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重难点突破 05 数列综合运用
一．选择题（共15小题）
1．（2023•顺义区一模）若等差数列 和等比数列 满足 ， ， ，
则 的公差为
A．1 B． C． D．2
【解答】解：设等比数列 的公比为 ， ， ，
则 ，解得 ，
，
设等差数列 的公差为 ， ，
则 ，解得 ，
故选： ．
2．（2023•温州模拟）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，
则
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【解答】解：数列 各项为正数， 满足 ， ，
可得 ， ，
， ，即有 ，
可得 是等差数列．
故选： ．
3．（2023•全国二模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5， ，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即
，后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”．
记 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
故选： ．
4．（2023•皇姑区四模）设 为数列 的前 项和，若 ，且存在 ，
，则 的取值集合为
A． ， B． ， C． ， D．
【解答】解： ，
，
不妨令 ，则 ，
解得 或 （不合题意，舍去），即 ，， 或 ，
， ，即 ，
当 时， ，
，
当 时， ，由 得 ，
，
则 的取值集合为 ， ．
故选： ．
5．（2023•濠江区校级模拟）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的
某序列 ， ， ， 重新编辑，编辑新序列为 ， ， ，
，它的第 项为 ，若 的所有项都是2，且 ， ，则
A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：令 ，则 ， ， ， ，
， ， ， ，
由题意得对任意的 ， ，且 ，
数列 是公差为2的等差数列，且 ，即 ，
，解得 ．
故选： ．
6．（2023•张家口二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与互质的正整数的个数，例如： （1） ， （3） ．数列 满足 ，其前
项和为 ，则
A．1024 B．2048 C．1023 D．2047
【解答】解：由题意得 ，
则 ，即 表示从1到 的正整数中，与 互质的正整数的个数，相当
于去掉从1到 的正整数中所有2的倍数的个数（共 个数），
．
．
故选： ．
7．（2023•固始县校级模拟）数列 中， ，对任意 ， ， ，若
，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由 ，令 ，则 ，即 ，
数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，
，
，则 ，解得 ，
故选： ．
8．（2023•李沧区校级一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016
个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕
像”的个数构成一个数列 ，则 的值为
A．8 B．10 C．12 D．16
【解答】解：从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 ，
则 是以2为公比的等比数列，
， ，解得 ，
所以 ，
．
故选： ．
9．（2023•海淀区校级三模） 是各项均为正数的等差数列，其公差 ， 是等比
数列，若 ， ， 和 分别是 和 的前 项和，则
A．
B．
C．
D． 和 的大小关系不确定
【解答】解：因为 是各项均为正数的等差数列，其公差 ，
则 ，且 ，则 ，
设等比数列 的公比为 ，则 且 ，即 且 ，又因为 ，所以，等比数列 为正项单调数列，
由基本不等式可得 ， ，
， ，
所以， ，
故选： ．
10．（2023•秦安县校级一模）已知数列 满足 ，设
， 为数列 的前 项和．若 对任意 恒成立，则实数 的最
小值为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
两式相减得， ，
所以 ，
当 时， ，不满足上式，
所以 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故选： ．
11 ． （ 2023• 云 南 模 拟 ） 已 知 正 项 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，
得 ，
，
， ，
又 ，
．
故选： ．
12．（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
【解答】解：法 对原式进行变形，得 ，
当 ，则 ， ，
设 ，则 ，所以 是递减数列，
当 ， ， 错误，同理可证明 错误，
当 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，
假设 ，则 ，即 ，又因为 ，所以
，
所以当 ， ， 正确，
对于 ，当 ，可得 ， ，可得 是递减数列， ，
故不存在 ，使得 时， 恒成立， 错误．
法 ，可得 ， ，
所以 ， ，
，
归纳猜想： ，当 时， ，即 ，所以
是递减数列，无边界；
时， ，即 ，由复合
函数的单调性，可得 是递增，有边界，所以 正确；
时， ，所以 是递减数列，有边界；所以 不正确；
时， ，所 以 是递增数列，无边界；所以 不正确；
故选： ．
13．（2023秋•兴庆区校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享
有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过
的最大整数，则 称为“高斯函数”，例如： ， ．已知数列
满足 ， ， ，若 ， 为数列 的前 项和，
则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ．又 ，所以数列
构成以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ．又 ， ， ， ，
叠加可得 ，即 ，
所以 ．
又因为 满足上式，所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．故 ．
所以 ．
故选： ．
14．（2023•思明区校级一模）已知数列 满足： ， ，则
数列 的前100项的和为
A．50 B．98 C．100 D．102
【解答】解：由 ， ，
令 、2、3、4， ，
可得 ， ，
两式相加可得 ， ， ，
两式相加 ， ， ，
进行推论归纳可得 ， ，所以，对任意的 ， ，
所以，数列 的前100项的和为 ．
故选： ．
15．（2023•龙华区校级模拟）已知 ， ，若数列 的前 项
和为 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，
可知
．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．（2023•扬中市校级模拟）已知数列 满足 ， ，则下列结
论正确的有
A． 为等比数列B． 的通项公式为
C． 为递增数列
D． 的前 项和
【解答】解：数列 满足 ， ，整理得： ，
转换为 ，
故： ，所以 是以 为首项，2为公比的等比数列．
故： ，整理得 ．
则： 为递减数列．
进一步整理得： ，
所以 的前 项和： ，
故选： ．
17 ． （ 2023• 昌 江 县 二 模 ） 已 知 数 列 满 足 ，
， 为数列 的前 项和．若对任意实数 ，都有 成立，则
实数 的可能取值为
A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由 ，得 ，
两式相减得 ，则 ，
又当 时， ，解得 ，满足上式，
所 以 ， 故
，
所以 ，又 ，所以 ．
故选： ．
18．（2023•黄冈模拟）设数列 前 项和为 ，满足 ， 且
， ，则下列选项正确的是
A．
B．数列 为等差数列
C．当 时 有最大值
D．设 ，则当 或 时数列 的前 项和取最大值
【解答】解： 选项，当 时， ，
又 ，解得 ，
当 时， ①，
②，
① ②得， ，即 ，
化为 ，
， ， 不能对任意的 恒成立，
，
，
故 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
通项公式为 ， 正确；
选项， ，
故 ，
则当 时， ，
故 为等差数列， 正确；
选项， ，
当 时， 取得最大值， 错误；
选项，令 得 ，令 得 ，
则当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
又 ， ，则当 或 时数列 的前 项和取最大值， 正确．
故选： ．
19．（2023•怀化二模）数列 满足 ， ，数列 的
前 项和为 ，且 ，则下列正确的是
A．
B．数列 的前 项和
C．数列 的前 项和
D．
【解答】解：由 ，有 ，又 ，
所以 是首项为2，公差为2的等差数列，则 ，
则 ，则 ， 错误；
由 ，可得 ，解之得 ，
又 时， ，则 ，整理得 ，
则数列 是首项为3公比为3的等比数列，则 ，
则 数 列 的 前 项 和
正确；，
则数列 的前 项和 ，
正确；
设数列 的前 项和 ，
则 ， ，
两式相减得 ，
整理得 ，则当 时， ， 正确．
故选： ．
20．（2023•扬州三模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，
这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列 1，2进行“美好成长”，第一次得到
数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2； ；设第 次“美好成长”后得到的数列
为1， ， ， ， ，2，并记 ，则
A．
B．
C．
D．数列 的前 项和为
【解答】解：选项 ， ，即 正确；
选项 ，设每次插入项的个数构成数列 ，则 ， ， ， ，
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，而数列 的前 项和为 ，所以 ，即 错误；
选项 ，
，即 正确；
选项 ，由 知， ，
因为 ，
所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
所以 ，
故其前 项和为
即 正确．
故选： ．
三．解答题（共10小题）
21．（2023•黄冈模拟）设等差数列 前 项和 ， ，满足 ，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ．
【解答】解：（1）依题意有 ，
， ，又 为等差数列，设公差为 ，
， ．
（2）证明：由（1）可得 ，
，
， ， ， ， ，
，
．
22．（2023•桃城区校级模拟）已知数列 的首项 ，且满足 ，设
．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若 ，求满足条件的最小正整数 ．
【解答】解：（1）证明： ， ，
所以数列 为首项为 ，公比为 等比数列．（2）由（1）可得 ，
即 ，
，
而 随着 的增大而增大，
要使 ，即 ，则 ，
的最小值为140．
23．（2023•重庆模拟）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比
利时的数学家欧仁 查理 卡特兰 命名．历史上，清代数学家明安图 年
年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者
建议将此数命名为“明安图数”或“明安图 卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一
个数列： 且 ．如果能把公式化成上面这种形式的数，就
是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特
兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在 上，你每个单位时间可以向上走一格，
或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到
， 有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 ．
（1）证明 是卡特兰数；
（2）求 的通项公式．
【解答】解：（1）证明：在一个无穷网格上，最开始在 上，每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，
在任意一个时刻，往右走的次数都不能少于往上走的次数，记合法路径的总数为 ．
若先走到 则合法路径 ，
若先走到 且不走到 ，
相当于走到 后向右走到 再走到 ，
合法路径 ，若先走到 且不走到 ， ，
相当于走到 后再从 走到 ，
合法路径 ，于是 ，即 为卡特兰数；
（2）记直线 ，则所有不合法路线都会与直线 有交点，
记第一个交点为 ，
将 之后的路径都沿着 对称，那么这条不合法路径的终点成为了 ，
总路线为 ，不合法路线为 ，合法路径为 ，即 ．
24．（2023•湖北模拟）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，若数列 满足 ，求证： ．
【解答】解：（1） ，
当 时， ，
两式相减得： ，整理得 ，
，
，
当 时， ，
（舍 或 ，
是以1为首项，1为公差的等差数列，则 ；
（2）证明：由（1）知， ， ，
，
，即 ．
25．（2023•杭州二模）设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ， ，
．
（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ， ， ，
， ， ，
联立解得 ， ，
．
（2）数列 满足 ， ，
， ，
，
时， ， ，
数列 的前 项和 ．
26．（2023•湖南模拟）记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，试求 除以3的余数．
【解答】解：（1） ，
，①
，②由② ①可得 ，
又 ，
即 ，
又 ，
即 ，
即数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 ；
（2）由（1）可得 ，
则 ，
则 ，
又
即 除以3的余数为2．
27．（2023•全国三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，等差数列
中， ， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）数列 与 的共同项由小到大排列组成新数列 ，求数列 的前20的积 ．【解答】解：（1） ， ，当 时， ，两式相减得：
，
即 ，而 ，
解得 ，
因此数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
所以 ，
在等差数列 中，由 ，得 ，
解得 ，
则公差 ， ，
所以 和 的通项公式分别为 ， ；
（2）令数列 的第 项与数列 的第 项相同，即 ，
于是 ，
显然 是4的正整数倍，要 成立，
当且仅当 为正偶数，因此数列 与 的共同项为 ，即 ，
所以 ．
28．（2023•枣庄二模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）证明： 为等比数列；
（2）已知 为 的前 项和，求 ．【解答】解：（1）证明： ，
变形为 ，
，
为等比数列，首项为1，公比为 ．
（2）由（1）可得： ，
，
为奇数时， ；
为偶数时， ．
29．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ，
的前 项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
30．（2023•海口模拟）记 为数列 的前 项和，已知 ．
（Ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 为实数，且对任意 ，总有 ，求 的最小值．
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
作差可得 ，变形可得： ，
由条件可得 ，所以 ， ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得： ， ， ，
，， 满足 的 的最小值为2．
