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专题 10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型........................................................1
题型一：插入新数列构成等差.......................................1
题型二：插入新数列构成等比.......................................5
题型三：插入新数混合.............................................7
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练..................11
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列 的前项和为 ，且满足：
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在三项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由 ①
得 时 ②
①-②得 ，①中令 得 ，是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
（2）
假设存在这样的三项 成等比数列，
为递增数列，不妨设 ，
则
则 ，
成等差数列，
， ，
由 ，得 ，所以 ，与题设矛盾
不存在这样的三项 （其中 成等差数列）成等比数列.
例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列 的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之
间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2) 是不是数列 的项？若是，它是 的第几项？若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2) 是数列 的第8项．
【详解】（1）设数列 的公差为 ．
由题意可知， ， ，于是 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
所以 ．
所以数列 的通项公式是 ．
（2）数列 的各项依次是数列 的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的
等差数列 ，则 ．
令 ，解得 ．所以 是数列 的第8项．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 和其前n项和 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入m个数，使得这 个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为 ，求
满足 的正整数m的最小值.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）依题意，设等比数列 的公比为 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
（2）由题意可得， ，
则 ，
故数列 单调递增，不难发现 ，
故满足题意的m的最小值为6.
例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列 的前n项和为 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为 ，若不等式
对一切 恒成立，求实数 的取值范围；
【答案】(1)
(2)【详解】（1）设等比数列 的公比为q，
当 时，有 ，则 ①，
当 时， ，两式相减可得： ，
整理得 ，可知 ，代入①可得 ，
所以等比数列 的通项公式为 ；
（2）由已知在 与 之间插入n个数，组成以 为首项的等差数列，设公差为 ，
所以
则 ，
设 ，则 是递增数列，
当n为偶数时， 恒成立，即 ，所以 ；
当n为奇函数时， 恒成立，即 ，所以 ；
综上所述， 的取值范围是 ．
例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 及数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使得这 个数依次组成公差为 的等差数列，求数列 的前 项和
.
【答案】(1) ， ，
(2)
【详解】（1）由题意，当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，两式相减，可得 ，
整理，得 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ， .（2）由（1）可得， ， ，
在 与 之间插入 个数，使得这 个数依次组成公差为 的等差数列，
则有 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
，
两式相减得 ，
∴ .
题型二：插入新数列构成等比
例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列 中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记
为 ，再在数列 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列 .若
，则数列 中第 项前（不含 ）插入的项的和最小为（ ）
A．30 B．91 C．273 D．820
【答案】C
【详解】因为 是以1为首项、3为公比的等比数列，
所以 ，则由 ，得 ，
即数列 中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，
其中1、9、81是数列 的项，3、27、243不是数列 的项，
且 ，
所以数列 中第7项前（不含 ）插入的项的和最小为 .
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在 和 之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三
个数的积等于 .【答案】27
【详解】依题意 ， ，所以 ，所以 或 （舍去），
所以 .
故答案为：
例题3．（2023·高二课时练习）设 ，在a，b之间插入 个实数 ， ，…， ，使得这 个数成
等差数列，则有结论 成立．若 ，在a，b之间插入 个正数 ， ，…，
，使得这 个数成等比数列，则有相应的结论 成立．
【答案】
【详解】因为 ， ， ，…， ， 成等比数列，
则 ，
则
则 ，即 .
故答案为： .
例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知 ， ，求a 与Sn ．
1
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1） ， ，
，解得 ．
；
（2）设此等比数列 的公比为q，∴ ， 解得： ．
例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列 的前 项和为 且当 时，
成等差数列.
(1)计算 ，猜想数列 的通项公式并加以证明；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意， ，
在数列 中，
当 时， 成等差数列，
∴ ，
即 ，即 ，即 .
∴ ，
猜想 .
下面我们证明 .
∵ ，
∴ ，
∵当 时， ，
∴对任意正整数 ，均有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即数列 的通项公式为： .
（2）由题意及（1）得，
在数列 中， ，
∴ .
假设数列 中存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ，
化简得 ，
∵ 成等差数列，
∴ ，∴ ，化简得 ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，这与题设矛盾，所以假设不成立，
∴在数列 中不存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列.
题型三：插入新数混合
例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列 满足 ，
．其中 是数列 的前 项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ，
求 的前100项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）当 时， ，当 时，递推得 ，
∴ ， ，
因为数列 各项均为正数，所以 ，又∵ ，
∴数列 为等差数列，故 ．
（2）设 和插入的 个数 构成一组数，
则前 组共有 个数，
令 ，又 ，解得： ；
当 时， ，
∴ 的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴．
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 为数列 的前 项和，已知
，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插入 项，
所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，解得 （ 舍去），
由 得 时， ，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ，
所以 是等差数列，首项为4，公差为3，
所以 ；
（2）由于 ，
因此数列 的前100项中含有 的前13项，含有 中的前87项，
所求和为 .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整数），且满足
是 与 的等差中项；数列 满足 （ ， ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)试确定 的值，使得数列 为等差数列；
(3)当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个新数列 .设 是数列的前 项和，试求 .
【答案】(1)
(2)
(3)2226
【详解】（1）由题意，可得 ，所以 ，
解得 或 （舍），则 ，
又 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
所以 ， ， ，
因为数列 为等差数列，所以 ，解得 ，
所以当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列.
（3）因为 ，所以 与 之间插入 个2，
，所以 与 之间插入 个2，
，所以 与 之间插入 个2，
……
则 的前 项，由 个 ， 构成，
所以 .
例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列 的
前 项的和为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以数列 为首项为1，公比为 的等比数列，所以 ，
所以当 时，
，
所以 ，
所以当 时， ，又 也满足该关系，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）数列 中在 之前共有 项，
当 时， ，当 时
例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ，有 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求
的前40项和.
【答案】(1)
(2)1809
【详解】（1）由 ，则 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式.
故 .
（2）由 .所以 ，
又 ，所以 前40项中有34项来自 .故
.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列 满足 ，在 和 之间插入n个1，构成数列 ：
，则数列 的前18项的和为（ ）
A．43 B．44 C．75 D．76
【答案】C
【详解】在 ， 之间插入 个1，构成数列 ，
所以共有 个数，
当 时， ，
当 时， ，
由于 ，
所以 ．
故选：C.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，保持数列 中各项顺序不
变，对任意的 ，在数列 的 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列
，记数列 的前n项的和为 ，则 （ ）
A．4056 B．4096 C．8152 D．8192
【答案】C
【详解】插入 组共 个，∵ ，∴前面插入12组数，最后面插入9个 ．
，
∵ ，∴
，
又数列 的前13项和为
，
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加
快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师
范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支
教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定
改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为 ，在数列 的任意相
邻两项 与 （ ，2， ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ．按新数
列 的各项依次派遣支教学生．记 为派遣了70批学生后支教学生的总数，则 的值为（ ）
A．387 B．388 C．389 D．390
【答案】A
【详解】∵数列 满足 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∵在任意相邻两项 与 （ ，2， ）之间插入 个3，
∴其中 ， 之间插入2个3， ， 之间插入4个3， ， 之间插入8个3， ， 之间插入16个
3， ， 之间插入32个3， ， 之间插入64个3，
又 ， ，
∴数列 的前70项含有 前6项和64个3，
故 ．
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，
得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类
似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的
数列记为 ，则 的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
【答案】A【详解】解：设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一
项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
是以 ，所以 ，
则经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年
（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2
之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 ，插入
11个数后这13个数之和为 ，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C．
D．
【答案】BC
【详解】设该等比数列为 ，公比为 ，则 ， ，故 ，
所以 ，故A错误；
因为 ，故B正确；
，
要证 ，即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，而 ，故C正确；
而 ，因 ，
所以 ， ，所以 即 ,
所以 ，D错误.
故选：BC．
三、填空题
6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这 个数成等差数列，若这n个数中第
一个为a，第n个为b，当 取最小值时， .
【答案】7
【详解】由等差数列的性质可知得 ，
则 ，当且仅当 时取等号，此时 ，
，
所以 所以 ，因此 ，可得 ．
故答案为：7
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列 的通项公式 ，在数列
的任意相邻两项 与 之间插入 个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，
记新数列 的前n项和为 ，则 的值为 ．
【答案】370
【详解】因为 与 之间插入 个4，
， ， ， ， ，
其中 ， 之间插入2个4， ， 之间插入4个4， ， 之间插入8个4， ， 之间插入16个4，
， 之间插入32个4，由于 ， ，
故数列 的前60项含有 的前5项和55个4，
故 .
故答案为：370.
四、解答题
8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项 ；(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
又因为 是等比数列，
所以 的公比为3，且 ，即 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
则 ，
所以令 ，①
所以 ，②
① ②：
所以 ，
因为 ，
所以 .
9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列 的前 项和为 且当
时， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意， ，在数列 中，当 时， 成等差数列，所以
，即 ，
所以 时， ，又由 知 时， 成立，
即对任意正整数 均有 ，
所以 ，从而 ，
即数列 的通项公式为： .
（2）由题意及（1）得， ，在数列 中， ，所以 .
假设数列 中存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ，化简得 ，
因为 成等差数列，所以 ，所以 ，化简得 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，这与题设矛盾，
所以假设不成立，
所以在数列 中不存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记 的前n项和为 ，求 的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由数列 的前n项和为 ，且 ，
当 时， ，
所以 ，当 时， ，不符合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，
则新数列 的前100项为3，1， ，1，1， ，1，1，1， ，1，1，1，1， ， ， ，1，1，
1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列 是等差数列，其前 和为 ，
，数列 满足
(1)求数列 ， 的通项公式;
(2)若对数列 ， ， 在 与 之间插入 个2（ ），组成一个新数列 ，求数列 的
前2023项的和 .
【答案】(1) ，
(2)4090
【详解】（1）设等差数列的首项为 ，公差为 ，
由题意 ， ，所以
①
当 时， ②，
①-②可得， ，
当 时， 适合 ，
所以
（2）因为 ，所以在数列 中，从项 开始到项 为止，
共有项数为 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以数列 前2023项是项 之后还有2023-1034=989项为2，所求和为 .
12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个2，构成新数列 ，求数列 的前110项的和 .
【答案】(1)
(2)244
【详解】（1）设公差为 ， ，由题意得 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）知在 与 之间插入 个2，所以当忽略数列 中的项，则当有 次插入新数，共
有 个项，
当 时，有62个数；
当 时，共有126个数，所以110项应该介于 和 之间，即 ，
表示共有104个2和原先 中前6项之和，
所以 .
