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热点 7-3 双曲线及其应用
双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考
到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及
性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。
【题型1 双曲线的定义及概念辨析】
满分技巧
（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件：
（ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；
若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；
（2）若常数 满足约束条件： ，
则动点轨迹是以F、F 为端点的两条射线（包括端点）；
1 2
（3）若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；
（4）若常数 ，则动点轨迹为线段FF 的垂直平分线。
1 2
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点 满足 ，则动点 的
轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C： （ ， ）的一
条渐近线过点 ， ， 是C的左右焦点，且 ，若双曲线上一点M满足 ，则（ ）
A． 或 B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线 的上、下焦点分别为 ， ， 的
一条渐近线过点 ，点 在 上，且 ，则 .
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，圆 ，圆 与圆 、圆
外切，则圆心 的轨迹方程为 ．
【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数 ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是抛物线
【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧
利用定义||PF|-|PF||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值
1 2
【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线 上一点 到准线的距离为 是双曲线
的左焦点， 是双曲线右支上的一动点，则 的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点 ，双曲线 的左焦点为 ，点 在
双曲线 的右支上运动.当 的周长最小时， （ ）
A． B． C． D．【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知 是离心率为 的双曲线 的右支上
一点，则 到直线 的距离与 到点 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线 ，点F是C的右焦点，若点P
为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线 ，其一条渐近线方程为
，右顶点为A，左，右焦点分别为 ， ，点P在其右支上，点 ，三角形 的面积为
，则当 取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 双曲线标准方程的求解】
满分技巧
1、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程 ，当 时表示双曲线；
当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线.
（2）对于方程 ，当 时表示双曲线；
当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，
再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
2、待定系数法求双曲线方程的五种类型
（1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；
（3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)；
（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)；
（5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)
【例3】（2023·全国·高三对口高考）与 有相同渐近线，焦距 ，则双曲线标准方程为（
）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线 的左、右
焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则
双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线 的右焦点 与
抛物线 的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C： 的渐近线方程为
，左、右焦点分别为 ， ，过点 且斜率为 的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若
的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·四川乐山·统考三模）设 为坐标原点， ， 是双曲线 ： 的左、
右焦点．过 作圆 ： 的一条切线 ，切点为 ，线段 交 于点 ，若 ，
的面积为 ，则 的方程为（ ）A． B． C． D．
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
满分技巧
求双曲线中的焦点三角形 面积的方法
（1）** 错误的表达式 **根据双曲线的定义求出 ；
** 错误的表达式 **利用余弦定理表示出 、 、 之间满足的关系式；
** 错误的表达式 **通过配方，利用整体的思想求出 的值；
** 错误的表达式 **利用公式 求得面积。
（2）利用公式 求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角 ，则面积 ，结论适用于选择或填空题。
【例4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线左支于
两点，且 ，若双曲线的实轴长为8，那么 的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【变式4-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）设双曲线 的左､右焦点分别为 ，点
在 的右支上，且 ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-2】（2023·四川成都·高三校考期中）设 、 分别是双曲线 ： 的左、右两个焦点，
为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【变式4-3】（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知双曲线 的一条渐近线方程是分别为双曲线 的左、右焦点，过点 且垂直于 轴的垂线在 轴上方交双曲线 于点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
，过点 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，若 ，则 的内切圆周长为
.
【题型5 求双曲线的离心率与范围】
满分技巧
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等
式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，
能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－.
【例5】（2023·天津北辰·高三统考期中）双曲线 的左、右焦点分别为 ，以
为圆心， 为半径的圆与 的左支的一个公共点为 ，若原点 到直线 的距离等于实半轴的长，则
双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是其
右支上一点．若 ， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别
为 为坐标原点，圆 交双曲线 的左支于点 ，直线 交双曲线 的右
支于点 ，若 为 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，
P为双曲线C的右支上一点，且 ， ，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线 的
上下焦点分别为 ，点 在 的下支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
恒成立，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 双曲线的中点弦问题】
满分技巧
解决中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：直线 l (不平行于 y 轴)过双曲线 上两点 A 、 B ，其中 AB 中
P(x，y )
点为 0 0 ，则有 .
A(x，y ) B(x，y )
证明：设 1 1 、 2 2 ，则有 ，上式减下式得 ，∴ ，∴ ，∴ .
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，
过点 的直线交双曲线E于A、B两点.若 的中点坐标为 ，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
中点的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左､右两
支分别交于 两点，设 为坐标原点， 为 的中点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·上海·高三七宝中学校考二模）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线
： 上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为
.
【变式6-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，虚轴的上端
点为 是 上的两点， 是 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，若 ，则
的两条浙近线的斜率之积为 .
【题型7 直线与双曲线相交弦长】
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，
1 1 2
1
AB = 1+k2 x x 2 4x x 1+ y y 2 4y y
1 2 1 2 k2 1 2 1 2
y)，则弦长公式为：
2
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过
的直线与 的左、右两支分别交于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为
60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
【变式7-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双
曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
【变式7-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .
过 的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积
为4.
（1）求C的方程；
（2）证明： ，求 .
【变式7-4】（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直线 ，
的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐标为 ，求
的面积.
【题型8 直线与双曲线综合问题】【例8】（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）如图，双曲线C： － ＝1 的
中心O为坐标原点，离心率 ，点 在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且 ，求 ＋ 的值．
【变式8-1】（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知双曲线C： 的右焦点为
，过F且斜率为 的直线 交C于A，B两点，且当 时，A的横坐标为3.
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线 交于点D，P为线段 的中点，直线 交
于点Q，证明： .
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
是 的左顶点， 的离心率为2.设过 的直线 交 的右支于 、 两点，其中 在第一象限.
（1）求 的标准方程；
（2）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；否则，说明理由.
【变式8-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点 到 的距离与它到直线 的距离之比为 ， 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 作直线 与曲线 交于不同的两点 、 （ 、 在 轴右侧），在线段 上取异
于点 、 的点 ，且满足 ，证明：点 恒在一条直线上.
【变式8-4】（2023·云南大理·统考一模）已知双曲线 ： ，其渐近线方程为
，点 在 上.
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点 的两条直线AP，AQ分别与双曲线 交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜
率之和为1，求证：直线PQ过定点.
（建议用时：60分钟）
圆锥曲线练习
1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为2，则 （ ）
A．－4 B．4 C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 上的点到焦
点的最近距离为2，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过原点 的直线与 的右
支交于点 ，若 为等腰三角形，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
4．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，O为
坐标原点，点P是双曲线C上的一点， ，且 的面积为4，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．45．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，圆
与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知直线 过双曲线 的右焦点 ，且
与双曲线右支交于 ， 两点．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ， ，离心率分别为 ， ，点
为椭圆 与双曲线 在第一象限的公共点，且 .若 ，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐
标分别为 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则点P的轨迹为直 B．若 ，则点P的轨迹为圆
C．若 ，则点P的轨迹为椭圆 D．若 ，则点P的轨迹为双曲线
9．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选）已知双曲线 的左、右焦点别为 ， ，
过点 的直线l与双曲线 的右支相交于 两点，则（ ）
A．若 的两条渐近线相互垂直，则 B．若 的离心率为 ，则 的实轴长为
C．若 ，则 D．当 变化时， 周长的最小值为
10．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）（多选）双曲线 的一条渐近线方
程为 ，半焦距为 ，则下列论述错误的是（ ）
A．双曲线 的离心率为3
B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C．直线 与双曲线 有两个不同的交点
D．过点 有两条直线与双曲线 相切
11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双
曲线，则 的取值范围是 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）以 为中点的双曲线 的弦所在直线的方程为 .13．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，
过 且与 轴垂直的弦长为12．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过 作直线 与双曲线交于 两点，问在 轴上是否存在点 ，使 为定值，若存在，请求出
点坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线 （ ）的焦点F到双曲线 的渐近
线的距离是 ．
（1）求p的值；
（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段 的中垂线与E的准线l交于点P，且线段 的中点
为M，设 ，求实数 的取值范围．
15．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知双曲线 ： 的离心率为2，其左、
右焦点分别为 ， ，点 为 的渐近线上一点， 的最小值为 .
（1）求 的方程；
（2）过 的左顶点 且斜率为 的直线 交 的右支于点 ，与直线 交于点 ，过 且平行于
的直线交直线 于点 ，证明：点 在定圆上.
