数列，若 ，且数列 的前 项和 有最大值，则下列结论正确的是
A． 中的最大值为 B． 的最大值为
C． D．
【解答】解：因为数列 的前 项和 有最大值且 ，
所以 ，
所以 ， ， ， 中的最大值 ， 错误；
的最大值为 ， 正确；
， 错误；
， 正确．
故选： ．
8．已知两个等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为
整数的 的取值可以是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：因为 ，
所以
，要使 为整数，则 为整数，即 为整数，
所以 的取值可以是1，2，4，不可能为3，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于 42
．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以， ，
由等差中项的性质可得 ．
故答案为：42．
10．已知 是等差数列， ， ，则 5 ．
【解答】解：由 ， 得 ，
所以 ．
故答案为：5．
11．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 14 4 ．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
则 解得 ， ，
所以 ．
故答案为：144．
12．若关于 的方程 和 ， ，且 的四个根组成首项为 的等差数列，则 的值为 ．
【解答】解：设方程 的根是 ， ，方程 的根是 ， ，
， ，
四个根排成等差数列，不妨设为 ， ， ， ，
则 ，于是 ， ，
，因此 ， ，
， ．
故答案为： ．
四．解答题（共4小题）
13．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
并作答．
设等差数列 的前 项和为 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大值．
注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）选①，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，
解得 ， ，
数列 的通项公式为 ；选②，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，
解得 ， ，
数列 的通项公式为 ；
选③，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，
解得 ， ，
数列 的通项公式为 ；
（2） ， ，
，
时， 取得最大值为49．
14．在等差数列 中满足， ， ．
（1）求等差数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项的和为 ，判断 是否有最小值，若 有最小值，求此时 的
值；若 没有最小值，说明理由．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ， ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
故当 或7时， 取得有最小值 ．
15．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式 和 ；
（2）求 的值．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，得 ，即 ．
（1） ， ；
（2） ．
16．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求证数列 是等差数列．
【解答】解：（1） ， ，
当 时， ，
将 代入上式，可得 ，故 时满足上式，
；
（2）证明： ， ，，且 ，
是以3为首项，1为公差的等差数列．
