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重难点 06 两种数列最值求法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：单调性法求数列最值
一、单选题
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列 的前n项和为 ， ，
则数列 （ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．既无最大项，又无最小项 D．既有最大项，又有最小项
【答案】D
【分析】根据等差数列的首项 ,公差 列方程,可得 和 ,进而可得 , 通项,进而根据 的单调
性,即可得最值.
【详解】等差数列 的首项为 ,公差为 , 由 得 ,故
当 时, 单调递减,故 ,且
当 时, 单调递减,故 ,且
故 有最大值为2,最小值为
故选:D
2．（2022·北京·二模）已知等差数列 与等比数列 的首项均为－3，且 ， ，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式 ，得出 ，确定数列 中奇数项都是负数，偶数
项都是正数，然后设 ，用作差法得出 的单调性，从而可得数列 的最值．
【详解】 ， ，则 ， ，
， ， ， ， ，
，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，
设 ，
则 ，
，即 时， ， ，
时， ， ，即数列 ，从 到 递增，从 往后递减，
由于 中奇数项都是负数，偶数项都是正数，
所以 中， 最大，
又 ， ，所以 是最小项．
故选：A．
3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列 的首项 ，且 ，正项等比数列
的首项 ，且 ，若数列 的前n项和为 ，则数列 的最大项的值为（ ）
A． B．1 C． D．2【答案】C
【分析】先求出 ，的得到 ，再求出 ，从而得出 ，然后分析出数列 的单调性，得出答案.
【详解】设等差数列 的公比为 ，由 ，则
即 ，故 ，则
则
设正项等比数列 的公比为 ，由 ，则
所以 ，解得 ，则
，设 ，则
当 时， ，即
当 时， ，即
所以 最大.
故选：C
4．（2022·广东·一模）已知正项数列 满足 ，当 最大时， 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先令 ，两边取对数，再分析 的最值即可求解.
【详解】令 ，两边取对数，有 ，
令 ，则 ，当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 时， 取到最大值，从而 有最大值，
因此，对于 ，当 时， ；当 时， .
而 ，因此，当 最大时， .
故选：B
二、多选题
5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列 的前n项和为 ，若 ，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．满足 的n的最大值为2020
【答案】ACD
【分析】A选项，对 化简后得到结果；B选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消
法求和；C选项， 是单调递减数列，故 ；D选项，在B选项的基础上进行求解即可..
【详解】 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ，所以 是单调递减数列，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 单调递增，且 ， ，所以满足 的n的最大
值为2020，故D正确．
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 各项均为正数， ， ，数列 的前
项积为 ，则（ ）
A．数列 单调递增 B．数列 单调递减
C．当 时， 最大 D．当 时， 最小
【答案】BC
【分析】由等比数列基本量求得等比数列 的公比，由 可得数列 的增减性，然后由 判断
数列 的单调性，从而得到 的最值.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ， ，
等比数列 各项均为正数， ， ， ，
， ， 数列 单调递减；
， ， ，
当 时， ；当 时， ；
数列 中，从 到 递增，从 开始递减， 时，数列 中 最大.
故选：BC7．（2021·河北·高三阶段练习）已知 ， 分别是等差数列 的公差及前 项和， ，设
，数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．满足 的最小 值为 B．
C． D． 时， 取得最小值
【答案】AC
【分析】由已知可得 ， ， ，公差 ，利用等差数列前 项和公式以及等差数列的
性质可判断A；由 可判断B；作差结合 可判断C；由 的单调性以及 的符号即可求
出 的最小值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由题意知： ， ， ，
选项A中： ， ，所以满足 的最小 值为
，故选项A正确；
选项B中： ，即 ，故选项B错误；
选项C中：由 ， 可知公差 ，
则
所以 ，故选项C正确；
选项D中：当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ， ； ， ，当 时， ，
所以 ， ；当 时， ，，
所以 ，所以当 时， 取得最小值，故选项D不正确，
故选：AC.
8．（2022·江苏·高三专题练习）在 （ ）中，内角 的对边分别为 ，
的面积为 ，若 ， ， ，且 ， ，则（ ）
A． 一定是直角三角形 B． 为递增数列
C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】ABD
【解析】先结合已知条件得到 ，进而得到 ，得A正确，再利
用面积公式得到递推关系 ，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
【详解】由 ， 得，
，故 ，
又 ， ， ，故 一定是直角三角形，A正确；
的面积为 ，而 ，
故 ，
故 ，
又 （当且仅当 时等号成立）
，又由 ， 知 不是恒成立，即 ，故 ，故为递增数列， 有最小值 ，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到 ，进而得到 ，再
逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列 ，若存在数列 满足 （ ），则称数列
是 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）
A．若数列 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若 ，则其“倒差数列”有最大值；
C．若 ，则其“倒差数列”有最小值；
D．若 ，则其“倒差数列”有最大值.
【答案】ACD
【分析】根据新定义进行判断．
【详解】A．若数列 是单增数列，则 ，
虽然有 ，但当 时， ，因此 不一定是单增数列，A正确；
B． ，则 ，易知 是递增数列，无最大值，B错；
C． ，则 ，易知 是递增数列，有最小值，最小值为 ，C正确；
D．若 ，则 ，
首先函数 在 上是增函数，当 为偶数时， ，∴ ，
当 为奇数时， ，显然 是递减的，因此 也是递减的，
即 ，∴ 的奇数项中有最大值为 ，
∴ 是数列 中的最大值．D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．
三、填空题
10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
．设 在区间 上的最小值为 ．若存在 ，使得 有解，则
实数 的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当 ， ， 时， 的解析式，进
而求出 ，然后，得到存在 ，使得 有解，则有 有解，进而必有
，进而求出 ,即可求解.
【详解】当 时， ，因为定义在 上的函数 满足 ，
，令 ，则 ，所以，当 时，有 ，所以，
当 时， ，
，令 ，则 ， ，有，所以，当 时， ，同理可得， 时， ，
根据规律，明显可见当 ， ，且此时的 必为增函数，又因为 为
在区间 上的最小值，所以，
，所以，若存在 ，使得 有解，则有 有解，进
而必有 ，根据该函数的特性，明显可见，当 时，有 ，所以，此时有
故答案为：
11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列 的各项均为正数，且数列 的前 项和为 ，则数列
的最大项为___________.（用数字作答）
【答案】1
【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前 和公式，可
判定数列 为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】由题，等差数列 的各项均为正数，所以 ， ，
且 ，
所以数列 是递增数列，
又 ，所以 ，
即 是递减数列，
所以当 时，得到数列 的最大项为 ，
故答案为：1
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am n=am+an，且a=1，若命题
+ 1
“ n∈N*，λan≤ +12”为真，则实数λ的最大值为____.
∀
【答案】7
【分析】先求出 的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】令m=1，则an =an+a，an －an=a=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以
+1 1 +1 1
an=n，
所以λan ≤ +12 λn≤n2+12 λ≤n+ ，
⇒ ⇒
又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 或 时，
所以
故答案为：7
13．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列 中， ，则数列 中的最大项的
________ .
【答案】6或
【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.
【详解】 ，
令 ，解得 ，即 时， ，
当 时， ，
所以 或 最大，
所以 或 .
故答案为：6或7.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a＝ ，an＋2an ＝0，则Sn－
1 ＋1
的最大值与最小值的积为________.
【答案】－
【分析】先计算出公比，求出Sn，分奇偶性讨论得出Sn－ 的最大值与最小值，即可求解.
【详解】因为an＋2an ＝0，所以 ，
＋1
所以等比数列{an}的公比为 ，
因为a＝ ，
1
所以Sn＝ .
①当n为奇数时，Sn＝ ，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S＝ ，又Sn－ 随着Sn的增大而
1
增大，故0＜Sn－ ≤ ；②当n为偶数时，Sn＝ ，Sn随着n的增大而增大，则 ＝S≤Sn＜1，又Sn－ 随着Sn的增大而增
2
大，故 ≤Sn－ ＜0.
综上，Sn－ 的最大值与最小值分别为 ， .
故Sn－ 的最大值与最小值的积为 .
故答案为：－ .
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列 满足 ，则 的最大值为
________．
【答案】
【分析】令 ， 分为奇偶性，分别求出 ，通过判断 的单调性可求出其最大值
【详解】令 ，
当 为奇数时， ，
因为 ，所以 ，
所以当 为奇数时，数列 为递减数列，
所以当 为奇数时， 最大， ，当 为偶数时， ，当 增大时， 在减小，
所以 为偶数时， 最大， ，
因为 ，
所以数列 的最大值为 ，
故答案为：
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，等差数列 的首项为1，公差为1，则
的最大值为__________.
【答案】
【分析】由题意求出 ，再求出 ，令 ，求出 的单调性即可求出 的最大值.
【详解】由题意知 ，则 ，则 ，
，
令 ，则
.
由 ，易得当 时， ，所以 ；当 时， ，
所以 …，
故 的最大值为 ，
即当 时， 取得最大值，为 .
故答案为 : .
四、解答题
17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列 的前n项之积为 ，且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的最大值．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）利用 即项与和的关系方法求得 ，再利用 求得 ；
（2）再由定义求得 ，并利用作差法得出 是递减的，从而易得最大值．
(1)∵ ①，∴ ②，
由①②可得 ，由① 也满足上式，∴ ③，
∴ ④，由③④可得 ，即 ，∴ ，∴ ．
(2)由（1）可知 ，则 ，
记 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 单调递减，
∴ 的最大值为 ．
18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列 的前 项和为 ,且满足
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
对一切 恒成立,求 的取值范围.
【答案】(1) (2) .
【分析】（1）利用 与 的关系即可求解；
（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列 的前 项和为 ，再将不等式的恒成立问题转化为求最
值问题即可求解.(1)由题意,当 时， ,
当 时， ，
所以 ， 即 ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
(2) ，
由 (1)，得当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
设数列 的前 项中奇数项的和为 ，
所以 ，
设数列 的前 项中偶数项的和为 ，
，
由 两，得
，整理得
故， ，
.
不等式 对一切 恒成立, 即不等式 对一切
恒成立,
在 上是单调增
所以，易知 在 上为递增数列，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时, ， 解得 ，
所以 的取值范围为 .
19．（2022·天津·高三专题练习）设数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 求 的前 项和 取最小值时 的值；
(3)证明：【答案】(1) (2) 或 (3)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系，当 时， ，两式相减得 ，再用构造法得：
，即可求出 的通项公式；
（2）先求出 的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.
（3）对 进行放缩得： ，再求 的前 项和即
可证明此题.
因为 ，①
时， ，
时， ②
①-②得 ，所以 ， ，
所以数列 是 为首项， 为公比的等比数列，
故
(2) ，所以 ，
于是当 时， ； ；当 时， .所以当 或 时， 取最小值.
(3)
．故20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 的首项 ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由已知等式变形得出 ，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）分析数列 的单调性，确定 的符号，由此可求得 的最小值.
(1)解：因为 ，则 ，且 ，
所以，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
(2)解：由（1）知， ，则 .
所以， ，
所以， ，故数列 为递增数列，
， ， ， ， ， ，
故当 时， ；当 时， .
所以， 的最小值为 .
21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足：
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若 ，令 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意 恒成立，
求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) .【分析】（1）利用 关系可得 ，即有 ，将两式相减并整理有
，即可证结论.
（2）由（1）结论及题设可得 ，令 、 ，应用作差法比较它们的大小，
即可确定 的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．
(1)由题设， ，则 ，
所以 ，整理得 ，则
，
所以 ，即 ， ，
所以 ，故数列 为等差数列，得证.
(2)由 ，可得 ，又 ，结合（1）结论知：公差 ，
所以 ，故 ，则 ，
所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以，在 且 上 递减，则 ，
要使 对任意 恒成立，即 ，
所以 .
题型二：不等法求数列最值
一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线 在点 处的切线为l，数列 的首项
为1，点 为切线l上一点，则数列 中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则 ，从而求出
的通项公式，再构造不等式组求出数列 中的最小项；
【详解】因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率 .
所以切线l的方程为 .
所以 .
所以数列 是首项为1，公比为3的等比数列.
所以 .
所以由 ，解得 .
因为 ，所以 .
所以数列 中的最小项为 .
故选：C.2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， ，若
，且存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，令 ，进而证明数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，故可得
， ，在结合题意将问题转化为 ，再求数列 的最大值代入解
一元二次不等式即可得答案.
【详解】 ， ．
令 ，
，
又 ，
∴数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，即 ，，
∵存在 ，使得 成立，
．
令 得 则 ， ，
或 ． ，
，即 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故选：D．
3．（2021·浙江·高三期中）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意化简可得 ，根据 ，利用累加法可得 ；根据 ，利用
累加法计算化简可得 ，进而得出 ，令 计算即可.
【详解】解：显然，对任意 ， ． ，
化简可得 ，所以 ，则 ，累加可得 ，所以 ．
又 ，所以 ，
则
，
注意到 ，
所以 ，则 ，
所以 ．综上 ．
当 时， ，即 .
故选：B
4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列 通项公式为： ，则 中的最大项为
（ ）
A．第1项 B．第1010项 C．第1011项 D．第1012项
【答案】B
【分析】数列 的通项公式为 ，所以 ．由 得 ，从而求得结果.
【详解】解：依题意，数列 的通项公式为 ，所以 ．由 ，即 且 ， ，解得 ，
故最大项为第1010项，
故选：B．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，an＝(n＋1) n，则数列{an}中的最大项可以是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
【答案】AB
【分析】假设an最大，则有 解不等式组，可求出 的范围，从而可得答案
【详解】假设an最大，则有 即 且 ，
所以 ，即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．
故选：AB
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，下列命题正确的有（ ）
A．当 时，数列 为递减数列
B．当 时，数列 一定有最大项
C．当 时，数列 为递减数列
D．当 为正整数时，数列 必有两项相等的最大项
【答案】BCD
【分析】分别代入 和 计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；
【详解】当 时， ，知A错误；
当 时， ，当 ， ， ， ，
所以可判断 一定有最大项，B正确；
当 时， ，所以数列 为递减数列，C正确；
当 为正整数时， ，当 时， ，
当 时，令 ，
解得 ，则 ，当 时， ，
结合B，数列 必有两项相等的最大项，故D正确；
故选：BCD.
7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，
著不等式 对任意的 恒成立，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】先用两式相减的方法消去 ，求出 ，判断A选项；再代入已知求出 ，判断B选项；然后将
恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C，D选项.
【详解】依题意得当 时， ，由于 ，解得 ；
当 时， ，因此有： ；
整理得： ，
所以数列 是以 为首项，公差 的等差数列，
因此 ，故A正确；
，故B正确；
由 得： ，
令 ，则 取2时， 取最小值，所以
①当 为偶数时， ， ，
②当 为奇数时， ，
， ，
故C正确，D错误.
所以A、B、C正确；D错误.
故选：ABC
【点睛】知识点点睛：（1）已知 求 ，利用前 项和 与通项公式 的关系
，此时一定要注意分类讨论.
（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意 只能取
正整数.
三、填空题
8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列 满足 ， ，若不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分析可知数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得 ，由参变量分离法可得出
，利用数列的单调性求得数列 的最大项的值，可得出关于实数 的不等式，进而可求
得实数 的取值范围.
【详解】当 时，在等式 两边同时除以 可得 且 ，
故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ， ，
因为 对任意 恒成立，即 ，
令 ，则 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
故数列 中的最大项为 ， ，解得 .
故答案为： .
9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足
，则当 取得最小值时， ___________.
【答案】5【分析】首先根据 得到 ，令 得到 ，从而
得到 ，再求当 取得最小值时 的值即可.
【详解】由题意，
可得 ， .
令 ，则 ，即 是常数列，
所以 ，故 .
当 时， ；当 时， .
故当 时， 取得最小值.
故答案为：5
四、解答题
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求 的取值范
围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）当 时，有 ，两式作商求得 ，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到 ，结合乘公比错位相减法求得 ，进而求得 ，再
根据 的单调性，即可求解.
(1)解：数列 满足 ，且 ，
当 时，有 ，
两式作商，可得 ，
又由 ，得 .
(2)解：当 时， ，
当 时， ，所以对任意的 ，均有 ，
则 ，
可得 ②，
两式相减可得 ，
求得 ，
由 ，可得 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即随着 增大， 减小，
所以 ．
11．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，
(1)求 的值；
(2)求数列 前 项和 ；
(3)令 ， ，证明：数列 的前 项和 满足 ．
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.
【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出 ；
(2)用作差法求出 的通项公式，再求其前n项和；
(3)求 ，猜想 ，用数学归纳法证明 ；用导数证明 ，令 ，得
，用这个不等式对 放缩即可得证.
(1)依题 ，
；
(2)依题当 时， ，，又 也适合此式，
，
数列 是首项为1，公比为 的等比数列，故 ；
(3) ， ，
，
，
，
猜想： ①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当 时，①成立，即 .
从而
.
故①成立.
先证不等式 ②
令 ，则 .
，即②成立.
在②中令 ，得到 ③
当 时， ；
当 时，由①及③得：
.
证明完毕.
【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想 ，并用数学归纳法证明 ；根据结论构造不等式
，令 ，得 ，然后用这个不等式对 放缩.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 是递增的等比数列，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求使 成立的正整数 的最小值．
【答案】(1) ；(2)5.
【分析】（1）由已知条件求得 ， ，利用等比数列通项公式列方程组求基本量，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得 ，根据等差数列前n项和公式求 ，由 求 的范围，即可确定正整数 的最
小值．
(1)设等比数列 的公比为 ，首项为 ，又 ， ，且 是递增的等比数列，
∴ ， ，则 ，解得 ，
∴ ；
(2)设 ，由（1）知： ，
∴ ，
由 ，得： ，解得 或 ，
∴使 成立的正整数 的最小值为5．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， .
（1）求 ， ， 的的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3） .
【分析】（1）在已知等式中，令n=1求得a,令n=2求得a,令n=3,求得a;
1 2 3
（2）根据一般数列和与项的关系，利用作差法消去和，得到项的递推关系，分解因式化简得到数列
是公差为2的等差数列，进而求得通项公式；
（3）令 ，利用作差法研究其单调性，求得最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数 的取值范围.
【详解】解：（1）令 得 ，故
令 得 ，
又 ，故 ，
令 ，得 ，
又 ，故 ；
（2） ，
当 时 相减整理得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴数列 是公差为2的等差数列，
故 ；
（3）由 恒成立，
令 ，
，n = 1时为正，n ≥ 2时为负.
的最大值为 ，
故实数 的取值范围是 .
14．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知数列 的前 项和 ， ，在等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）本题首先可通过 得出 ，然后根据 得出 ，最后根据等比数列
定义即可得出结果；
（2）本题可设等差数列 的公差为 ，根据 得出 ，然后根据 得出 、
，再然后得出 ，最后将其分为 、 、 三种情况进行讨论，
即可得出结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
，即 ， ，
当 时， ，解得 ，
则数列 是首项为 、公比为 的等比数列， .
（2）设等差数列 的公差为 ，
则 即 ， ，
因为 ，所以 ， ， ，
则 ，当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ，
故当 或 时， 最大， .
15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前项 和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意可得当 时 与已知条件两式相减，
即可得 ，再检验 是否满足 即可.
（2）由等差数列前 项和公式求出 ，由不等式分离出 ，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即
可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以
两式相减可得：
所以 ，当 时， 满足 ，
所以 ，
（2） ，
由 可得： ，
所以 ，
令 ，只需 .
，
当且仅当 即 时等号成立，此时 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
16．（2021·河南洛阳·三模（理））已知数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都满足
， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的最小项的值．
【答案】（1） ， ；（2） .【分析】（1）由递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用商比法判断数列 的单调性进行求解即可.
【详解】解：（1）∵ ，
∴当 时， ．
两式相减，得： ．
又 ，∴ 是以2为公比，2为首项的等比数列，
∴ ，
（2）∵ ，易于知 ， ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
又 ， ， ，
∴当 时， 有最小值 ．
