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专题08 数列小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，
又 ， ， ，
显然，接下去 ，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
则 .
故选：A.
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为
，公比为q，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由条件结合等比数列通项公式列方程求 即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，A错误，C错误，D正确，
所以 ， B错误；
故选：D.
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列 的前 项和为 ，则数列 的前
项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断出数列 是等比数列，进而判断出数列 是等比数列，从而求得数
列 的前 项和.
【详解】依题意，设数列 的前 项和为 ，即 ，
当 时， ，
当 时，由 得 ，
两式相减得 ，
也符合上式，所以 ，
，所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 .所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的前 项和为 .
故选：D
4．（2023·浙江·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列 满足： ，
且 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ， ，
因为 成等比数列，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
5．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知等差数列
的公差为d，前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列的前 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可
求解.
【详解】因为数列 是公差为 的等差数列，所以，
，
所以 ，
若等差数列 的公差 ，则 ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ，所以 ，故必要性成立，
所以“ ”是“ ”的充分必要条件，
故选：C.
6．（2023·浙江·高三专题练习）已知 是公差不为0的等差数列， ，若
成等比数列，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4048
【答案】B
【分析】根据 成等比数列列方程，得到 ，再计算 即可.
【详解】设数列 的公差为d，且 ，
若 成等比数列，则 ，又 ，
所以 ，化简 ， ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
7．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 各项为正数， 满足 ，
，则（ ）A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列 的每一项都是正数，由已知条件可得出
，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列 各项为正数， 满足 ， ，
故对任意的 ， ，则 ，
所以，数列 的每一项都是正数，
所以， ，可得 ，
由等差中项法可知，数列 是等差数列，
故选：C.
8．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）“杨辉三角”是中国古代重要的数学
成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚线上的数
构成的数列 的第 项，则 的值为（ ）
A．1275 B．1276 C．1270 D．1280
【答案】A
【分析】根据题意分析可得 ，利用累加法运算求解.【详解】由题意可得： ，即 ，
所以 .
故选：A.
9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 满足 成等差数
列，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据 成等差数列，可将 用 表示，再将所求化简，利用基本不
等式即可得解.
【详解】因为 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B.
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列 满足 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意化简可得 ，根据 ，利用累加法可得 ；根据
，利用累加法计算化简可得 ，进而得出 ，令
计算即可.
【详解】显然，对任意 ， ． ，
化简可得 ，所以 ，则 ，
累加可得 ，所以 ．
又 ，所以 ，
则
，
注意到 ，
所以 ，则 ，
所以 ．综上 ．
当 时， ， ，即 .故选：C.
二、多选题
11．（2023·浙江·高三专题练习）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一
个正整数 ，如果 是奇数㩆乘以3再加1，如果 是偶数就除以2，这样经过若干次
操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设
，各项均为正整数的数列 满足 ， 则（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 为奇数时，
D．当 为偶数时， 是递增数列
【答案】ACD
【分析】当 时，结合条件求出 可判断A，求出 可判断B；由数学归纳法
可证明C；据 与零的关系，判断数列 单调递增可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，
， ， ， ，
，故A正确；
对于B，当 时，由A选项知： ，故B不正确；
对于C，因为 ，当 为奇数时， 且 为偶数， ．
假设 为奇数时， ； 为偶数时， ．当 为奇数时， ，且 为偶数；
当 为偶数时， ．
所以若 为奇数，则 ；若 为偶数，则 ．
因此对 都有 ，故C正确；
对于D，当 为偶数时，若 为奇数，则 为奇数．
因为 为奇数，所以归纳可得，对 ， 均为奇数，则 ，
所以 ，
所以数列 单调递增，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）定义：若数列 满足，存在实数
M，对任意 ，都有 ，则称M是数列 的一个上界．现已知 为正项
递增数列， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 有上界，则 一定存在最小的上界
B．若 有上界，则 可能不存在最小的上界
C．若 无上界，则对于任意的 ，均存在 ，使得
D．若 无上界，则存在 ，当 时，恒有
【答案】ACD
【分析】AB选项，由 有上界判断；C.根据 无上界，且为正项递增数列，可得判断；D.用反证法判断.
【详解】A.若 有上界，则 一定存在最小的上界，故正确；
B.若 有上界，则 一定存在最小的上界，故错误；
C.若 无上界，又 为正项递增数列，则 时， ， ，
则 ，所以 ，故正确；
D.假设对任意 时，恒有 ，
不妨设 ，则 ，
取 ，当 时， ，
与假设矛盾，故假设不成立，
所以若 无上界，则存在 ，当 时，恒有 ，故正
确；
故选：ACD
13．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本
末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后
两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，
它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，
6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 ､其前7项分别为5，9，17，27，
37，45，49，设通项公式 .则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： ）
A．数列 为二阶等差数列
B．数列 的前11项和最大C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前 项和公式、题中所给的公式逐一
判断即可.
【详解】设 ，
所以数列 前6项分别为 ，
设 ，
所以数列 前5项分别为 ，显然数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，由题中定义可知数列 为二阶等差数列，因此选项A正确；
，
于是有
，
因此有
，
因为
，
所以数列 的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；因此
选项C正确；
，因此选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.
14．（2023·浙江·统考二模）已知等差数列 的公差为d，前n项和是 ，满足
，则（ ）．
A． 的最小值为 B．
C．满足 的n的最大值为4 D．
【答案】BD
【分析】根据递推公式找出 与公差d的关系，再将选项中对应项或者前n项和全部
用 表示，构造成一个关于 的函数，根据函数对应导数单调性找出最值，或者代入
特殊值验证选项对错.
【详解】根据题意可知 ，
，
当 时， ，A错误；
，设 ，
，令 ，
故 在 单调递增，在 单调递减， ，B正确；
，当 时， ，C错误；
，令 ，，令 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
，D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）本题B、D选项求取值范围，常用方式为构造函数求出最值确定范围；
（2）本题A、C选项为判断结论是否正确，最简单的判断方式为适当举出反例，当然
数学基础好的同学可通过构造函数利用极限思想进行判断.
15．（2023·浙江·高三专题练习）定义：若存在正实数M使 ，则称正
数列 为有界正数列．已知数列 满足 ， 为数列 的前n项和．
则（ ）
A．数列 为递增数列 B．数列 为递增数列
C．数列 为有界正数列 D．数列 为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设 ，求导后放缩为 ，从而可知当
时， 单调递减，即可判断；对于B，由 可知数列 为递增
数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式 ，
从而可得 ，即可得到
，从而可判断.【详解】对于A，设 ， ，
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，则当 时， ，
所以当 时， 单调递减，A错误；
对于B，因为 ，所以数列 为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有 ，所
以数列 为有界正数列，C正确；
对于D，令 ，则 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
由 ，
所以 ，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：
对于A，借助不等式 进行放缩，而对于C，借助不等式 进行放缩，
从而可利用裂项相消法求和.
16．（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为
，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列 ，使得B．存在公比为2的等比数列 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【详解】对于A，设数列的首项为 ，则 ，解得
，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确；
对于B，设首项为 ，则 ，正确；
对于C，欲使得 尽可能地大，不妨令 ，则有
，
又 ，即 ，
，
即 ，正确；
对于D， ， ，即
，
比如，
，
则 ，D错误；故选：ABC.
【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来
处理.
17．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列
满足 为其前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A选项，先构造函数 ，并研究其单调性，利用
进行放缩，利用数学归纳法可证明；
B选项，构造函数 ，判断其单调性即可；
C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；
D选项，结合C选项结论对 进行放缩即可证明.
【详解】设函数 ，则 ，故 在 上
单调递增.
用数学归纳法下证 .
当 时，有 ；
假设当 时，有 ，
由于 ，
所以根据 在 上单调递增可知 ，
即当 时，有 .综上可知， .
对于A，令 ，
因为 ，故 在 上单调递增，故 ，
即 ，即 .
，故A正确.
对于B，令 ， ，
令 ，
令 ，则 >0，所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，所以 即 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 .
故 ，故选项B错误；
对于C，可用数学归纳法证明： .
当 时，有 成立；
假设当 时，有 ，
若 ，
则由 可知 ，
与假设 矛盾，故 .故 ，故C正确.
对于D，当 时， ，
故 ，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：
（1）可以利用数学归纳法来进行证明；
（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进
行放缩得到结果.
三、填空题
18．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）设 是首项为1的数列，且 ，则
___________．
【答案】32
【分析】由递推公式 可得 ，已知 求 ，再求 .
【详解】 ，得 ，又 ，得 ，所以 .
故答案为：32．
19．（2023·浙江·二模）已知等比数列 满足 ，则公比 ______.
【答案】2
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由 ，
等式两边同时除以 ，得 ，
解得 .
故答案为：2.20．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，数列
是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ___________.
【答案】502
【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得 ，再由等比数列的前n项
和公式即可得结果.
【详解】由题意可得： ， ， .
所以
故答案为：502.
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义：对于数列 ，如果存在常数 ，使得对于
任意 ，都有 ，成立，则称数列 为“ 摆动数列”，
称为数列 的摆动值.若 ，且数列 的摆动值为0，则 的取
值范围为__________.
【答案】
【分析】根据“ 摆动数列”的定义可得 ，对 分奇偶即可求解.
【详解】由数列 的摆动值为0知 ，
当 为偶数时， ，
故当 为奇数时， ，
即当 为奇数时， ，即 ，所以故 的取值范围为 .
故答案为：
22．（2023·浙江·高三专题练习）已知数列 ，其中第一项
是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推.将该数列前 项的和记
为 ，则使得 成立的最小正整数 的值是______.
【答案】
【分析】将已知数列分组，将各组数据之和即为数列 ，由等差数列求和公式可求
得 ，由此可得求得数列 的前 项和为 ，结合 ， 可确定
，由此可推导得到 ， ，由此可得结果.
【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为 ，即第一组： ；第二组： ；第三组：
；依此类推；
将各组数据之和记为数列 ，则 ，
记数列 的前 项和为 ，则 ；
， ；
对应 中项数为 项，即 ，
， ，
则使得 成立的最小正整数 .
故答案为： .
23．（2023·浙江金华·统考模拟预测）数学王子高斯在小时候计算 时，
他是这样计算的： ，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数 图象关于 对称，
，则
___________.
【答案】
【分析】根据抽象函数的对称性可得 ，由题意得 ，
根据 可得 ，即 ，结合
裂项相消求和法即可求解.
【详解】由函数 图象关于点 对称，得 ，
得 ，所以 .
因为 ，
所以
，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
24．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏
数的增长率为 ，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏
数依次为 为 的前 项和，则 ___________.（结果保留成整数）（参考数据： ）
【答案】
【分析】由题意，可得 ,从而可推出数列 是等比数列 ，根据
分组求和及等比数列的求和公式可得答案.
【详解】因为每年存栏数的增长率为10%，每年年底卖出100头，
故可知 ，且 ，
则 ，
∴数列 是以200为首项，1.1为公比的等比数列，
则 ，故 .
∴ ,
则 .
故答案为: .
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和记
为 ，满足 ，若数列 为单调递增数列，则公差 的取值
范围为__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，确定 恒成立，再分析判断 ，结合已知等式
求解作答.
【详解】因为数列 为单调递增数列，则当 时， ，
而等差数列 的公差 ，若 ，由 知，数列 单调递减，
存在正整数 ，当 时， ， 与数列 为单调递增数
列矛盾，因此 ，由 ，得 ，即 ，解得
，则 ，
所以公差 的取值范围为 .
故答案为：
