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专题 16 数列解答题分类练
一、方程思想求数列通项
1. （2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ，
成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设 的公比为 ，由 ， ， ， 成等差数列，得 ， ．
当 时， ，符合题意，所以 ；
当 时， 所以 ， ，则 ．
综上， 或 ．
（2）当 时， ，
所以 ；
当 时， ，
所以 ，
则 ，所以
，
所以 ．
综上， 或
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列 是公差为1的等差数列，且
，数列 是等比数列，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)令 ，求证： ；
(3)记 其中 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）∵数列 是公差为1的等差数列，且 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴数列 的通项公式为： .
数列 是等比数列，且 ，设数列 的公比为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴数列 的通项公式为： .
（2）由（1）知 ，
∴
，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
（3）由（1）可知 ，
∴ ，∴ ，
令 ， ，
∴
，
，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的前 项和 .
二、等差数列与等比数列的证明
3. （2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设 为数列 的前 项和．已知 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．【解析】（1）证明：已知 ①，
当 时， ②，
① ②得： ，即 ，
所以， ，
当 时，则 ，则 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）解：由（1）可知， ，则 ，
所以， ，
所以， ，
.
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列 的前 项和为 ， .
(1)记 ，证明：数列 的前 项和 ；
(2)若 ，求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式.
【解析】（1） ，
；
数列 为正项数列， ， ，则 .（2）当 且 时， ，
，
整理可得： ， ，
经检验，当 时， ，得 ，满足条件，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
， .
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列 的各项均为正数，且满足
．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由 ，
得 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
当 时， ，解得 （ 舍去），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；（2）由（1）得 ，
则 ，
则 ，
，
两式相减得
，
所以 .
三、裂项求和
6. （2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列 的前 项和为 ，
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 成等比数列， ，求 的值．
【解析】（1）数列 的前 项和为 , ①,
当 时, ②,
① ②得： ，所以 ,
又 ，也满足上式，故 ．
（2）由于 ，所以 ,故 ,由于 , , 成等比数列,所以 ,
解得 或 （负值舍去）,
,
所以
.
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月第二次质量检测）数列 各项均为正数， 的前n
项和记作 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和．
【解析】（1）当 时，有 相减得 ，即 ，
各项均为正数，
所以 ，
又当 时， ，
解得 或 (舍)，
所以对任意正整数n，均有 ，
故 是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以 ．（2）由于 ，
故 ，
由（1）得 ，
记 前n项和为 ，则
，
所以 .
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高三上学期9月月考）已知数列 ， 是数列 的前
项和，满足 ；数列 是正项的等比数列， 是数列 的前 项和，满足 ， （
）.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切
恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）依题意 ；
当 时， ；当 时， 适合上式，
所以数列 的通项公式 .又因为 ，数列 为等比数列，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；
（2）由题意可知， ， ；
由已知
设 的前 项和中，奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，
所以 ， ，
当 为奇数时， ，
所以，
当 为偶数时， ，所以
，
由 ，得 ，即 ，
当 为偶数时， 对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以 ，
当 为奇数时， 对一切奇数成立，当 时， 为最大值，
所以此时 ，
故对一切 恒成立，则 ．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列 前 项和 ， ，满足
， .(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 .
【解析】（1）依题意有 ，
， ，
又 为等差数列，设公差为 ，
， .
（2）由（1）可得 ，
， ， ， ， ，
.
四、错位相减法求和
10. （2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期第二次月考）已知数列 满足
，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意知 ，
则当 时， ，故两式相减得 ，即 ，
又当 时， ， ，故 ，
即 也适合 ；
所以当 时， ，
即 ， 也适合，故 ；
又数列 满足 ， ，
则 为等比数列，设公比为q，则 ，
故 ，即 ；
（2）由（1）可得 ，
故 ，
则 ，
故
，
故 .
11.（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且
，
(1)求数列 的通项公式 ；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由已知 ，
∴ 时， ，
两式相减，得 ，
即 ，从而 ，
又当 时， ，
∴ 又 ，∴ ，
从而 ．
故总有 ， ．
又∵ ，∴ ，从而 ．
即 是以 为首项，公比为3的等比数列．
∴ ，
∴ ，
（2）由（1）知 ．
∴ ．
设 ，设 前 项和为 ，
则 ①，
②①－②有 ，
故 ，
从而
.
12.（2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期9月月考）已知数列 满足 ，且有
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 ，
，
两式相减得， ，，
即 ，
13.（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考）已知数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求证： .
【解析】（1）当 时， ，
即 ，所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 .
当 时， ，
所以数列 是首项为1、公差为2的等差数列，因此 .
故数列 的通项公式为
（2）证明：由（1）知， ，记 .
则 ①，
②，①－②得 ，
化简得 .
故 .
五、数列与不等式
14.（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考） 已知正项数列 ，其前 项和 满足
，
(1)求 的通项公式.
(2)证明： .
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，
由累加法得 ，
，故 ， 也满足该式
综上，
（2）
15.（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知数列 ， 满足 ，，记 为 的前n项和.
(1)若 为等比数列，其公比 ，求 ；
(2)若 为等差数列，其公差 ，证明： .
【解析】（1）因为 为等比数列， ， ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）解法一：
因为 为等差数列， ， ，
所以 ，所以 .
因为 ，即 ，
所以 ，
所以当 时，
.
又 符合上式，所以 .
所以
.
解法二：
因为 为等差数列， ， ，
所以 ，所以 .
因为 ，即 ，
所以 ，
所以数列 为常数列.
因此 ，
所以 .
所以
.
16.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）记 为数列 的前n项和，已知.
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意 ，总有 ，求k的最小值.
【解析】（1）数列 的前n项和 ，则 ，
于是 ，
即 ，因此 ，而 ，解得 ，
所以数列 是首项 ，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知 ，即 ，于是 ，
因此 ，而恒有 成立，
所以不等式 恒成立时， ，即 的最小值为2.
17.（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）已知正项数列 的前n项和为 ，对一
切正整数n，点 都在函数 的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，若 恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）由题意知 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ， ，因为 ，
所以 ，即 ．
因为数列为正项数列，所以 ，即 ，
所以数列 为公差为2的等差数列，
所以 ．
（2）因为 ，
所以 ．．．①
．．．②
①－②得，
，
所以 ，
所以 可化简为 ．
因为 恒成立，所以 ．
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，又 ,所以 ，
故 ，
所以实数λ的取值范围为 .
六、分段数列
18. （2024届天津市第四十七中学高三上学期第一次检测）已知等差数列 与等比数列 满足 ，
， ，且 既是 和 的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，其中 ，求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，其前n项和为 ，若 对 恒成立，求 的最小值．
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
， ，所以 ，解得 ， ，
既是 和 的等差中项，又是其等比中项，
得 ， ，
解得 ，即 ，
所以 ， ．（2）∵ ，
∴ ．
又∵
，
∵ ①
∴ ②
①减②得：
∴ ，
∴ ．
（3） ， ， ，则 是首项为 公比为 的等比数列，
， ，
令 ， ，当n为奇数时， ，且 递减，
可得 的最大值为 ，
当n为偶数时， ，且 递增，
可得 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，因为 ，对 恒成立，所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ．
19.（2023届安徽省合肥市庐阳区合肥市第一中学高三上学期12月月考）已知数列 满足 ，
．
(1)求 ；
(2)设 ，求证：数列 是等比数列；
(3)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由 ，令 ，则 ；令 ，则
，
所以 ， .（2）依题意，
，而 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（3）由（2）知， ，因此 ，
当 时， ，又 ，则 ，
，
因此 ，
，
当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，
所以 .
七、数列开放题
20. （2023届海南省高三全真模拟）在① 成等比数列，且 ；② ，数列
是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 的前 项和为 ，且__________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由 ，得
当 时， ．
两式相减得， ，
化简得 或 （舍），
所以当 时，数列 是公差为2的等差数列，
则 ．
又由 ，得 ，解得 ，
所以 ．
当 时， ，解得 ，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知 ，
则当 时， ．
，
由 ，得 ，
解得 ，
故当 时， ，当 时， 也满足上式，
故 ．
（2） ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
故
21.（20-23届广东省深圳市、珠海市、湛江市高三上学期11月期中联考）在①数列 为等比数列，且
， ；②数列 的前n项和 ， ；③数列 是首项为1，公差为1的
等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列 各项均为正数，且满足.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为非零的等差数列，其前n项和为 ， ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）选①设 的公比为q，
由题意知： ， ，又 ，
解得 ， ，所以 .
选② 时， ，
时， 符合 ，所以 .选③因为 ，所以 .
（2）由题意知： ，
又 ，且 ，所以 .
令 ，则 ，
因此 .
又 ，
两式相减得 ，
所以 .
22.（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）从① ， ， 成等差数列；② ， ， 成
等比数列；③ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知 为数列 的前 项和， ， ，且________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）由 ， ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，所以数列 为等比数列，公比为 .
选①，由 ， ， 成等差数列，
可得 ，即 ，
解得 ，所以 .
选②，由 ， ， 成等比数列，
得 ，即 ，
解得 ，所以 .
选③，由 ，得 ，
所以 .
（2）当 为奇数时， ，
记前 项和 中的奇数项之和为 ，
则 .
当 为偶数时， ，
记前 项和 中的偶数项之和为 ，则 ，
故 .
