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热点 2-3 函数的图象及零点问题
函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。
函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
【题型1 函数图象画法与图象变换】
满分技巧
作函数图象的方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线
的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换
作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变
换单位及解析式的影响．
4、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；
②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．
例如： ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换．
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时
注意以下原则：
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；
②横坐标的多次变换中，每次变换只有 发生相应变化．
【例1】（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析
【解析】（1）由题意得 ，图象可由 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得
到
（2）由题意得 ，分段作出二次函数图象，则 图象为：
【变式1-1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）要得到函数 的图象，只需将指数函数
的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】由 向右平移 个单位，则 .故选：D
【变式1-2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的函数是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】根据函数图象知，当 时，所求函数图象与已知函数相同，
当 时，所求函数图象与 时图象关于 轴对称，
即所求函数为偶函数且 时与 相同，故BD不符合要求，
当 时， ， ，故A正确，C错误.故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数 定义在 上的图象如图所示，请分别画出下列
函数的图象：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
【答案】答案见解析
【解析】（1）将函数 的图象向左平移一个单位可得函数 的图象，
函数 的图象如图：
（2）将函数 的图象向上平移一个单位可得函数 的图象，
函数 图象如图：
（3）函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 图象如图：
（4）函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 的图象如图：（5）将函数 的图象在 轴上方图象保留，
下方的图象沿 轴翻折到 轴上方可得函数 的图象，函数 的图象如图：
（6）将函数 的图象在 轴左边的图象去掉，在 轴右边的图象保留，
并将右边图象沿 轴翻折到 轴左边得函数 的图象，其图象如图：
【题型2 由复杂函数解析式选择函数图象】
满分技巧
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
3、找特殊值：** 错误的表达式 **对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；** 错误的表达式 **对比各
选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.
【例2】（2023·四川乐山·统考一模）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由函数 ，可得函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除A项，
又由 ，排除B项，
当 时， ，排除C项，所以D符合题意.故选：D.
【变式2-1】（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，
又 ，
因此函数 为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；
当 时， ， ，则 ，
因此 ，C错误，A符合题意.故选：A
【变式2-2】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 ，则 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，故C错误；
又因为 ，
故函数 的图象关于 对称，故B错误；
当 趋近 时， 趋近 ， 趋近 ，
所以 趋近正无穷，故D错误.故选：A.
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）函数 在 上的图象大致为（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为对 都有
，
所以 为奇函数，即函数图象关于原点对称，故排除A，C；由于 ，所以排除B.故选：D．
【题型3 根据函数图象选择解析式】
满分技巧
（1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。
【例3】（2023·天津武清·高三英华国际学校校考阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则 可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，该函数定义域包括 ，对B、C选项中， ，故排除B、C；
当 时，易得 、 ，故 ，与图象矛盾，故排除D.故选：A.
【变式3-1】（2023·山东日照·高三五莲县第一中学校考期中）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合
如图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图知，当 时， ，
选项C，当 时， ，所以选项C错误；
又由图知，函数图像关于 轴对称，对于选项A，
， ， ，所以选项A不正确；
对于选项B， ，
所以 ，所以选项B满足题意；选项D， ， ， ，
所以选项D不正确.故选：B.
【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从图象可知函数 的图象关于原点对称，所以函数 是奇函数，
因为 ， ， 是偶函数， 是奇函数，
所以 ， 都是偶函数，可排除A，D．
又由 ， ，
结合题图，可知选B正确，C不正确．故选：B.
【变式3-3】（2023·天津·高三校联考期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难
入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，
已知函数 的部分图象如图所示．则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由图可知，函数 是 上的奇函数，且 ，
若 ，则 ，不合题意，故A错误；
若 ，由 得 ，不合题意，故B错误；
若 ，则 ，不合题意，故D错误；
故排除ABD，得C正确.故选：C.
【题型4 根据实际问题作函数图象】
满分技巧
根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）；
（2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）。
【例4】（2023·海南·嘉积中学校考三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀
速跑步，他从点 处出发，沿箭头方向经过点 、 、 返回到点 ，共用时 秒，他的同桌小陈在固定
点 位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为 （单位：秒），他与同桌小陈间的距离为 （单位：
米），若 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点 到点 的过程中， 的值先增后减，
从点 到点 的过程中， 的值先减后增，
从点 到点 的过程中， 的值先增后减，从点 到点 的过程中， 的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即 的值）的增减性为：
增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.【变式4-1】（2022·山西忻州·高三忻州一中统考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中
国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度 与时间 的函
数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，
且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，
直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.故选：C
【变式4-2】（2023·全国·高三对口高考）如图，点 在边长为1的正方形 上运动，设点 为 的
中点，当点 沿 运动时，点 经过的路程设为 ， 面积设为 ，则函数 的
图象只可能是下图中的（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当点 在 上时： ；
当点 在 上时：
；
当点 在 上时： ，
所以 ，
由函数解析式可知，有三段线段，又当点 在 上时是减函数，故符合题意的为A.故选：A
【变式4-3】（2022·北京大兴·高三统考期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度
（单位：米/分钟）与时间 （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段
内的最大速度与最小速度的差，则 的图像为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” ，
结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
【题型5 函数零点所在区间问题】
满分技巧
确定 的零点所在区间的常用方法：
（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数 在区间 上的图象是否连续，再看是否有
，若有，则函数 在区间 内必有零点；
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断。
【例5】（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 ，可判断函数为单调递增函数，
所以
因为 ，所以 ， ，
所以
可得 ，即函数 的零点所在的区间是 .故选：C
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习） 必存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】令 ，可得 ，
可知 的零点即为 与 的交点横坐标，
在同一坐标系内作出 与 的图象，
又 ，
可知 与 在 内有交点，在 ， 和 内无交点，
所以 在 内必存在零点，其它区间无零点.故选：C.
【变式5-2】（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）若函数 存在1个零点位于
内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数 存在1个零点位于 内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.故选：A.
【变式5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）函数 与 的图象交点为
．若 ， ，则 ．
【答案】3
【解析】令函数 ，显然函数 在R上单调递增，
由函数 与 的图象交点为 ，得函数 的零点为 ，
而 ，因此存在唯一 ，使得 ，所以 .
【题型6 确定函数的零点个数】满分技巧
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个
数就是函数 的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，
则函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
【例6】（2022·安徽·高三安庆一中校联考阶段练习）已知函数 则方程 的
解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】令 ，得 ，
则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数．
作出函数 与函数 的图像，
可知两个函数图像的交点的个数为2，
故方程 的解的个数为2个．故选：C．
【变式6-1】（2023·陕西·校联考模拟预测）用 表示 中较小的数， ，
则 的解的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D【解析】由 解得 ，设 ，
画出 的图象如下图所示，
由 解得 ；
由 解得 或 ；
令 ，则 或 或 或 ；
由图象可知， 有 个解， 分别有 个解，
没有解，且上述 个解互不相同，
所以 的解的个数为 个.故选：D
【变式6-2】（2023·山东·五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，对任
意 ，都有 ，当 时， ，则 在 上的零点个数为（
）
A．10 B．15 C．20 D．21
【答案】D
【解析】因为 ，令 ，得到 ，
所以 ，从而有 ，又函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，所以函数 的周期为 ，
令 ，则 ，又当 时， ，
所以 ，得到 ，
故 ，
又 ，所以 在 上的图像如图，又当 时，由 ，得到 ，
当 ，由 ，得到 ，即 ，
又 ，所以 ，
， ，
又由 ，得到 ，即 ，
所以 ，
再结合图像知， 在 上的零点个数为21个，故选：D.
【变式6-3】（2023·江西宜春·高三铜鼓中学校考阶段练习）（多选）已知函数 ，若关于x的方程
的实根个数可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】ABC
【解析】设 ，关于 的方程 ，
即 ，两根 ， .
函数
当 时， （ 时取等号）， ，
当 时， ，即 在 上为增函数，
当 时， ，即 在 上为减函数，
在 处取得极大值 .
当 时， ， ，即 在 上为减函数，
作出函数 的图象如图所示：当 时，方程 有1个解，
当 时，方程 有2个解，
当 时，方程 有3个解，
当 时，方程 有1个解，
当 时，方程 有0个解，
所以当 ，即 时，关于x的方程 的实根有1个；
当 ，即 时，关于x的方程 的实根有2个；
当 ，即 时，关于x的方程 的实根有3个.
故选：ABC.
【变式6-4】（2023·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数 ，若函数
有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，故 ，
画出 与 的图象，
函数 有3个零点，即 与 图象有3个不同的交点，
则 ，解得 .故选：D【题型7 根据零点个数求参数范围】
满分技巧
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个
熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【例7】（2023·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数 ，若函数 有3
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，故 ，
画出 与 的图象，
函数 有3个零点，即 与 图象有3个不同的交点，
则 ，解得 .故选：D
【变式7-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数 若 有3个实数
解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 时， ， ，
解得 ， 解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，所以方程 在 和 上各有1个实数解，
时， ，函数在 上单调递减，
依题意， 在 上有1个实数解，
则 ，解得 .
实数 的取值范围为 .故选：B
【变式7-2】（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数 若函数
恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，所以要使 恰有3个零点，
只需方程 恰有3个实根即可，
即 与 的图像有3个不同交点．
当 时，此时 ，如图1， 与 有1个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有3个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 ．
综上， 的取值范围为 ．故选：D
【变式7-3】（2023·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）已知函数 ，若关于的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】方程 等价于 ，
由一次函数和对勾函数的性质，作函数 的图象如图，
由图象可知，方程 只有一个实数根，则 有三个不同的实数解，
所以实数 的取值范围为 .
【题型8 函数零点的大小与范围】
满分技巧
通过数形结合的思想转化为函数图象问题，常结合函数的对称性考查。
【例8】（2023·重庆·高三南开中学校考期中）已知实数a、b、c满足： ，则下列关系不
可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，画出 ， ， ，图象可知：
当 在①位置时， ；
当 在②位置时， ；
当 在③位置时， ； 不可能成立.故选：D【变式8-1】（2023·全国·高三统考阶段练习）已知 ，则下列关系正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知： ，可得：
，
分别作出函数 和 的图象，如图所示：
结合图象，可得 ，故选：A.
【变式8-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）设函数 ，关于x的方程
有三个不等实根 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】画出函数图象，结合图形可知，仅当 时，方程 有三个不等实根，
分别对应直线 与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设 ，
显然 关于 对称，故 ，
另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72，
显然它在 和 以及 的交点 和 之间，
故 ，所以，【变式8-3】（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知函数 ，若方程
有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】画出函数 的图象，如图所示：
方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，
由 时， ，则 与 的中点横坐标为 ，即： ，
当 时，由于 在 上是减函数，在 上是增函数，
又因为 ， ，则 ，
有 ， ，又 ， ，
在 上递增，故取值范围是 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·北京丰台·统考二模）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所
有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】D
【解析】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到 ，错误；B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 ，错
误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得
，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得
，正确.故选：D
2．（2023·天津北辰·高三校考阶段练习）函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 ， ，
，
所以函数 为偶函数，函数图象关于y轴对称，A选项错误；
， ，
BD选项错误；故选：C
3．（2023·山西临汾·高三临汾市第三中学校校联考期中）函数 的部分图象大致为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】函数 ，
对任意实数 ， （当且仅当 时取等号， ，
又 ，即函数 是R上的偶函数，而 是奇函数，
因此函数 的定义域为R，是奇函数，图象关于原点对称，选项A错误；
当 时， ， ，选项BD错误，选项C符合要求.故选：C
4．（2023·福建泉州·高三校考期中）同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的
函数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，由 得 ，即 在定义域上递增，不符合；
对于B，由 得 ，
在 上 ，在 上 ，在 上 ，
所以 在 、 上递减， 上递增，符合；
对于C，由 且定义域为 ，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究 上性质： ，故 递增，不符合；
对于D，由 且定义域为R，为奇函数，
研究 上性质： ，故 在 递增，
所以 在R上递增，不符合；故选：B
5．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）函数 的零点个数为
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】 ，即 ，
令 ， ，
故 的零点个数为 与 的交点个数，在同一坐标系内画出 与 的图象，如下：
显然 与 的交点个数为1，故 的零点个数为1.故选：D
6．（2023·山东济宁·高三统考期中）已知函数 ，则函数 的零点个
数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由已知 ，
令 ，即 ，
当 时，得 或 ，
当 时，明显函数 在 上单调递减，
且 ， ，
故存在 ，使 ，
画出 的图象如下，
再画出直线 ，其中 ，观察图象可得交点个数为 个，即函数 的零点个数是 .故选：D.
7．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数 在区间 上存在零点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若函数 在区间 上存在零点，
由函数 在 的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：D.
8．（2022·江西抚州·高三临川一中校考期中）若函数 在区间 上有零点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数 ，
设 为函数 在 上的零点，则 ，
即 ，即点 在直线 上，
又 表示点 到原点的距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 单调递增.
所以 最小值为 .故选：A
9．（2023·广东深圳·高三校考期末）（多选）已知函数 ，若存在实数 ， ，
， 满足 ，则正确的有（ ）
A． B． C． D．【答案】BCD
【解析】由 得 ， ，
当 时， ， 的图象在 关于 对称，
由 得 ， ，
对应函数图象如图所示，
对于A，由图知，若 ，则 ，故A错误；
对于B， ， 关于 对称， ，故B正确；
对于C，由 得 ，
， ，得 ，
即 ，故C正确；
对于D，由 ，则 ， ，故D正确.故选：BCD.
10．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）（多选）已知函数 ，若关于 的方程
有6个不相等的实根，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 的值域为 ，
所以， ，
作出函数 的图象，由图象可知，当 时，函数 的图象与 的图象有4个交点，
当 时，函数 的图象与 的图象有3个交点，
当 或 时，函数 的图象与 的图象有2个交点，
当 时，函数 的图象与 的图象没有交点，
因为 ， ，
所以当 时，方程 有两根 ，且 ，
此时方程 有2个不相等的实根；
当 时，方程 有三个根 ，且 ，
此时方程 有4个不相等的实根；
当 时，方程 有四个根 ，且 ，
此时方程 有6个不相等的实根；
当 时，方程 有四个根 ，且 ，
此时方程 有5个不相等的实根；
当 时，方程 有四个根 ，且 ，
此时方程 有4个不相等的实根；
当 时，方程 有两个根 ，且 ，此时方程 有2个不相等的
实根；
当 时，方程 没有实数根，此时方程 没有实根；
综上所述，当 时，关于 的方程 有6个不相等的实根.
又 ，所以 ，所以 .
对于A项， 不满足，故A错误；
对于B项， 满足，故B正确；
对于C项， 不满足，故C错误；
对于D项， ， 满足，故D正确.故选：BD.11．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数 ，若存在实数 ，使得关于
的方程 有三个不同的根，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当 时，此时当 时 单调递减，
当 时 单调递增，
所以关于关于 的方程 最多只有2个解，不符合题意；
②当 时，此时当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
如图所示，
要使得关于 的方程 有三个不同的根，
则需满足 ，解得 或 （舍），
所以 的取值范围是 .
12．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数 ，函数
恰有三个不同的零点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ， ，画出 的图像，化简， ，故 的必过点 ，
恰有三个不同的零点，
即为 有三个不同的实根，作出 和 的图像，
直线 与曲线 相切时，有 ，
由 ，可得 ，解得 或 ，
又由 ，得 ，故 （舍去），
当 与曲线 相切时，两图像恰有三个交点，
令 ，此时，解得 ，
结合图像可得， 或
故答案为：
13．（2023·全国·高三对口高考）利用函数 的图象，作出下列各函数的图象．
（1） ； （2） （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析
（4）图象见解析；（5）图象见解析；（6）图象见解析
【解析】（1）把 的图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（2）保留 图象在 轴右边部分，去掉 轴左侧的，
并把 轴右侧部分关于 轴对称得到 的图象，如图，
（3）把 图象向下平移一个单位得到 的图象，如图，（4）结合（3），保留 上方部分，然后把 下方部分关于 轴翻折得到 的图象，如图，
（5）把 图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（6）把 的图象向右平移一个单位得到 的图象，如图，
14．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知函数 .
（1）若 ，求 在 上的值域；
（2）若函数 恰有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 ，所以 ，则 在 上为减函数，
因为 ，所以 在 上的值域为
（2）由 得： ，则 ，则 ，所以
因为 ，所以 ，整理得 有两个根.
令 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 趋向 时 趋向于 ，当 时 .
故 的取值范围是 .
15．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 （其中 ）为偶函
数.
（1）求实数 的值；
（2）讨论函数 的零点情况.
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【解析】（1）函数 是偶函数且定义域为 ，
所以有
，
因为 ，所以 ；
（2）函数 的零点情况等价于
方程 的解的情况，即
令 ，则
①当 时， ，此时方程 无解；
②当 时，函数 开口向上，且恒过定点 ，
则 只有一解，此时方程 只有一解；
③当 时，函数 开口向下，且恒过定点 ，函数的对称轴 ，此时方程 无解.
综上，当 时函数 无零点，当 时函数 有一个零点.
