文档内容
热点 7-1 直线与圆综合
1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，
多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对
直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
满分技巧
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【例1】（2022·全国·模拟预测）“直线 的倾斜角为锐角”是“直线 的斜率不小于 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线 的斜率不小于 ，则该直线的倾斜角为锐角或 ，
∴“直线 的倾斜角为锐角”是“直线 的斜率不小于 ”的充分不必要条件.故选：A.
【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）设直线 的方程为 ，
则 的倾斜角 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 的斜率 ，
所以直线 的倾斜角 的取值范围是 .故选：A
【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知直线 ， 的斜率分别为 ， ，倾斜角分
别为 ， ，则“ "是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意两直线均有斜率，所以 ，
当 时，取 ，则 ，
但 ，即充分性不成立；
当 时，取 ，则 ，
但 ，即必要性不成立；
综上，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选：D.
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知直线 的倾斜角 满足 ，则 的斜
率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 在 上单调递增，
又 ， ，故 的取值范围是 .故选：C
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）（多选）已知点 ， ，斜率为k的直线l过点
，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段 相交的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示．当直线l与线段 相交时， 或 ，
所以斜率k的取值范围是 或斜率不存在，
结合选项，选项A、B符合题意．故选：AB．
【题型2 直线方程及过定点问题】
满分技巧
1、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程
(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
2、直线过定点：过 与 的交点的直线可设为：
【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）对于直线 ，下列选项正确的为（ ）
A．直线 倾斜角为 B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的一个方向向量为 D．直线 经过第二象限
【答案】C
【解析】因为直线 的斜率为 ，所以直线 倾斜角为 ，故A错误；
在 中，令 ，解得 ，即直线 在 轴上的截距为 ，故B错
误；
在 中，令 ，解得 ，即直线 过 两点，
，所以直线 的一个方向向量为 ，故C正确；
画出直线 的图象如图所示，
所以直线 不经过第二象限，故D错误.故选：C.【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）已知直线 的一个方向向量为 ，且经
过点 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得直线 的一个方向向量为 ，所以其斜率为 ，
又它经过点 ，所以直线 的方程为 ，即 .故选：B.
【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知点 ,直线 与 轴相
交于点 ,则△ 中 边上的高 所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 直线 与 轴相交于点 ,令 得
由题知 且直线 的斜率 得
易知点 在直线 上,根据点斜式得 即 .故选：C.
【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知 的三个顶点分别为
.
（1）求边 的垂直平分线的方程；
（2）已知平行四边形 ，求点 的坐标.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设线段 的中点 ，且 ，
则边 的垂直平分线的斜率 ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 .
（2）由四边形 为平行四边形，且 ，
则 ，又 ，则 .
【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）（多选）已知直线 ，直
线 ，且 与 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 过定点 过定点B．点 的轨迹方程为
C．点 到点 和点 距离之和的最大值为
D．设 ，则 的最大值为
【答案】BD
【解析】由 ，即 过定点 ， ，即 过定点 ，A错；
由 ，即 ，所以 的轨迹是以 为直径的圆，
所以圆心为 ，半径为 ，即轨迹方程为 ，B对；
如下图，设 ，则 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故 到点 和点 距离之和的最大值为 ，C错；
由图知：当直线 与圆 相切时， 最大，此时 ，
所以 且最大，D对.故选：BD
【题型3 直线的平行与垂直问题】
满分技巧
1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
l：Ax＋By＋C ＝0(A ＋B ≠0)，
1 1 1 1
直线方程
l：Ax＋By＋C ＝0(A ＋B ≠0)
2 2 2 2
l 与l 垂直的充要条件 AA＋BB＝0
1 2 1 2 1 2
l 与l 平行的充分条件
1 2 ＝ ≠ (ABC ≠0)
2 2 2
l 与l 相交的充分条件
1 2 ≠ (AB≠0)
2 2
l 与l 重合的充分条件
1 2 ＝ ＝ (ABC ≠0)
2 2 2
2、平行垂直直线一般方程的设法：
（1）平行：与直线 垂直的直线方程可设为
（2）垂直：与直线 垂直的直线方程可设为【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）“ ”是“直线 与 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时，直线 与 平行；
当直线 与 平行时，
有 且 ，解得 ，
故“ ”是“直线 与 平行”的充要条件，故选：C
【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知 ， ，直线 和
垂直，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为直线 和 垂直，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等.故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线 ，
，则（ ）
A． 恒过点 B．若 ，则
C．若 ，则 D．当 时， 不经过第三象限
【答案】BD
【解析】对于选项A：直线 的方程可化为： ，
令 得： ，所以直线 恒过点 ，故选项A错误，
对于选项B：若 时， 显然不平行，
若 时， 显然不平行，
所以若 ，则 ，且 ，解得 ，故选项B正确，
对于选项C：若 ，则 ，解得 ，故选项C错误，
对于选项D：若直线 不经过第三象限，当 时，直线 ，符合题意，当 时，则 ，解得 ，
综上， ，故选项D正确，故选：BD.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）过点 且与直线 平行的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为 ，
因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
故所求直线方程为 .
【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）过点 且与直线 垂直的直线方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 的斜率为 ，故所求直线的斜率为 ，
所以，过点 且与直线 垂直的直线方程是 ，
即 .故选：C.
【题型4 直线的距离问题及应用】
满分技巧
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）点 到双曲线 的渐近线的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
则点 到双曲线 的渐近线的距离为 .故选：A【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）圆 上到直线 的距离等于1的点
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意知 ，圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
当 ，此时圆上有 个点满足，
当 ，此时圆上有 个点满足，
所以圆上到直线距离为 的点的个数为 .故C正确.故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线 ：
， ： ，则 与 间的距离为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，得 ，所以 ： ，即 ，
又 ： ，所以 与 间的距离 .
【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若直线 与 垂直，
直线 的方程为 ，则 与 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线 与 垂直，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由平行线间的距离公式可得 .故选：C.
【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知 是椭圆 上的动点，则 点到
直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】要使 点到直线 的距离最大，只需找到与 平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与 平行、椭圆相切的直线为 ，联立椭圆，消去x，
则 ， ，可得 ，
对于直线 ，与直线 距离为 ；
对于直线 ，与直线 距离为 ；
所以 点到直线 的距离的最大值为 .故选：A
【题型5 直线的对称问题及应用】
满分技巧
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足Error!
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有Error!
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的
对称直线为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】 .
【解析】由题意知 ，设直线 ，在直线 上取点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ， 解得 ，即 ，
将 代入 的方程得 ，
所以直线 的方程为 .
【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）直线 关于直线 对称的直线方
程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在直线 中，作出图象如下图所示，由图可知，点 关于直线 对称的点为 ,
直线 与直线 的交点为 ,
∴关于直线 对称的直线方程 为： ，即 ，
∴关于直线 对称的直线方程是： .故选：B.
【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）直线 关于 轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 是所求直线上任意一点，
则 关于 轴对称的点为 ，且在直线 上，
代入可得 ，即 .故选：C.
【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）与直线 关于 轴对称的直线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 为所求直线上任一点，则 关于 轴对称的点为 ，
由题意可得点 在直线 上，
所以 ，即 ，
所以与直线 关于 轴对称的直线的方程为 ，故选：B
【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从
山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营
所在的
位置为 ．若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮
马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图，设点 关于直线 的对称点为 ， 与直线交于 ，且设饮马处
为 ，
由轴对称性质得， ， ，解得 ， ，故 ，
即 与 重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为 .故选：C
【题型6 圆的标准方程与一般方程】
满分技巧
求圆的方程的方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的
方程组，进而求出D，E，F的值．
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为 ，
则圆的方程为 ，又点 在圆上，
所以 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 ．故选：A
【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程 ，即 表示圆，等价于 0，解得 或 .
故“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.故选：A
【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）（多选）若点 在圆 的外部，则
的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】BC
【解析】由题设 ， 在圆外，
则 ，解得 .故选：BC
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）若圆 关于直线 对称，则
．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，由题意可知，圆心在直线 上，
则 ，解得 ，当 时，此时方程表示圆，满足题意.
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 与两坐标轴交于 四点，其中
，点 在 轴正半轴上，点 在 轴的正半轴上，圆 的内接四边形 的面积为
，则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ．
又因为 ，解得 （负值舍去），
因此圆心 ，圆 的方程为 ，
即 ，故B正确.故选:B．
【题型7 圆的切线方程与切线长】
满分技巧
1、求过一点(x ，y )的圆的切线方程的方法
0 0（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x )，即kx－y＋y －kx ＝0.由圆心到直
0 0 0 0
线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
（2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x )，即y＝kx－kx ＋y ，代入圆的方
0 0 0 0
程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行
验证
2 、 切 线 长 ： 若 圆 的 方 程 为 ， 则 过 圆 外 一 点 的 切 线 长 为
.
【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）过点 的直线l与圆 相切，则直
线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由点P在圆C上，又由直线 的斜率为 ，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为 ．故选：B．
【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）设点 是直线 与直线
的交点，过点 作圆 的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即
可）．
【答案】 （或 ）
【解析】如图，由题意知，圆 ，联立 ，解得 ，
即点 ，过点 作圆 的切线，其切线方程为 或 ．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知点 在圆 ．上，点 ，若 的最小值为 ，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由圆 方程可得圆心为 ，半径 ，
因为 的最小值为 ，所以 ，解得 ，故圆 ．
若过点 的切线斜率存在，
设切线方程为 ，则 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ；
若过点 的切线斜率不存在，由圆 方程可得，圆 过坐标原点 ，所以切线方程为
．
综上，过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ．故选：A
【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）已知过点 与圆： 相切的两条直线
分别是 ，若 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为M，N，
，则 ，
则 ，故 ，
故 为钝角，则 .故选：D.
【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）已知点 是直线 上
的一点，过点P作圆 的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】圆C： ，即圆C： ，圆心坐标 ，半径为3；
由题意过点P作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为 ， ，
显然PC最小时四边形面积最小，
即 ，所以
所以四边形PACB的面积的最小值为 ，故选：B.
【题型8 圆的切点弦及弦长问题】
满分技巧
1、直线与圆相交时的弦长求法：
（1）几何法：利用圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 之间的关系 ，整理出弦长
公式为：
（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）弦长公式法：设直线 与圆的交点为 ， ，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数的关系得到弦长
2、切点弦方程：过 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，
则切点弦 所在直线方程为：
【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）已知直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】 变形为 ，故直线过定点 ，
的圆心为 ，半径为3，则当 ⊥ 时， 取得最小值，
最小值为 .故选：C
【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）过圆 外一点
作圆 的切线，切点分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意知 ，
， ， ，
所以 ，
根据圆的对称性易知 ，
则 ，解得 ．故选：A．
【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）已知圆 截直线 所得弦的长度为
，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
弦的长度为 ，故圆心到直线的距离 ，
圆心到直线 的距离 ，所以 ，故选：C．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）过直线 上一点M作圆C： 的两条切线，切点分
别为P，Q．若直线PQ过点 ，则直线PQ的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆C： 的圆心为 ，
设 ，则以 为直径的圆的方程为
与圆C的方程 两式相减可得直线PQ的方程为
因为直线PQ过点 ，所以 ，解得 ．所以直线PQ的方程为 ，即 ．故选：C．
【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆 ，直线
，过 的直线 与圆 相交于 两点，
（1）当直线 与直线 垂直时，求证：直线 过圆心 .
（2）当 时，求直线 的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2） 或
【解析】（1）由已知 ，故 ，所以直线 的方程为 .
将圆心 代入方程易知 过圆心 .
（2）因为 ，圆 的半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意；
当直线与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
综上：直线 的方程为 或 .
【题型9 两圆的公共弦问题】
满分技巧
两圆公共弦所在直线方程
圆 ： ，圆 ： ，
则 为两相交圆公共弦方程.
【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知圆 ： ，圆 ： ，
则圆 与圆 的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由 ，则 ， ；
由 ，则 ， ；所以 ，两圆相交，
将两圆作差得 ，所以公共线方程 .故选：B
【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆O的直径 ，动点M满足
，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，
可设 ， ，明显，圆O的半径为2，其方程为： ①，
设动点 ，由 ，从而有 ，
化简得： ，即 ②，
由 可得相交弦的方程为： ，圆心 到 距离 ，
所以公共弦长为 .故选:A.
【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知 是 ： 上一点，过
点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与 平行时，直线AB的方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为以 为直径的圆的方程为 ，
又圆 ： ，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为 ，
由 ，可得 ，即得直线AB的方程为 .故选：C.【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）过圆C： 外一点 作圆C的切线，切点
分别为A，B，则直线 过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为直径的圆的方程为 ，
即 ，圆 ，
两圆方程相减就是直线 的方程，即可 ，
整理为 ，联立 ，得 ，
所以直线 恒过定点 .故选：A
【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设圆 ： 和圆 ：
交于A，B两点，则四边形 的面积为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由题意可知： ，
因为圆 ： 和圆 ： 交于A，B两点，
所以直线AB的方程为 ，
所以 到直线AB的距离 ，
所以 ，
又
所以 ．故选：C．
【题型10 两圆的公切线问题】
满分技巧
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，由公切线的意义（两圆公公的切线）可
知，两圆心到直线 的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于 和 的方程，解这个方程组
得到 ， 的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）圆 与圆 的公切线条
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由 可知圆心为 ，半径 ，
由 ，即 ，则圆心为 ，半径 ，
则两圆圆心距离为 ， ， ，
故 ，即两圆相交，故公切线条数为2条.故选：B.
【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆 ，圆
，下列直线中不能与圆 ， 同时相切的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知： ，
所以圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为2，
对于A，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条
件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于B，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条
件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于C，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条
件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；对于D，圆 的圆心 到直线的距离为 ，不满足相切条件，
即直线 不可能是两圆的公切线；故选：D.
【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在直角坐标平面内，点 到直线 的距离为
3，点 到直线 的距离为2，则满足条件的直线 的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】到点 距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点 距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又 ，故两圆外切，
所以公切线有3条， 故选：C
【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）圆 和圆
的公切线方程是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】A
【解析】 ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
因为 ，所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直， ，所以切线斜率为 ，
由方程组 解得 ，
故圆 与圆 的切点坐标为 ，
故公切线方程为 ，即 ．故选：A.
【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）圆 与圆 的公切
线长为 .
【答案】4
【解析】由题可得，由圆 ，则圆心为 ，半径为 ，
由圆 ，则圆 的圆心为 ，半径为 .
则两圆心的距离 ，因为 ，所以圆 与圆 相交.
如图，设切点为 ，作 于点 ，
所以圆 与圆 的公切线长为 .
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1．（2024·浙江·校联考一模）圆 的圆心 坐标和半径 分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ，即 ，
它的圆心 坐标和半径 分别为 .故选：A.
2．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线 与直线
互相平行，则实数 的值（ ）
A．-2 B．-2或1 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题意得 ，解得 或 ，
当 时，两直线都为 ，两直线重合，舍去；
当 时，两直线分别为 和 ，两直线平行，满足要求；故选：A
3．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】因为直线 与直线 垂直，
所以 ，即 ，所以 ，
当且仅当 或 时等号成立．
即 的最小值为4，故选：B
4．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知A，B是圆C： 的两
点，且 是正三角形，则直线AB的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 是圆的圆心， ，
由题意可知，圆与 轴相切于D点，则
，
又 ，所以 ，
又 是正三角形，则 两点恰为切点
设 点与 点重合，
由题意可知， ，且 ，所以 ，
不妨设线段AB中点为H，则 ，
设直线AB： ，即 ，
则 ，则 或 ，
结合图形知 时与圆没有交点，故舍去，
则 ，所以直线AB的方程为 .故选：C
5．（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 变形为 ，圆心为 ，半径为4，
过定点 ，当 与 垂直时， 最小，
由垂径定理得，最小值为 .故选：B
6．（2023·上海静安·统考二模）设直线 与 关于直线 对称，则直线 的方
程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立 ，得 ，
取直线 上一点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得： ，
直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
整理为： .故选：A
7．（2024·山东青岛·高三统考期末）圆 与圆 相交于A、B两
点，则 （ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】D
【解析】两圆方程相减得直线 的方程为 ，
圆 化为标准方程 ，
所以圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
弦长 ，所以 .故选：D
8．（2023·江苏苏州·高三统考期中）圆 与圆 的公切线的
条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】圆 化成标准方程为 ，知
圆 化成标准方程为 ，知
圆心距 ，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.故选：A
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）（多选）已知 是直线 上的一个动点，过点
作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， B．若 ，直线 的方程为
C．直线 经过一个定点 D．弦 的中点在一个定圆上
【答案】BCD
【解析】由 可得圆心 ，半径 ，依题意
，
又 ，所以 ，故A错误；
根据题意可得 共圆，所以 在以 为直径的圆上，
所以以 为直径的圆为 ，即，
与圆 相减可得公共弦AB所在直线的方程为 ，故B正确；
设 ，则 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，
与圆 的方程相减可得公共弦所在直线的方程为 ，
所以直线 过定点 ，故C正确；
记弦 的中点为 ，可得 ， ，
所以 的中点 在以 为直径的圆上，故D正确.故选：BCD.
10．（2024·云南昆明·统考一模）（多选）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运
动，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，当 最大时，则（ ）
A．直线 的斜率为1 B．四边形 的面积为
C． D．
【答案】AC
【解析】若要 最大，则只需锐角 最大，只需 最大，即 最小，
所以若 最小，则 ，
由垂径分线定理有 ，所以 ，所以 ，故A正确；
由题意 ，此时 ， ，
所以此时 ，故D错误；
而当 时， ，
所以四边形 的面积为 ，故B错误；
由等面积法有四边形 的面积为 ，
又由题意 ，所以 ，故C正确.故选：AC.
11．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）已知直线 ： 与直线 ：，其中 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 或 或 B．若 ，则 或
C．直线 和直线 均与圆 相切 D．直线 和直线 的斜率一定都存在
【答案】AC
【解析】对于A，直线 ： 与直线 ： ，
若 ，则 ，即 ，又 ，所以 ，
或 或 ，解得 或 或 ，正确；
对于B，若 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 或 ，
当 时，直线 ： 即 ，
直线 ： 即 ，两直线重合，不符合题意，舍去；
当 时，直线 ： 即 ，
直线 ： 即 ，两直线平行，符合题意；所以 ，B错误；
对于C，圆 的圆心为 ，半径为1，
圆心 到直线 ： 的距离为 ，
圆心 到直线 ： 的距离为 ，
所以直线 和直线 均与圆 相切，正确；
对于D，当 时，直线 ： 化简为 ，直线 斜率不存在；
当 时，直线 ： 化简为 ，直线 斜率不存在；D错误.故选：
AC
12．（2024·江苏·高三统考期末）已知 的顶点是 ， ， ，则 的外接圆的
方程是 ．
【答案】
【解析】设所求圆的一般方程为 ，
因为点 ， ， 在圆上，
所以 ，解得 ，则所求圆的一般方程为： ，
13．（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知圆C： 不经过第三象限，则实数m
的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆方程整理为 ，则圆心 ，
，因为圆 不经过第三象限，
所以 ，解得 ，则 .
14．（2023·安徽六安·高三毛坦厂中学校考阶段练习）设直线 的方程为 .
（1）求证：不论a为何值，直线 必过一定点P；
（2）若直线 分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当 面积最小时，求 的周长；
（3）当直线 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线 的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）见解析.
【解析】（1）由 得: ；
则 ，解得
所以不论 为何值，直线 必过一定点 ；
（2）由 得，
当 时， ，当 时， ，
又由 ，得 ，
∴ ,
当且仅当 ，即 时取等号
∴ ， ，
∴ 的周长为 ；
（3）直线 在两坐标轴上的截距均为整数，
即 ， 均为整数，
所以 ， 均为整数，∴ ， ， ， ， ，0， ，2，
又当 时，直线 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线 的方程为 ， ， ， ，
， ， ， .15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）过直线 上一点 作圆 的
两条切线，切点分别为 ，则线段 的长度的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知， ，则圆心 ，半径 ，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则 ，易知 ，
所以 ，有 ， ，
所以 ，得 ，
当 最小时， 取得最大值，即点C到直线 的距离为
，此时 ，所以 ；
又 三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以 ，
所以 ，即线段AB的长度的取值范围为 .
16．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知圆 的圆心与点 关于直线 对称，且圆
与 轴相切于原点 .
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆 中存在弦 ，且弦 中点 在直线 上，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设 坐标 ，则 ，解得 ，即 坐标
圆 与 轴相切于 圆 方程 .
（2） ，圆 半径 ，
轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，则其轨迹方程为 ，
又 在直线 上， 直线与圆有公共点，即 ， .
