文档内容
专题 10 数列
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2022年高考全国乙卷数学（文）真题
考点1：等差数列基本 2023年高考全国甲卷数学（文）真题
量运算 2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2024年高考全国甲卷数学（文）真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
考点2：等比数列基本
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
量运算
2023年高考全国甲卷数学（文）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2024年北京高考数学真题
考点3：数列的实际应 2023年北京高考数学真题
用 2022年新高考全国II卷数学真题 高考对数列的考查相对稳定，考
2022年高考全国乙卷数学（理）真题 查内容、频率、题型、难度均变
化不大．等差数列、等比数列以
考点4：数列的最值问 2022年高考全国甲卷数学（理）真题
选填题的形式为主，数列通项问
题 2022年新高考北京数学高考真题 题与求和问题以解答题的形式为
主，偶尔出现在选择填空题当
2024年高考全国甲卷数学（文）真题
中，常结合函数、不等式综合考
考点5：数列的递推问 2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
查.
题（蛛网图问题） 2022年新高考浙江数学高考真题
2023年北京高考数学真题
2022年新高考浙江数学高考真题
考点6：等差数列与等
2022年新高考全国II卷数学真题
比数列的综合应用
2024年北京高考数学真题
2022年新高考北京数学高考真题
考点7：数列新定义问
2024年上海夏季高考数学真题
题
2023年北京卷、2024年北京卷
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
考点8：数列通项与求 2024年天津高考数学真题
和问题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年新高考天津数学高考真题
2023年天津高考数学真题
考点9：数列不等式
2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点1：等差数列基本量运算
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分
别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差
．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，
则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考点2：等比数列基本量运算
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C．15 D．40
12．（2023年天津高考数学真题）已知数列 的前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则
（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
14．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公
比为 ．
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等比数列， ， ，则
.
考点3：数列的实际应用
16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高
为 ．
17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
18．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相
邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已
知 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
19．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为
我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：
， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
考点4：数列的最值问题
20．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．21．（2022年新高考北京数学高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是
“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
22．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
考点6：等差数列与等比数列的综合应用
26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项
和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
27．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
28．（2024年北京高考数学真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
考点7：数列新定义问题
29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列 满足首项 ，记
，若对任意正整数 集合 是闭区间，则 的取值范围是 ．
31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若
从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称
数列 是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．32．（2023年北京高考数学真题）已知数列 的项数均为m ，且
的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
33．（2024年北京高考数学真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
考点8：数列通项与求和问题34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
35．（2024年天津高考数学真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若
．
(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
37．（2022年新高考天津数学高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
考点9：数列不等式
38．（2023年天津高考数学真题）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
39．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
40．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差
数列．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
