文档内容
热点 7-4 抛物线及其应用
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内
容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的
教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。
【题型1 抛物线的定义及概念辨析】
满分技巧
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，
且 ，则 点到 轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】由题意得， ，抛物线 中 ，
所以 ，所以所求距离为 .故选：B
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线 的距离减去它到点 的距离等于2，
则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】如图所示，由于动点P到直线 的距离减去它到点 的距离等于2，
于是动点P在直线 的右边，且动点P到直线 的距离大于2，因此动点P到直线 的距离等于它到点 的距离，
进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．故选：D
【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为 的抛物线 的对
称轴与准线交于点 ，点 在抛物线 上且在第一象限，在 中， ，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】过 作准线的垂线，垂足为 ，作 轴的垂线，垂足为 ，
则由抛物线的定义可得 ，由 ，
在 中由正弦定理可知： ，
设 的倾斜角为 ，则 ，故选:A．
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：
的焦点，直线 与抛物线C交于A，B两点，若 ，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】设直线 与 轴交点为 ，
由抛物线的对称性，易知 为直角三角形，且 ，
，即 ，去绝对值，解得 或 ，
所以抛物线的准线方程为 或 .故选：C.
【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l上，
且 平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ，抛物线的焦点F为 ，准线l为 ，如图所示.
由题知 ，因为 ，所以 ，则 .
因为 ，所以 ，
由抛物线的定义知 ，所以 是正三角形，
所以 ，则 .故选：D
【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧
与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得
解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最
短”原理解决．
【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点 是抛物线 的焦点，
点 ，且点 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】由 是抛物线 的焦点，得 ，即 ，
故 ，其准线方程为 ，
当 时，有 ，即 ，故点 在抛物线上方，
由抛物线定义可知，点 到焦点 的距离 等于其到准线的距离 ，
则 .故选：A.
【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点 为抛物线 上任意一点，点 为圆
上任意一点， 为直线 的定点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】如图所示：由 知，抛物线焦点 ，
由 ，化为 ，
即为以 为圆心，1为半径的圆，
又 ，得 ，恒过定点 ，
过点 作 垂直于抛物线的准线： 交于点 ，连接 ，则 ，
当 三点共线时， 最小,此时为3，
所以 的最小值为： ，故选：A.
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F， ，过点M作直线
的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 得 ，
所以直线 过点 ．
连接AM，则 ，
由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设 ，
所以点Q的轨迹方程为 （不包含点 ），
记圆 的圆心为 ，
过点Q，P，N分别作准线 的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，
则 ，
当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，
所以 的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，圆 ： ，
点 ， 分别为抛物线 和圆 上的动点，设点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】圆 ： ，圆心坐标 ，半径为1，
抛物线 ： 的焦点为 ，准线方程 ，如图所示，
点 到直线 的距离比点 到准线 的距离大2，即 ，
的最小值为 ，当 三点共线时 的最小值为 ，
所以 .故选：C.
【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C： 上的动点， 关于P的对
称点为B，记P到直线 的距离分别 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，因为 ，且 关于P的对称点为B，
所以|PA|=|PB|，抛物线焦点 ，
所以 .
当P在线段AF上时， 取得最小值，且最小值为 .故选：A
【题型3 抛物线标准方程的求解】
满分技巧
1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛
物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的
方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨
论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为 y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求
解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方
程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点
是抛物线 上一点， 于 .若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】如图，连接 ，设准线与 轴交点为
抛物线 的焦点为 ，准线 ：
又抛物线的定义可得 ，
又 ，所以 为等边三角形，
所以 ，
所以在 中， ，则 ，
所以抛物线 的方程为 .故选：C.
【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线 ： （ ）的
焦点为 ，点 在 上，且 ，若点 的坐标为 ，且 ，则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】设 为 ，则 ，
又由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
由 ，联立方程组，消去 ，可得 ，所以 ，故 ，
又由 ，所以 ，即 ，解得 或 ，
所以 的方程为 或 ．故选：A．
【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两点
在抛物线上，且满足 ， .若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为
.
【答案】
【解析】设 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
因为 都在第一象限，所以 ，
又因为 且 ，
所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 .
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）点M为抛物线 上点，抛物线焦点为
F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若 是以 为底边的等腰三角形，且 ，则抛物线方程为
.
【答案】
【解析】因为 是以 为底边的等腰三角形，且 ，
所以 ，设点M到抛物线准线的距离为 ，
则由抛物线的定义知， ，
即： ，且 ，所以 ，解得： ，
所以抛物线的方程为 .
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线 上，O是坐标原点，正三角
形OAB的面积为 ，则该抛物线的方程是 ．
【答案】
【解析】根据对称性，可知 轴，
由于正三角形OAB的面积是 ，故 ，
故 ，正 的高为 ，
故可设点A的坐标为 ，代入抛物线方程得 ，解得 ，
故所求抛物线的方程为 ．
【题型4 抛物线的中点弦问题】
满分技巧
A(x ，y ) B(x ，y ) P(x ，y )
设直线与曲线的两个交点 1 1 、 2 2 ，中点坐标为 0 0 ，代入抛物线方程，
， ， 将 两 式 相 减 ， 可 得 ， 整 理 可 得 ：【例4】（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B
两点，若 ，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 作差得 .
因为 ，所以P是线段AB的中点，所以 ，
则直线l的斜率 .故选：A
【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线 上的两点，线段AB
的中点为 ，则直线AB的方程为 ．
【答案】
【解析】依题意，设 ，
若 ，则直线 ，
由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为 ，显然不符合题意，故 ，
因为A，B是抛物线 上的两点，
所以 ，两式相减得， ，整理得 ，
因为线段AB的中点为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以直线AB的方程为 ，即 .
【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直线AB
的斜率为 .
【答案】2
【解析】设 ， 代入抛物线 ，得 ，则 ①，
因为两点A，B关于点 对称，则 ，
所以由①得 ，
直线AB的斜率为2.
则直线AB： 与代入抛物线 联立，
得 ， ，解得 .
所以直线AB的斜率为2.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）直线 （ 是参数）与抛物线 的
相交弦是 ，则弦 的中点轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ， 中点 ，则 .
， 过定点 ， .
又 ，（1） ，（2）
得： ，
. 于是 ，即 .
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦 的中点轨迹方程是
【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）点 在抛物线 上，
由抛物线定义可得 ，解得 ，故抛物线 的标准方程为 ．
（2）设 ，如下图所示：
则 ，两式相减可得 ，
即 ，
又线段 的中点为 ，可得 ；
则 ，故直线 的斜率为4，
所以直线 的方程为 ，
即直线 的方程为 ．
【题型5 抛物线的弦长问题】
满分技巧
AB y2 2px(p0) A(x,y ) B(x ,y )
1、一般弦长：设 为抛物线 的弦， 1 1 ， 2 2 ，
1
AB 1k2 x x 1 y y
1 2 k2 1 2 k AB k 0
（ 为直线 的斜率，且 ）.
AB y2 2px(p0) F A(x,y ) B(x ,y ) AB
2、焦点弦长：如图， 是抛物线 过焦点 的一条弦，设 1 1 ， 2 2 ， 的中点
M(x ,y ) A M B l A B M
0 0 ，过点 ， ， 分别向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为点 1， 1， 1，
AF AA BF BB AB AF BF AA BB
根据抛物线的定义有 1， 1， 1 1
AB AF BF AA BB
故 1 1 .
MM AABB AB AA BB 2 MM
又因为 1是梯形 1 1 的中位线，所以 1 1 1 ，
从而有下列结论；
AB l
（1）以 为直径的圆必与准线 相切.
p
AB 2x
0 2
（2） (焦点弦长与中点关系)
AB x x p
（3） 1 2 .
2p
AB
AB sin2
（4）若直线 的倾斜角为 ，则 .
p2
xx
A B 1 2 4 y y p2
（5） ， 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即 ， 1 2 .
1 1 2
AF BF P
（6） 为定值 .
【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率大于零
的直线 与 及抛物线 的公共点从右到左依次为点 、 、 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：易知抛物线 的焦点为 ，
设直线l的方程为 ，
因为直线 与抛物线 相切，
联立 ，可得 ，
则 ，因为 ，解得 ，
设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，故选：C.
【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，过F的直线交
抛物线C于A，B两点， 的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在 的两侧）.若四边形
为菱形，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由四边形 为菱形，如下图示， ， ，
由抛物线性质知： ，则 ，故 ，
又 ，故 ，所以 .
公式 ，证明如下：
令直线 （斜率存在）为 ，代入 ，则
，
整理得 ，若 ，
而 ，若直线倾斜角为 （不为直角），则 ，
所以 .故选：B【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）若直线l经过抛物线 的焦点，与
该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
【答案】8
【解析】抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设 的方程为 ， ，
则由 得 ，
， ，
又 ，所以 ，即 ， ，
所以 ．
【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）已知抛物线 ： ，坐标原点为 ，焦点为 ，直线 ：
.
（1）若直线 与抛物线 只有一个公共点，求 的值；
（2）过点 作斜率为 的直线交抛物线 于 , 两点，求 的面积．
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】（1）依题意，联立 ，消去 ，得： ，即： ，
①当 时，有： ，显然方程只有一个解，满足条件；
②当 时，要使得直线 与抛物线 只有一个公共点，
则方程 只有一个解，
所以 ，解得： ；
综上所述，当 或 时，直线 与抛物线 只有一个公共点．
（2）由于抛物线 ： 的焦点 的坐标为 ，
所以过点 且斜率为 的直线方程为： ，
设 ， ，
联立 ，消去 ，得： ，
则由韦达定理得： ， ，
所以 ，
所以 .【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线 的准线方程
是 .
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 与抛物线相交于 ， 两点，若 ，求实数k的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为抛物线 的准线方程为 ，
所以 ， 解得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）如图，设 ， .
将 代入 ，
消去 整理得 .
当 时，
， .
，
化简得： ，解得 ，
经检验，此时 ，故 .
【题型6 直线与抛物线综合应用】
满分技巧
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，
但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的
灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公
式|AB|＝x＋x＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
1 2
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 上任意一点 到 的距离与
到点 的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线 的标准方程．（2）已知过点 且互相垂直的直线 与 分别交于点 与点 ，线段 与 的中点分别为 ．
若直线 的斜率分别为 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）抛物线 的准线方程为 ，
设点 到准线的距离为 ．
由抛物线的定义，得 ，解得 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）设 ，
由题意可知， 的斜率存在且均不为0，
设直线 的方程为 ，
将其代入 ，得 ，则有 ．
同理可得：设直线 的方程为 ，则 ．
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又易知 ，所以 的取值范围为 ．
【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： （ ）的准线方程为 ．
动点P在 上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
（1）求抛物线C的方程：
（2）当 面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为准线方程为 ，所以 ，解得 ，抛物线C的方程为 ．（2）设 ， ，则 ，
对 求导可得 ，
故过M的切线方程为 ，即 ，
故 ，
故MP： ，
同理可得NP： ，
因为两切线均经过 ，
所以
， 均在直线 上，
可知MN： ，当 得， ，解得 ，
则MN与y轴的交点坐标为 ．
联立 ，整理得 ，
由韦达定理， ， ，
则 ，
又因为 在圆 ，则 ，
代入可得 ，
，
因为 ，所以 ， ．
构造 ， ， ，
易知 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
当 时， 取得最小值，此时 取到最大值 ，点P的坐标为 ．
【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知 为抛物线 的焦点，
为坐标原点， 为 的准线 上的一点，直线 的斜率为 ， 的面积为4.
（1）求 的方程；
（2）抛物线 在 轴上方一点 的横坐标为 ，过点 作两条倾斜角互补的直线，与曲线 的另一个交点
分别为 、 ，求证：直线 的斜率为定值.【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意知 ，设点 的坐标为 ，
则直线 的斜率为 ．
因为直线 的斜率为 ，所以 ，即 ，
所以 的面积 ，解得 或 （舍去），
故抛物线 的方程为 ．
（2）依题意直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 的斜率为 ，点 ， ， ．
则直线 的方程为 ，
由 消去 整理得 ，
由 ，所以 且 ，
， 是方程的两个根，
， ，
依题意，直线 的斜率为 ，同理可得 ，
，
，
所以直线 的斜率为定值．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的准线经过点 ．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线 与直线 ， 分
别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，两个定点的坐标分别为 和 .
【解析】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 .
（2）存在, 理由如下.设直线 的方程为 .
联立直线 与抛物线 的方程得 消去 并整理，得 .
易知 , 则
由直线 的方程 , 可得 ,
由直线 的方程 , 可得 .
设以 为直径的圆上任一点 , 则 ,
所以以 为直径的圆的方程为 .
令 , 得 .
将 代入上式，得 ，解得 .
故存在以 为直径的圆经过 轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为 和 .
【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知抛物线 的
焦点为 ，点 是抛物线上一点，且 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l： ，点B是l与y轴的交点，过点A 作与l平行的直线 ，过点A的动直线
与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线 于点M，N，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）过点D作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义得， ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）证明：直线l： ，令 得 ，所以点 ，
因为直线 平行于直线l： ，且过点 ，
所以直线 ： ，
设直线 ： ，
联立 ，得 ，所以 ，设点 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以直线PB的方程为 ，直线QB的方程为 ，
联立 解得 ，
同理可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，即A是线段MN的中点．
所以 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，
为坐标原点，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】设 ，由 得 ，又 ，得 ，
所以 ， .故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 ，直线 与抛物线 相交于A，B两点，点
A为x轴上方一点，过点A作 垂直于C的准线于点D．若 ，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】如图所示：根据题意，得点 的横坐标为 ．由抛物线的性质，得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 是等边三角形．
而 ，则 ，
所以 ，解得 ．故选：B．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：因为 ，
设 ，则 ，
当 时， 取得最小值 ，
此时， 最大， 最小，
且 ，故选：C
4．（2023·全国·模拟预测）设 为抛物线 的焦点，点 为 上第四象限的点．若直线
的方程为 ，则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由题意可知， ，则 ，所以 ， ．
将 代入 ，得 ，解得 ， ，
则 ， ．
因为点 为 上第四象限的点，所以 ．
根据抛物线的定义可知， ．故选：C．
5．（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 两
点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】设AB的中点为H，抛物线的焦点为 ，准线为 ，
设A、B、H在准线上的射影分别为 ，
则 ，
由抛物线的定义可知， ，
所以 ，得 ,
即点H的横坐标为2，设直线AB： ，代入抛物线方程，
得 ，由 ，得 且 .
设 ，则 ，解得 或 （舍去）.
所以直线AB： ， ，
所以AB的中垂线方程为 ，令 ，解得 ，即 ，
则 ，
又 ，所以 ，
所以 .故选：C.
6．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为 的抛物线 上有一点 ，准线 交 轴于点 .若
，则直线 的斜率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线的性质，得 ，所以 ，则 .
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的斜率 .故选:B.
7．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线 于M，N两点，且MN的中点
为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k， ，则 ，两式相减得 ，整理得 ，
因为MN的中点为 ，则 ，
所以 ，即直线l的斜率为3．故选：C．
8．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为 .
点A，B是抛物线C上不同的两点，且 ，则（ ）
A． B．以线段 为直径的圆必与准线相切
C．线段 的长为定值 D．线段 的中点 E 到准线的距离为定值
【答案】AD
【解析】依题意，抛物线 的焦点 ，方程为 ，则 ，A正确；
令 ，显然 ，即 ，
取 ，则 ，即点 ，此时 ，
以线段 为直径的圆的圆心为 ，
该圆心到准线 的距离为4，不等于圆半径 ，
因此该圆与准线不相切，B错误；
以点 为端点的线段长 ，
当直线 垂直于x轴时， ，此时 ，C错误；
线段 的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为 ，D正确.故选：AD
9．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）（多选）直线 与抛物线 相交于 两点，下
列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为 B．拋物线 的焦点为
C．若 为原点，则 D．若 ，则
【答案】BC
【解析】由 ，则其焦点为 ，准线方程为 A错，B对；
联立直线与拋物线得 ，
设 ，则 ，
而 ，
由 ，即 ，故C对，
显然直线 不过焦点 ，
由拋物线定义有 ，所以 D错.故选：BC
10．（2023上·山东·高三校联考开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点 到准线的距离
为2，过 轴上异于坐标原点的任意一点 作抛物线 的一条切线，切点为 ，且直线 的斜率存在，
为坐标原点.则（ ）
A． B．当线段 的中点在抛物线 上时，点 的坐标为
C． D．
【答案】ACD
【解析】如下图所示：
对于A选项：由题意焦点 的坐标以及准线方程分别为 ，
所以焦点 到准线的距离为 ，因此A选项符合题意；
对于B选项：由题意设点 的坐标为 ，
又由A选项分析可知 ，抛物线方程为 ，
所以线段 的中点坐标为 ，将其代入抛物线方程得 ，解得 ，
此时点 的坐标为 ，因此B选项不符合题意；
对于C选项：由题意设点 的坐标为 ，切线 的方程为 ，
将其代入抛物线方程 得 ，整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以解得 ，所以切线 的斜率为 ，
又因为点 的坐标为 ， ，所以直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，因此C选项符合题意；
对于D选项：由C选项分析可知 ，
又 ，所以有 ，解得 ，
将其代入切线 的方程 ，解得 ，所以切点 的坐标为 ，又因为 ， ， ，
所以 ， ，
，
所以 ，即 ，
因此D选项符合题意.故选：ACD.
11．（2023·天津北辰·高三统考期中）一条倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点，且该直线与圆
相交于A， 两点，则 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，抛物线 的焦点为 ，
则直线方程为 ，即 ，
圆 化为 ，则圆心为 ，半径 ，
设圆心到直线的距离为 ，则 ，
则 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知点F(0，2)，过点 且与y轴垂直的直线为 ， 轴，交
于点N，直线 垂直平分FN，交 于点M．则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，由题意得 ，
即动点M到点 的距离和到直线 的距离相等，
所以点M的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为 ．
13．（2023上·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为 ，若倾斜
角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且 ，则直线l的倾斜角为
．
【答案】【解析】如图，直线 为抛物线的准线，
过点 分别作 垂直于 ，作 ，
因为 ， ，且 ，所以 ,
则 ， ，
所以 ，则 ，即直线 的倾斜角为 .
14．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点 在抛物线 上，
为抛物线 上两个动点， 不垂直 轴， 为焦点，且满足 .
（1）求 的值，并证明：线段 的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中定点为 ，当 的面积最大时，求直线 的斜率 .
【答案】（1） ，证明见解析；（2）
【解析】（1）将点 代入抛物线方程，可得 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ，
设直线 的方程为： ，
联立方程 ，消去y得 ，
由韦达定理得： ，
根据抛物线定义： ，可得 ，
此时 ，解得 或 ，
设 的中点坐标为 ，则 ，
可得 的垂直平分线方程为： ，
将 代入整理得： ，
故 的垂直平分线过定点 .
（2）由（1）可得 ，
且点 到直线 的距离 ，则 的面积为 ，
可得 ，
设 ，设 ，则
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减
所以当 时， 的面积取最大值，此时 ，即 .
15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线
交于 两点，点 在第一象限， 为坐标原点．
（1）设 为抛物线 上的动点，求 的取值范围；
（2）记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）依题意，抛物线 的焦点 ，准线方程 ，设 ，
则 ，
因此 ，
而 ，即有 ，则当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的取值范围是 .
（2）显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
由 消去 并整理得 ，显然 ，
设 ， ，则 ，即 ，令 为点 ，于是 的面积为 ，
的面积为 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
