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专题 10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型........................................................1
题型一：插入新数列构成等差.......................................1
题型二：插入新数列构成等比.......................................3
题型三：插入新数混合.............................................4
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练...................5
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列 的前项和为 ，且满足：
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在三项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列 的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之
间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ．
(1)求数列 的通项公式．(2) 是不是数列 的项？若是，它是 的第几项？若不是，说明理由．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 和其前n项和 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入m个数，使得这 个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为 ，求
满足 的正整数m的最小值.
例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列 的前n项和为 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为 ，若不等式
对一切 恒成立，求实数 的取值范围；
例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 及数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使得这 个数依次组成公差为 的等差数列，求数列 的前 项和
.题型二：插入新数列构成等比
例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列 中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记
为 ，再在数列 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列 .若
，则数列 中第 项前（不含 ）插入的项的和最小为（ ）
A．30 B．91 C．273 D．820
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在 和 之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三
个数的积等于 .
例题3．（2023·高二课时练习）设 ，在a，b之间插入 个实数 ， ，…， ，使得这 个数成
等差数列，则有结论 成立．若 ，在a，b之间插入 个正数 ， ，…，
，使得这 个数成等比数列，则有相应的结论 成立．
例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知 ， ，求a 与Sn ．
1
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列 的前 项和为 且当 时，
成等差数列.
(1)计算 ，猜想数列 的通项公式并加以证明；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.题型三：插入新数混合
例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列 满足 ，
．其中 是数列 的前 项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ，
求 的前100项和 ．
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 为数列 的前 项和，已知
，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插入 项，
所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前100项的和.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整数），且满足
是 与 的等差中项；数列 满足 （ ， ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)试确定 的值，使得数列 为等差数列；
(3)当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个新数列 .设 是数列
的前 项和，试求 .例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列 的
前 项的和为 ，求 的值.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ，有 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求
的前40项和.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列 满足 ，在 和 之间插入n个1，构成数列 ：
，则数列 的前18项的和为（ ）A．43 B．44 C．75 D．76
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，保持数列 中各项顺序不
变，对任意的 ，在数列 的 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列
，记数列 的前n项的和为 ，则 （ ）
A．4056 B．4096 C．8152 D．8192
3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加
快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师
范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支
教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定
改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为 ，在数列 的任意相
邻两项 与 （ ，2， ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ．按新数
列 的各项依次派遣支教学生．记 为派遣了70批学生后支教学生的总数，则 的值为（ ）
A．387 B．388 C．389 D．390
4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，
得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类
似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的
数列记为 ，则 的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年
（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2
之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 ，插入
11个数后这13个数之和为 ，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C．
D．
三、填空题
6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这 个数成等差数列，若这n个数中第
一个为a，第n个为b，当 取最小值时， .
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列 的通项公式 ，在数列的任意相邻两项 与 之间插入 个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，
记新数列 的前n项和为 ，则 的值为 ．
四、解答题
8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项 ；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求证： .
9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列 的前 项和为 且当
时， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记 的前n项和为 ，求 的值（用数字作答）．11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列 是等差数列，其前 和为 ，
，数列 满足
(1)求数列 ， 的通项公式;
(2)若对数列 ， ， 在 与 之间插入 个2（ ），组成一个新数列 ，求数列 的
前2023项的和 .
12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个2，构成新数列 ，求数列 的前110项的和 .
