文档内容
专题 07 数列求和（错位相减法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
题型一：乘型.....................................................1
题型二：除型.....................................................5
三、专题07 数列求和（错位相减法）专项训练...........................9
一、必备秘籍
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式 ，其中{a
n
}、{b
n
}
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列
的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减
法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
二、典型题型
题型一：乘型
例题1．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，两式相减并化简得：
，所以 ，两式相加得 ，
所以数列 为等差数列，又当 时， ，所以 ，
设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 .
例题2．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知数列 为等差数列， ，公差
，数列 为等比数列，且 ， ， （ ）．
(1)求数列 的公比q；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的n的最小值．
【答案】(1)
(2)13
【详解】（1）∵ ， ， ，
又 ， ， ， ， ，
∴ ，故 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）由（1）知 ， ，
所以 ，
，
错位相减得：，
∴ ，
由 ，可得 ，
令 ，
则 ，
令 ，
故当 且 时， ，当 且 时， ，
而 ，而 ，
故 ， ， ，满足 ，
∴满足 的n的最小值为13．
例题3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，令 ，数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
，
，
，
又 ，
，
，
是等差数列，
；（2） ，
（1），
（2），
由（1）-（2）得 ，
化简得 ，
若 为偶数时， ，
若为 奇数时 ，
因此 .
例题4．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知数列 满足
，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由题意知 ，
则当 时， ，
故两式相减得 ，即 ，
又当 时， ， ，故 ，
即 也适合 ；所以当 时， ，
即 ， 也适合，故 ；
又数列 满足 ， ，
则 为等比数列，设公比为q，则 ，
故 ，即 ；
（2）由（1）可得 ，
故 ，
则 ，
故
，
故 .
题型二：除型
例题1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知数列 为递增的等差数列， 为 的前 项
和， ， ， .
(1)若数列 为等差数列，求非零常数 的值；
(2)在（1）的条件下， ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 为递增的等差数列， ， ，故 为方程 的两根，
因为数列 为递增的等差数列，
解得 ， ，故公差 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，若 为等差数列，设 ，
则 ，整理得 ，
即 ，
故 ，
又 ，解得 ， ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
因此 ，
又 ，
两式相减得
，
所以 .
例题2．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知各项为正的数列 的前 项和为 ，满
足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为 ①，所以 ②.
② ①两得 ，即
又因 ，所以 ；当 时 ，
解得 ，所以 .
（2）由（1）知 ，则 ①，
②，
① ②得
，
所以 .
例题3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，且满足
．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由 ，
得 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，当 时， ，解得 （ 舍去），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 ，
则 ，
则 ，
，
两式相减得
，
所以 .
例题4．（2023春·河南周口·高二校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．数列 为等差数列， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)记 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【详解】（1）∵ , ,两式作差得: ,又 ，
∴ 是首项为1,公比为2的等比数列, 则 .
设 的公差为 , 由 , 可得 ,
∴ .
（2）由(1)知: , 的前n项和 ，
所以 ,，
两式作差得:
.
所以 .
三、专题07 数列求和（错位相减法）专项训练
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为： ， ，则数列 的前100
项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令数列 的前n项和为 ，因为 ，
则 ，
则有
两式相减得： ，
因此 ，有 ，
所以数列 的前100项之和为 .
故选：B
2．（2023·全国·高三对口高考）数列 的前n项之和为 ，则 的值等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知， ，
所以 ，
故 ，
两式相减可得，
，
所以 ..
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）复数 的虚部为( ).
A． B． C．1011 D．2022
【答案】A
【详解】由题意得 ，
所以 ，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得： ，
；
设 ，
则 ，
，
，
，即 ，
.
故选：B.
二、填空题
5．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知 ，数列 前 项和
．
【答案】
【详解】由已知得， ，
则 ， ，
两式相减得， ，
所以， .
故答案为：
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和
.
【答案】【详解】由数列 的通项公式为 ，
所以数列 的前 项和为：
，①
则： ，②
① ②： ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
故答案为： .
7．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知数列 的前 项即为 ，且
，若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】 数列 的前 项即为 ，且
，
，
两式相减可得： ，
. ， 单调递增，即 .
， ， .又 若对任意 ，都有 ，即 ， .
故答案为： .
8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，则
.
【答案】
【详解】 ①，
②，
两式相减得： ，
所以 ，经检验符合要求.
则 ，
则 ③，
④，
③-④得：
，
所以
故答案为：
三、解答题
9．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列 满足 ， ，公比不为 的等
比数列 满足 ， .
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为 ，所以有 和 ，
注意到 ，所以分别解得 和 ，
因此由定义可知 与 的通项公式分别为 .
（2）由（1）可知 ，
所以由题意有 ，
当 时，有 ，
所以有 ，
以上两式作差得
，
当 时，有 ，
综上所述： 的前 项和为 .
10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设 是首项为1的等比数列，数列 满足
，已知 ， ， 成等差数列.
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 和 分别为 和 的前n项和，求 和 .
【答案】(1) ， ；
(2) ， .
【详解】（1）设 的公比为q，则 ，
由 ， ， 成等差数列，得 ，则有 ，解得 ，
所以 和 的通项公式是 ， .
（2）由（1）知 ；，
则 ，
两式相减得 ，
所以 .
11．（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，数列 的前 项
和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式与 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ， ．
(2)证明见解析
【详解】（1）解： ．
当 时， ．
当 时， ，则 ．
因为 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ．
故 ， ．
（2）证明： ．
记 的前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减得．
所以 ，所以 ．
12．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ；
经检验： 满足上式，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）得， ，
，
所以 .
即 ，即 .
13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等比数列 的前 项
和为 ， ，且满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，求使 成立的 的最大值.
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，依题意， ，则 .
，则 ，
得 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
得 ，
得 ，
两式相减得
，
所以 .
由 ，得 ，
当 时，左边 ，
当 时， ，
所以 的最大值为5.
