文档内容
重难点 5-1 数列通项公式的求法
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，
但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
【题型1 观察法求通项】
满分技巧
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数
列的一个通项．
【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列 ，则
是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项
【答案】B
【解析】由题意可得数列的通项公式为 ，
又 ，解得 ，
所以 是这个数列的第22项．故选：B．
【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列 ， ， ， ， 的一个通项公
式是a=（ ）
n
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列 ， ， ， ， 的通项公式为 ，
则数列 ， ， ， ， 的通项公式为 ，而数列 ， ， ， ， 的每一项都是上面数列对应项的 ，
所以数列 ， ， ， ， 的通项公式为 .故选：C.
【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列 的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该数列为 ， .
选项A， ，不满足题意，故A错误；
选项B， ，不满足题意，故B错误；
选项C， ，不满足题意，故C错误；
选项D， ，均满足题意.故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的
通项可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，当n为奇数时， ，当n为偶数时， ，故A中通项公式正确；对于B显然正确；
对于C，当 时， ，显然不符合；
对于D，当n为奇数时， ，当n为偶数时， ，故D中通项公式正确.故选：ABD．
【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下
俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，
第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666【答案】D
【解析】由题意，第一层 个球，第二层 个，第三层 个，第四层 个，
据此规律，第三十六层有小球 个.故选：D
【题型2 由Sn与an关系求通项】
满分技巧
若已知数列的前n项和 S n与 的关系，
求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和
合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前 项和 ，则该数列的第4项为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【解析】 ，
该数列的第4项 .故选：B.
【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列 的前 项和为 ，若 ，
则 ．
【答案】
【解析】 ①， ②，
两式相减得 ，故 ， ，
令 中 得， ，
所以 ，而 不适合上式.
【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，且
都有 ，则（ ）
A． 是等比数列 B． C． D．【答案】D
【解析】依题意，因为 ，
即 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以数列 是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
时， ， 时， ，
所以 ，故选：D．
【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列 满足 ，则 的通
项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，有 ，所以 ，
当 时，由 ， ，
两式相减得 ，
此时， ， 也满足，
所以 的通项公式为 .故选：B.
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且数列
的前 项和为 ．若 的最大值为 ，则实数 的最大值是 ．
【答案】
【解析】因为 ，即 ，
当 时， ，
两式相减得 ，所以 ，（ ），
又 满足 ，所以 ，（ ），
令 ， ，
显然数列 是等差数列，若 的最大值为 ，则 ，解得 ，
所以实数 的最大值是 .
【题型3 累加法求通项】
满分技巧
适用于a ＝a＋f(n)，可变形为a －a＝f(n)
n＋1 n n＋1 n
利用恒等式a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )(n≥2，n∈N*)求解
n 1 2 1 3 2 n n－1
【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列 满足 ，且 ，若 ，则
正整数 为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【解析】 ，故 ， ，故 ，
.
故 ， ，即 ，故 ，解得 .故选：B
【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知 是数列 的前 项和， ，
，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
两式相减得: ,
即 ，即 ，即 ， .
所以 ， ， ，…， .
相乘得： … … ，即 ，因为 ，所以 ， .
当 时， ，所以 .故选：B
【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列 中， ，则
.
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则当 时， ，
则 .又 也满足 ，所以 .
【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列 满足 ， （ ， ），则
的最小值是 .
【答案】6
【解析】由已知 ， ，…， ， ，
所以 ， ，
又 也满足上式，所以 ，
设 ，由对勾函数性质知 在 上单调递减，在 递增，
因此 在 时递减，在 时递增，
又 ， ，所以 的最小值是6.
【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列 满足 ， ， ，
.则集合 中元素的个数为 .
【答案】24【解析】由题意得 ， ，
所以
，
又 ，所以 ， ，
当 为偶数时，令 ，解得 ，
当 为奇数时，令 ，因为函数 的对称轴为 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，
综上可得集合 中元素的个数为 .
【题型4 累乘法求通项】
满分技巧
适用于a ＝f(n)a，可变形为＝f(n)
n＋1 n
要点：利用恒等式a＝a···…·(a≠0，n≥2，n∈N*)求解
n 1 n
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ，且 ，求数列通项公式.
【答案】 .
【解析】数列 中， ， ，显然 ，当 时， ，
， 也满足上式，
所以数列 通项公式是 .
【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列 满足 ，
，则满足不等式 的最大正整数 为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B【解析】依题意，数列 满足 ， ，
，所以 ，
也符合，所以 ， 是单调递增数列，
由 ，解得 ，
所以 的最大值为 .故选：B
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】 ，
，即 ，可得 ，
.故选：C.
【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列 的前n项积为 ，且 ，
则使得 的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题， ，又 ，
， ，两式相除可得 ，
上式两边取对数，可得 ，即 ， ，
，化简得 ，解得 ，
又 ，即 ，所以 的通项公式为 ，
，
要使 ，即 ，解得 ，
且 ，所以满足题意的最小正整数 的值为6.故选：C.【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列 的首项为2，等比数列 满足 且
，则 的值为 ．
【答案】2
【解析】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
利用等比数列定义可知
所以可得 ， ， ，
由累乘可得 ，
整理可得
所以 ，
又 ，所以可得 ；即 .
【题型5 构造法求通项】
满分技巧
1、形如 （其中 均为常数 且 ）型
设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定系数
法）得 ，即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．
2、形如 型
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ；
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得法二：当 的公比为 时，由递推式得： —①， ，两边同时乘以
得 —②，由①②两式相减得 ，即 ，构造等比
数列。
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q，r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 。
【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列 中， ，且 ，则 的通项
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
由 ，得 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ．故选：A
【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列 中， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
所以 所以数列 是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以 .故选：C
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由 ，可得：
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，则 ，故 .
所以 ， ， ， .
则 ，所以选项A错误，选项B、D正确.
因为 所以 正确．
故选：BCD．
【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列 中， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是递增数列 C． D．
【答案】BD
【解析】由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 ，所以A不正确；
由 ，即 ，所以 是递增数列，所以B正确；
由 ，所以C错误；
由 ， ，所以 ，所以D正确.故选：BD.
【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为
（1）试求数列 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意 ，两边同时除以 ，将其变形为 ，即 ，
由等差数列的定义可知 是以首项为 、公差为 的等差数列，
所以 ，即 .
（2）由（1）可知 ，显然当 时，有 ，
当 时，有 ，所以 ，
两式相减得
.
而当 时，也有 ，
综上所述： ， .
【题型6 倒数法求通项】
满分技巧
形如a ＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋
n＋1
要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为a ＝sa＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
n＋1 n
【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列 满足： ， ，
则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，即 ，故 ，
又因为 ，所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而 ，解得 .故选：C.
【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列 满足 ，则数列 的前
2017项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】根据题意，有 ，于是 ，进而 ，
于是 ，进而 .故选：C
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列 各项均为正数， ，且有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
显然若 ，则 ，则 ， ，与题意矛盾，
所以 ， ，两边同时取倒数，得： ，
设 ， ， ， ，
因为 ，故 ，故 ，所以 为等比数列，
所以 ，故 ，所以 ，
故 ，故选：D.
【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足
．若 ，则n的最大值为 ．
【答案】15
【解析】因为 ，所以 ，即 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
可求得 ，所以 ，
即 且 单调递增, .
则n的最大值为15.
【题型7 三项递推法求通项】
满分技巧
适用于形如 型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数得
，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为
型．
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以数列 以首项为 ，公比为4的等比数列，
所以 ， ， ， ，
，
累加得： ，
所以 ，
所以 ，故选：A.
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ，若 ，
则 （ ）A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】A
【解析】由 且数列不存在为0的项，得 ，
所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以 ，所以 ．
由 ，得 ，故选：A．
【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知 ， ， （ ，
）， 为其前 项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 （ ， ）可得 ，
已知 ， ，所以 ，
即 是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
， ， ， ， ，
，故选B.
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且 ，求通项 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由等比数列定义知，数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，
累加法可得： ，
所以 ，又 符合该式，故 .【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列 满足： ， ，且
，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由 ，
化简得 ，
由 ， ，得 ，
所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
【题型8 不动点法求通项】
满分技巧
f(x)=x f(x)
（1）定义：方程 的根称为函数 的不动点．
f(x) a =f(a )
利用函数 的不动点，可将某些递推关系 n+1 n 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数
列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列 中， 已知，且 时， （ 是常数），
** 错误的表达式 **当 时，数列 为等差数列；
** 错误的表达式 **当 时，数列 为常数数列；
** 错误的表达式 **当 时，数列 为等比数列；
** 错误的表达式 **当 时，称 是数列 的一阶特征方程，
其根 叫做特征方程的特征根，这时数列 的通项公式为： ；
（3）形如
a
1
=m
1，
a
2
=m
2，
a
n+2
=p⋅a
n+1
+q⋅a
n（ p、q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求
a x2 =px+q
得通项 n，其特征方程为 （*）．
β c c
（1）若方程（*）有二异根α、 ，则可令 （ 1、 2是待定常数）；
β a =(c +nc )⋅αn c c
（2）若方程（*）有二重根α= ，则可令 n 1 2 （ 1、 2是待定常数）．
c c a =m a =m
(其中 1、 2可利用 1 1， 2 2求得)【例8】（2023·全国·高三专题练习）若 （ ，且 ）求数列 的通项公式．
【答案】
【解析】根据迭代数列 ，构造函数 ，易知 有唯一的不动点 ，
根据定理3可知 ， ， ， ，
则 ，即数列 是以首项 ，公差为 的等差数列．
则对应的通项公式为 ，解得 ，
又 也满足上式．
∴ 的通项公式为 ．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足性质：对于 且 求
的通项公式.
【答案】
【解析】依定理作特征方程 变形得 其根为
故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
，
∴
∴ ，即 .
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列
的通项公式．
【答案】【解析】令 ．先求出数列的不动点 ，解得 ．
将不动点 代入递推公式，得 ，
整理得 ， ，
∴ ．
令 ，则 ， ．
∴数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ 的通项公式为 ．
将 代入，得 ，∴ ．
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列 满足下列关系： ， ， ，求数
列 的通项公式．
【答案】
【解析】令函数 ，解方程 求出不动点 ，
于是 ，
∴ 是以 为首项，公差为 的等差数列，
∴ ，∴ .
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．
【答案】
【解析】依题 ，记 ，令 ，求出不动点 或3
所以 ， ，∴ ，
又 ，所以 ，……， ， ，
∴ ．
又 ，令 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
∴ ．由 ，得 ．
∴ ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1， ， ， ，3， ，…， ，…，则7是这
个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
【答案】C
【解析】因为数列的第 项为 ，而 ，
所以7是题中数列的第25项．故选：C
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设 是数列 的前 项和，已知 且
，则 （ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
【答案】B
【解析】 时， ，
时， ，
作差得 ，即 ,
所以数列 从第二项起成等比数列，
所以 .故选：B.
3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列 中， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，故可得 ， ，…， ，及
累加可得 ，
则 ，所以 ，
则 ．故选：B．
4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列 满足 ，且 ，则数列 的前9
项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设， ，
所以 ，
故 .故选：C
5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【解析】∵ ①，
∴ ②，
②减去①得： ，即 ，
又∵ ，即 ，
∴数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
∴ .故选：B.
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，若 ，
， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ．故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 （ ），则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，得 ，
当 时， ，
两式相减得 ，则 ，
显然 满足上式，因此 ，
所以 .故选：A
8．（2022·高二单元测试）已知数列 满足 = ， ，则数列 的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ,
设 ,可得 ,
所以 ，即 ,
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，
所以 ，所以 .故选:A.
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列 满足 ，，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，
可得： ， ， ， ， ，
则
即 ，则 ，
又 时也成立，所以 故选项B判断正确；
由 ，可知选项A判断正确；
令
则2
两式相减得 ，
故选项D判断正确；
由 ，可得选项C判断错误.故选：ABD
10．（2023·福建福州·高三校考阶段练习）（多选）已知数列 的前 项的和为 ， ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是等比数列 C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可知 ，所以 ，故A正确；
因为 ，
所以 不能是等比数列，故B错误；
因为 （ ），即 （ ），
所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，
即 ，故D正确．故选：AD.
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 则该数列
的通项公式为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
又 ，所以数列 是以3为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，等式两边同时除以 ，得 ，
又 ，所以数列 是以 为首项，3为公差的等差数列，
所以 ，得到 .
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
若 ，则数列 的前50项和为 .
【答案】
【解析】由 ， ，
可得数列 中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又 ， ，可得数列 的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
进而可得 ，
则数列 的前50项和为
．
13．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知 ， ，则数列
的通项公式是 ．
【答案】
【解析】由题意知 ，整理得 ，可得 ，又由 ，则 ，
所以数列 的通项公式为 ，显然n = 1也满足.
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知 为数列 的前 项和，且满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ( )；（2） .
【解析】（1）∵ ，
∴当 时， ，
两式相减得 ，即 ( )，
当 时， ，符合上式，
∴ 的通项公式为 ( )．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
15．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列 满足 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以， ，①
又因为 ，所以，数列 为常数列，
故 ，②② ①可得 ，所以， ，
所以，对任意的 ， .
（2）令 ，则 ，
则
.
令 ①，
所以 ②，
① ②得 ，
所以 ，所以 .
