文档内容
专题 09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型........................................................1
题型一：通项含绝对值.............................................1
题型二：通项含取整函数...........................................3
题型三：通项含自定义符号.........................................4
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练.................5
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求 的前 项和
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前15项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， ，
且 ， ， ， ， ．
（2）由（1）可知 其中 ．故 的前15项和为
．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列 的前 项和为 ，
， ，且 有最小值.
(1)求数列 的通项公式 及前 项和 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）因 为等差数列，故 ，
又因 ，所以 或 ，
当 时， 的公差为 ， ，
此时 有最大值，无最小值不符合题意舍去，
当 时， 的公差为 ， ，
此时 ，有最小值满足题意，
，
综上 ， .
（2）当 时， ，此时 ，
当 时 ，此时，
故
题型二：通项含取整函数
如：求 的前 项和
例题1．（2023·全国·高三专题练习） 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中
表示不超过x的最大整数，如 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前1000项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）1893.
试题解析：（Ⅰ）设 的公差为 ，据已知有 ，解得
所以 的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列 的前 项和为
例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 （其中 表示不超过 的最大整数），求数列 的前100项的和 .
【答案】(1)
(2)147
【详解】（1）因为 ，所以
又因为 为正项数列,所以 ,可得
当 时， ，当 时， ，
将 代入上式验证显然适合，所以 .
（2）已知 ,因为 ， ， ，
所以 ，
所以 .
题型三：通项含自定义符号
如：记 表示x的个位数字，如
求 的前 项和
例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设 为数列 的前 项和， .数列
前 项和为 且 .数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前30项的和.
【答案】（1） ； ；（2） .
【详解】解：（1） .
时， ， 符合上式.
∴ .
又 ， ，
而当 时， ， ，
因为 ，故 ，因此 ，所以数列 为等比数列，
故 ，故 .
（2）由（1）得 ， ，因为 表示 的个位数，
因此 均为周期数列，且周期为5.
将数列 中每5个一组，前30项和可分为6组，
其前30项的和 为
.
例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设 为数列 的前 项和， ，
数列 满足 .
(1)求 及 ；
(2)记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前20项和.
【答案】(1) ， ；
(2)
【详解】（1）当 时， ，由于 也满足 ，则 .
， ， ， 是首项为3，公差为2的等差数列， .
（2） ， 的前5项依次为1，3，5，7，9.
， 的前5项依次为3，5，7，9，1.
易知，数列 与 的周期均为5，
的前20项和为
.二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列 满足 ， ，且 ，若
表示不超过 的最大整数（例如 ， ），则 ＝（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】B
【详解】 ， ， ．
是等差数列，首项为4，公差为2．
．
时，
．
．
当 时， ．
.
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列 满足： ， ，若前三项构
成等比数列且满足 ， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ）
（ 表示不超过 的最大整数）.
A．4040 B．4041 C．5384 D．5385
【答案】C
【详解】依题意 ，
，即 ，解得 .
则 ，结合 ，解得 .依题意 ，
，
，
所以数列 是周期为 的周期数列，
，
，
，所以 .
故选：C
二、填空题
3．（2023·全国·高三对口高考）已知 的前n项和 ，则 .
【答案】
【详解】当 时， ，
当 时，
取 时， ，此式不满足 ，
故 的通项公式为 ，
根据通项公式知， .
所以
故答案为： .
三、双空题
4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列 ，如果存在最小的一个常数 ，使得对任意的正整
数恒有 成立，则称数列 是周期为 的周期数列.设 ，数列前 项
的和分别记为 ，则 三者的关系式 ；已知数列 的通项公式为
，那么满足 的正整数 = .
【答案】 或
【详解】(1)因为数列 是周期为 的周期数列， ，则
，
所以 .故答案为： .
(2)因为 ，所以 ，
所以当 时， 的前 项和为 ，
当 时， 的前 项和为 ；
满足 ，
即 ， .
而 ，
(1)当 时， ，
所以 ，
解得 或 ；
(2)当 时， ，
所以 ，
解得 不是整数，舍去.
故答案为： 或 .
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比为2的等比数
列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 表示不超过 的最大整数（如： ），求集合
中元素的个数．
【答案】(1)
(2)36
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可知 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
，故 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，
所以当 时， ，则 ，又 ，故 ；
当 时， ，则 ，故 ；
当 时， ，则 ，故 ；
当 时， ，则 ，故 ，
依次类推，当 时， ，则 ，故 ，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合 中元素的个数为
个．
6．（2023·全国·高二专题练习）从条件① ；② ；③
中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列 的前 项和为 ， ，_____________.
(1)求 的通项公式；
(2) 表示不超过 的最大整数，记 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)若选①或②， ,；选③，
(2)若选①或②， ；选③，
【详解】（1）若选①：
因为 ，所以 ，
两式相减得 ，整理得 ，
即 ，所以 为常数列， ，所以 ；
若选②：
因为 ，所以 ，
两式相减 ，得 ，因为 ，所以 ，
故 为等差数列，则 ；
若选③：
由 ，变形得： ，则 ，
易知 ，所以 ，则 为等差数列，由 ，则
， ，所以 ，
由当 时， ，也满足上式，所以 .
（2）若选①或②：
由题意， ，当 时， ， ；
当 时， ， ；当 时， ；
.
若选③：
由题意， ，当 时， ， ；
当 时， ， ；当 时， ， ；
.
7．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为
常数， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【详解】若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则
解得 所以由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ， ，
通项
故 .
不妨设 的公差为 ，则 ，
解得 所以 .
由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则 ，
因为 解得 所以 .
由
则
，
所以 .
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中，公差 ， 是 和 的等比中项；
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）【详解】（1） 是 和 的等比中项，
所以 ，
即 ，
又由 ，
即 ，
整理得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ， ，
则 ，
当 时， ，
所以 ，
当 时，记数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 ，
综上得： .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，（2）
【详解】解：（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，
时，满足上式，
所以
（2）由 得 ，而 ，所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时，
，
所以
10．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知数列 是单调递增的等差数列，设
其前 项和为 ，已知 ，且 成等比数列.
(1)求 的通项公式：
(2)定义 为不大于 的最大整数，求数列 的前 项和.
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可知 ，
因为 ，且 成等比数列，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
（2）由（1）得 ，
所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
……当 时， ，
所以数列 的前 项和为
，
令 ，则
，
所以
，
所以 .
11．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 为等比数列，并求 ；
(2)对于实数 ， 表示不超过 的最大整数，求 的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)610
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，整理得到 ，
所以 .（2）因为 ，
所以
.
设 ，所以 ，
所以
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知等比数列 是递减数列，设其前n项和为 ，已知 ，
且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)定义 为不大于x的最大整数，若等差数列 的首项为 ，公差为 的公比，求数列
的前15项和.
【答案】(1)
(2)34【详解】（1）设等比数列 的公比为q，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ①.
因为 ，所以 ②.
②－①得 ，所以 ，
代入 ，得 .
解得 或 （舍去）.
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，则 .
所以 .
当 时， .
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以数列 的前15项和为 .
13．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列 中， ，公差 ，令 ，求数列 的前n
项和 ．
【答案】【详解】由题意知等差数列 中， ，公差 ，
故 ，
令 ，
故当 时， ；
当 时， ，
，
故 .
14．（2023·全国·高三专题练习） ， ，记 表示 的个位数字，如
， 求数列 的前20项的和
【答案】
【详解】因为 ， 分别表示 ， 的个位数，
所以 为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，
为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5，
将数列 中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和 为
故答案为： .15．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列 是以2为公差的等差数列， ， ， 成等
比数列，数列 前 项和为 ，且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 表示x的个位数字，如 ， 求数列 的前20项的和
.
【答案】(1) ，b =2n+ 1；
n
(2) .
【详解】（1）由a，a， a 成等比数列可得 ，即 ，解得a=1，
1 2 5 1
所以 ，又 ，
则有 ，
当n≥2时， ，
所以b =2n+ 1，又 满足此式
n
综上， .
（2）因为，< b >分别表示a ，b 的个位数，
n n n n
所以{}，{< b > }均为周期数列，且周期为5，
n n
将数列 中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和T 为
20
