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专题 16 概率与统计（解答题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这
两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联
表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
n(ad−bc) 2
附：K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2 ⩾k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
12 7
【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为 ，
13 8
(2)有
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.
(1)
根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
240 12
则P(M)= = ；
260 13
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
210 7
则P(N)= = .
240 812
A家公司长途客车准点的概率为 ；
13
7
B家公司长途客车准点的概率为 .
8
(2)
列联表
准点班次数 未准点班次数 合计
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
n(ad−bc) 2
K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
500×(240×30−210×20) 2
= ≈3.205>2.706，
260×240×450×50
根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公
司有关.
2．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计
一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单
位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
10 10 10
并计算得∑ x2=0.038,∑ y2=1.6158,∑ x y =0.2474．
i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总
和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区
这种树木的总材积量的估计值．n
∑(x −x)(y −y)
i i
附：相关系数r= i=1 ,√1.896≈1.377．
√ n n
∑(x −x) 2∑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
【答案】(1)0.06m2；0.39m3
(2)0.97
(3)1209m3
【解析】
【分析】
（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种
树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的
总材积量的估计值．
(1)
0.6
样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x= =0.06
10
3.9
样本中10棵这种树木的材积量的平均值y= =0.39
10
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，
平均一棵的材积量为0.39m3
(2)
10 10
∑(x −x)(y −y) ∑❑x y −10x y
i i i i
r= i=1 = i=1
√ 10 10 √ 10 10
∑❑(x
i
−x) 2∑❑(y
i
−y) 2 ( ∑❑x
i
2−10x2 )( ∑❑y
i
2−10 y2 )
i=1 i=1 i=1 i=1
0.2474−10×0.06×0.39 0.0134 0.0134
= = ≈ ≈0.97
√(0.038−10×0.062 )(1.6158−10×0.392
)
√0.0001896 0.01377
则r≈0.97
(3)
设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，0.06 186
可得 = ，解之得Y =1209m3．
0.39 Y
则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3
3．【2021年甲卷文科】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，
为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统
计如下表：
一级
二级品 合计
品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
【分析】
根据给出公式计算即可
【详解】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .（2） ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
4．【2021年乙卷文科】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的
某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指
标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为
和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则
不认为有显著提高）．
【答案】（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均
值较旧设备有显著提高.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】
（1） ，
，，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
5．【2020年新课标1卷文科】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标
准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分
别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂
有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20
元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统
计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应
选哪个分厂承接加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的 级品的概率为 ，乙分厂加工出来的 级品的概率为
；（2）选甲分厂，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出
选择．
【详解】
（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的
一件产品为 级品的概率为 ；
（2）甲分厂加工 件产品的总利润为
元，
所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件；
乙分厂加工 件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，
属于基础题．
6．【2019年新课标1卷文科】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女
顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
P 0.050 0.010 0.001（K2≥k）
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ；
（2）能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】
（1）从题中所给的 列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算
出相应的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有 的把握认为男、女顾客对该商场
服务的评价有差异.
【详解】
（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为 ,
50名女顾客对商场满意的有30人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为 ,
（2）由列联表可知 ，
所以能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】
该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联
表计算 的值，独立性检验，属于简单题目.
7．【2019年新课标2卷文科】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机
调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分
布表.
的分组
企业数 2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表）.（精确到0.01）
附： .
【答案】(1) 增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ；（2）
平均数 ；标准差 .
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以通过题意确定 个企业中增长率超过 的企业以及产值负增长的企业
的个数，然后通过增长率超过 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企
业总数即可得出结果；
(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，随机调查的 个企业中增长率超过 的企业有 个，
产值负增长的企业有 个，
所以增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ．
(2)由题意可知，平均值 ，
标准差的平方：
，
所以标准差 ．
【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从
信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题．
8．【2018年新课标1卷文科】某家庭记录了未使用节水龙头 天的日用水量数据（单位：
）和使用了节水龙头 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 天的日用水量频数分布表
日用水量
频数
使用了节水龙头 天的日用水量频数分布表
日用水量
频数
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的使用了节水龙头 天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上
的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对
应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于 的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得 天日用水量的平均值，作差乘以 天得到一
年能节约用水多少 ，从而求得结果.
【详解】
（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 天日用水量小于 的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 的概率的估计值为 ；
（3）该家庭未使用节水龙头 天日用水量的平均数为．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 ．
【点睛】
该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布
直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中
需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
