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热点 7-3 双曲线及其应用
双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考
到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及
性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。
【题型1 双曲线的定义及概念辨析】
满分技巧
（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件：
（ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；
若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；
（2）若常数 满足约束条件： ，
则动点轨迹是以F、F 为端点的两条射线（包括端点）；
1 2
（3）若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；
（4）若常数 ，则动点轨迹为线段FF 的垂直平分线。
1 2
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点 满足 ，则动点 的
轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】A
【解析】设 ，由题意知动点M满足 |，
故动点M的轨迹是射线.故选：A.【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C： （ ， ）的一
条渐近线过点 ， ， 是C的左右焦点，且 ，若双曲线上一点M满足 ，则
（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 或 （舍），
又因为双曲线的渐近线过点 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
若 在左支上， ，符合要求，所以 ，
若 在右支上， ，不符合要求，
所以 ，故选：B.
【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线 的上、下焦点分别为 ， ， 的
一条渐近线过点 ，点 在 上，且 ，则 .
【答案】11
【解析】由 得双曲线的标准方程为： ，
所以 ，所以双曲线的渐近线方程为： ，
又 的一条渐近线过点 ，所以 ，
因为点 在 上， ， 为双曲线的上、下焦点，
所以 ，
由 ，所以 ，
所以 或 （舍去）.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，圆 ，圆 与圆 、圆
外切，则圆心 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设圆 的半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为圆 与圆 、圆 外切，
则 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
又 ，则 ，
所以其轨迹方程为 ．
【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数 ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D．方程 表示的 在复平面内对应点的轨迹是抛物线
【答案】AC
【解析】由复数模的几何意义知， 表示复平面内点 与点 之间的距离为定值2，
则 在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
由复数模的几何意义知， 表示复平面内点 到点 和 的距离之和为
，
又 ，不满足椭圆的定义 ，故B不正确；
由复数模的几何意义知， 表示复平面内点 到点 和 的距离之差为
1，
又 ，满足双曲线的定义 ，故C正确；
对于D， 可化为 ，
表示复平面内点 到点 和 的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧
利用定义||PF|-|PF||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值
1 2
【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线 上一点 到准线的距离为 是双曲线
的左焦点， 是双曲线右支上的一动点，则 的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】拋物线 的准线为 ，
则点 到准线的距离为 ，
所以 ，则 ，故 ，
设 是双曲线 的右焦点，
则 ，则 ，
故 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .故选：D.
【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点 ，双曲线 的左焦点为 ，点 在
双曲线 的右支上运动.当 的周长最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 得到 , , ，左焦点 ，
设右焦点 .当 的周长最小时， 取到最小值，
所以只需求出 的最小值即可.
= = = .故选：C.
【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知 是离心率为 的双曲线 的右支上一点，则 到直线 的距离与 到点 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知双曲线 ，可知 ，则 ，
所以 ， 分别为 的左、右焦点，
则 ，即 ，
设 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ，且 ，
则 .故选：A.
【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线 ，点F是C的右焦点，若点P
为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】由双曲线 ,可得 ， ,
设双曲线左焦点为 ，不妨设一条渐近线为 ，即 ，
作 ，垂足为E，即 ，
作 ,垂足为H，则 ，
因为点P为C左支上的动点，
所以 ，可得 ，
故 ，
由图可知，当 三点共线时，即E和H点重合时， 取得最小值，
最小值为 ，
即 的最小值为 ，故选：A．
【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线 ，其一条渐近线方程为
，右顶点为A，左，右焦点分别为 ， ，点P在其右支上，点 ，三角形 的面积为，则当 取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则由三角形 的面积为 可得 ，即 ，
又双曲线一条渐近线方程为 ，故 ，即 ，
故 ，故 ，解得 ，
故 ，双曲线 .
又由双曲线的定义可得 ，
当且仅当 共线且 在 中间时取得等号.
此时直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ，解得 ，
由题意可得 在 中间可得 ，
代入 可得 ，故 .故选：B
【题型3 双曲线标准方程的求解】
满分技巧
1、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程 ，当 时表示双曲线；
当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线.
（2）对于方程 ，当 时表示双曲线；
当 时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时表示焦点在 轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，
再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
2、待定系数法求双曲线方程的五种类型
（1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；
（3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)；
（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)；
（5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)
【例3】（2023·全国·高三对口高考）与 有相同渐近线，焦距 ，则双曲线标准方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】（1）若焦点在 轴上，设所求双曲线方程为 ，
因为 与双曲线 有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为 ，
又因为焦距 ，所以 ，所以 ，
联立 ，解得 ，则双曲线方程为 ；
（2）若焦点在 轴上，设所求双曲线方程为 ，
因为 与双曲线 有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为 ，
又因为焦距 ，所以 ，所以 ，
联立 ，解得 ，
则双曲线方程为 ，
所以双曲线的标准方程为： 或 .综上，双曲线标准方程为 .故选：D
【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线 的左、右
焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则
双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，所以 .
设 ,则 ，
所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ，故选：D
【变式3-2】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线 的右焦点 与
抛物线 的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线 的焦点为 ，因为双曲线 与抛物线 的焦点重合，
可得双曲线的右焦点为 ，即 ，可得 ，
又由双曲线 的一条渐近线方程为 ，抛物线的准线方程为 ，
因为抛物线准线与一条渐近线交于点 ，可得 ，
即交点为 ，代入渐近线方程，可得 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，
所以双曲线的方程为 .故选：D.
【变式3-3】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C： 的渐近线方程为
，左、右焦点分别为 ， ，过点 且斜率为 的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若
的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，
则双曲线方程为 ， ， ，
所以直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 的周长为36，所以 ，
所以 ，得 ，
所以双曲线方程为 ，故选：D【变式3-4】（2023·四川乐山·统考三模）设 为坐标原点， ， 是双曲线 ： 的左、
右焦点．过 作圆 ： 的一条切线 ，切点为 ，线段 交 于点 ，若 ，
的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圆 的方程 知， ，
又∵ ，
∴在直角 中， ，且 .
在 中， ，
的面积 ，∴ .
在 中， ，
由正弦定理， ，
∴ ，
∴由双曲线定义， ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 .
∵ 为直角，∴易知 为钝角，
∴由 知， ，
在 中，由余弦定理， ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，∴ .
又∵ ，将 代入，解得 .∴双曲线 的方程为： .故选：D.
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
满分技巧
求双曲线中的焦点三角形 面积的方法
（1）** 错误的表达式 **根据双曲线的定义求出 ；
** 错误的表达式 **利用余弦定理表示出 、 、 之间满足的关系式；
** 错误的表达式 **通过配方，利用整体的思想求出 的值；
** 错误的表达式 **利用公式 求得面积。
（2）利用公式 求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角 ，则面积 ，结论适用于选择或填空题。
【例4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线左支于
两点，且 ，若双曲线的实轴长为8，那么 的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【解析】由题意可知： ，即 ，
所以 的周长 .故选：D.
【变式4-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）设双曲线 的左､右焦点分别为 ，点
在 的右支上，且 ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C． D．【答案】C
【解析】由题意得 ，
由双曲线定义可得， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
又 ，解得 ，
故 .故选：C
【变式4-2】（2023·四川成都·高三校考期中）设 、 分别是双曲线 ： 的左、右两个焦点，
为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【答案】A
【解析】由 ，
所以 是以原点为圆心， 为半径的圆与双曲线 的交点，
又 ，即它们也在 点所在的圆上，且 为直径，
所以 为直角三角形， ，
如上图， ，且 ，
所以 ，
则 ，故 的面积为 .故选：A.
【变式4-3】（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知双曲线 的一条渐近线方程是
分别为双曲线 的左、右焦点，过点 且垂直于 轴的垂线在 轴上方交双曲线 于点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意得：因为该双曲线的一条渐近线方程是 ，则 ，
又由 ，可得 ，
由过点 且垂直于 轴的垂线在 轴上方交双曲线 于点 ，可知M的横坐标为 ，
代入椭圆方程即可得： ， ，
又有 ，可知 ，
所以 .故选：D
【变式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
，过点 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，若 ，则 的内切圆周长为
.
【答案】
【解析】如图所示：
设内切圆半径为 ，切点分别为 ，
由题意 ，则 ，所以 ，
由双曲线定义有 ；
又因为 ，即 ，所以 ，
因此 ，
从而直角三角形 的内切圆半径是
，
所以 的内切圆周长为 .
【题型5 求双曲线的离心率与范围】满分技巧
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等
式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，
能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－.
【例5】（2023·天津北辰·高三统考期中）双曲线 的左、右焦点分别为 ，以
为圆心， 为半径的圆与 的左支的一个公共点为 ，若原点 到直线 的距离等于实半轴的长，则
双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：∵原点 到直线 的距离等于实半轴的长，
∴ 直线 的距离为 ，
又∵以 为圆心， 为半径的圆与 的左支的一个公共点为 ，
∴ ，
由双曲线定义的 ，
∴ 直线 的距离为 ，
故 ，即 ，
∴ ，解得 （舍去）或 .故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是其
右支上一点．若 ， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由双曲线的几何性质，可知点 是线段 的中点，则 ，
即 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，故 ，
由 ，解得： ，
所以 ，故B项正确.故选：B.
【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别
为 为坐标原点，圆 交双曲线 的左支于点 ，直线 交双曲线 的右
支于点 ，若 为 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，因为 为 的中点，
所以 ，则由双曲线的定义可知 ，
因为圆 交双曲线 的左支于点 ，所以 ，
所以 ，即 ，
则化简可得 ，即 ，
则 ，所以 ，
所以 ，即 ，
则化简可得 ，即 ，故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，
P为双曲线C的右支上一点，且 ， ，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ．
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故选：B．
【变式5-4】（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线 的
上下焦点分别为 ，点 在 的下支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
恒成立，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点 作渐近线的垂线，垂足为 ，
设 ，则点 到渐近线 的距离 .
由双曲线的定义可得 ，故 ，所以 ，
即 的最小值为 ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以， ，即 ，即 ，
所以， ，即 ，解得 .故选：A.
【题型6 双曲线的中点弦问题】
满分技巧
解决中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：直线 l (不平行于 y 轴)过双曲线 上两点 A 、 B ，其中 AB 中
P(x，y )
点为 0 0 ，则有 .
A(x，y ) B(x，y )
证明：设 1 1 、 2 2 ，则有 ，上式减下式得 ，
∴ ，∴ ，∴ .
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，
过点 的直线交双曲线E于A、B两点.若 的中点坐标为 ，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，化简得 ，又 ，解得 ，
所以双曲线的方程为： .故选：D.
【变式6-1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 的中点 ，设直线 的斜率为 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C： ，则 ，联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于选项D：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.
【变式6-2】（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左､右两
支分别交于 两点，设 为坐标原点， 为 的中点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ,
由 均在 上， 为 的中点，
得 ，则 ，
∴ ，∴ ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，不妨设 为锐角，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，
∴直线 的倾斜角为 ，则 .
∴ ，∴ ，解得 ，
∴由对称性知直线 的斜率为 .故选：D
【变式6-3】（2023·上海·高三七宝中学校考二模）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线
： 上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为
.
【答案】【解析】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 ，则 .
【变式6-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，虚轴的上端
点为 是 上的两点， 是 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，若 ，则
的两条浙近线的斜率之积为 .
【答案】
【解析】设 ，
因为 是 上的两点， 是 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，
所以 ①， ②， ③， ④，
所以，② ③得 ，整理得
所以 ，
因为双曲线 的右焦点为 ，虚轴的上端点为 ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，整理得： ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，即 ，所以 ，整理得 ，
因为 的两条浙近线分别为 ，
所以， 的两条浙近线的斜率之积为
【题型7 直线与双曲线相交弦长】
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来
求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，
1 1 2
1
AB = 1+k2 x x 2 4x x 1+ y y 2 4y y
1 2 1 2 k2 1 2 1 2
y)，则弦长公式为：
2
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过
的直线与 的左、右两支分别交于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
由双曲线的定义得 ，解得 ，则 ，
设 ， ， ，
联立 ，消去x得 ，
由韦达定理得： ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ， ，
解得 ，则 ，故选：D【变式7-1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为
60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】双曲线双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
而直线 的倾斜角为60°，则直线 的斜率为 ，可设直线 的方程为 ，
与双曲线方程 联立，化简可得 ，
由 ，得 或 ．
设 ， ，则 ， ，
则 ，所以 ，
，
解得： （舍去）或 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，可得 .
故点P的坐标为 .
【变式7-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双
曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】记 ，若直线 与 轴重合，此时， ；
若直线 轴时，将 代入双曲线方程可得 ，此时 ，
当 时，则 ，此时， ；当 ，可得 ，则 ，
所以，双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ；
当直线 与 轴不重合时，记 ，则点 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，联立 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
即 ，
所以，关于 的方程 由四个不等的实数解.
当 时，即当 时，可得 ，
可得 ，整理可得 ，因为 ，解得 ；
当 时，即当 ，可得 ，
可得 ，整理可得 ，可得 .
综上所述， .
【变式7-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .
过 的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积
为4.
（1）求C的方程；
（2）证明： ，求 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析，
【解析】（1）根据题意有 ，C的渐近线方程为 ，将 代入两个渐近线方程得到交点坐标为 ， ，
l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）设 ， ，其中 ， ，
由（1）可知 ， ，
当 轴时，显然MN与 不垂直.
当l不垂直于x轴时，设l的方程为 时，
代入C的方程有： ，
故 ， ，
， ，
当 时有： ①，
由 得到 ，代入 ，
整理有 ②，
由①，②可得 .
所以 .
【变式7-4】（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直线 ，
的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐标为 ，求
的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，化简得：
所以 的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；设 ， ，直线 方程为 ，
与 联立得： ，
由 且 ，解得 且 ，
由韦达定理得 ，
因为线段 中点 在第一象限，且纵坐标为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以直线 为 ，
所以 ，
所以 ，
点到直线 的距离 ，
所以 .
【题型8 直线与双曲线综合问题】
【例8】（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）如图，双曲线C： － ＝1 的
中心O为坐标原点，离心率 ，点 在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且 ，求 ＋ 的值．
【答案】（1） － ＝1；（2）
【解析】（1）因为 ，所以 ，从而 ，
所以双曲线C的标准方程为 － ＝1，即 ，
因为点 在双曲线C上，所以 ，解得 ，
所以双曲线C的标准方程为 － ＝1
（2）设 ，
设直线OP的方程为 ，则直线OQ的方程为 ，
联立 与 － ＝1，得 ，
所以 ，同理有 ，
所以 .
【变式8-1】（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知双曲线C： 的右焦点为
，过F且斜率为 的直线 交C于A，B两点，且当 时，A的横坐标为3.
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线 交于点D，P为线段 的中点，直线 交
于点Q，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）当 时， ： ，把 代入得 ，即 ，
将A代入C的方程有， ①，
且由双曲线的几何性质可知 ②，
由①，②得， ， ，故C的方程为 .
（2）设 ， ，且 ： ，
由 ，得 ，
则 ， ，①
所以 ，②
.③
直线 的方程为 ，故 ， .
的方程为 ，
与 方程联立有： ，
将①代入得 ，即 .
方法1：所以 ， ，
要证 ，只需证 ，即证 ，④
由②③知④成立，所以 .
方法2：由题设可知A，B，F，Q四点共线，
且 ，
故 ，即 .
由 可知， ，
故 ， .【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
是 的左顶点， 的离心率为2.设过 的直线 交 的右支于 、 两点，其中 在第一象限.
（1）求 的标准方程；
（2）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；否则，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】（1）由题可得 ，故可得 ，则 ，
故 的标准方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，
对曲线 ，令 ，解得 ，
故点 的坐标为 ，此时 ，
在三角形 中， ，故可得 ，
则存在常数 ，使得 成立；
当直线 斜率存在时，不妨设点 的坐标为 ， ，
直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ， ，
假设存在常数 ，使得 成立，即 ，
则一定有： ，也即 ；
又 ； ；
又点 的坐标满足 ，则 ，
故 ；故假设成立，存在实数常数 ，使得 成立；
综上所述，存在常数 ，使得 恒成立.
【变式8-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点 到 的距
离与它到直线 的距离之比为 ， 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 作直线 与曲线 交于不同的两点 、 （ 、 在 轴右侧），在线段 上取异
于点 、 的点 ，且满足 ，证明：点 恒在一条直线上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得 ，整理可得 .
所以，曲线 的方程为 .
（2）证明：如下图所示：
因为 ，设 ，则 ，
设点 、 、 ，
由 可得 ，
即 ，所以， ，
由 可得 ，
即 ，所以， ，
所以， ， ，
所以， ，即 ，所以，点 在定直线 上.
【变式8-4】（2023·云南大理·统考一模）已知双曲线 ： ，其渐近线方程为
，点 在 上.
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点 的两条直线AP，AQ分别与双曲线 交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜
率之和为1，求证：直线PQ过定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）∵ ， ，
依题意， 解得： ， ，
所以双曲线C的方程为
（2）依题意可知 斜率存在，
设方程为 ， ， ，
则 ，即 ①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为 ， ，由题意知： ，故有：
，
整理得
当 ， ，过 舍去，
当 ， ，过点 ，
此时，将 代入①得 ，得 ，满足题意.∴直线PQ过定点
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圆锥曲线练习
1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为2，则 （ ）
A．－4 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】根据 ,得到 ,
则焦点在 轴，故渐近线为 ，则 ，故 .故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 上的点到焦
点的最近距离为2，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由离心率 ，得 ，
由双曲线 上的点到焦点的最近距离为2，得 ，
根据这两个方程解得 ，则 ，得 ，
所以双曲线 的方程为 .故选：B.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过原点 的直线与 的右
支交于点 ，若 为等腰三角形，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】设双曲线 的右焦点为 ，连接 ，
由题意可得 ，则有 ， ，
若 为等腰三角形，则 （线段 与 显然不相
等），所以 ，
又 为 的中点，所以 ，
则有 ．
由双曲线的定义得 ，
所以 ，
设点 到 轴的距离为 ，则 ．故选：A．
4．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，O为
坐标原点，点P是双曲线C上的一点， ，且 的面积为4，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】因为 的面积为4，所以 的面积为8.
又 ，所以 ，
所以 为直角三角形，且 .
设 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .故选：C.
5．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，圆
与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的半焦距为 ，
则 ，解得 ，
且双曲线 的焦点在x轴上，所以双曲线 的渐近线为 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，可知圆 关于x轴对称，不妨取渐近线为 ，即 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，可得 ，
又因为圆 与双曲线C的一条渐近线相交弦长为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .故选：D.
6．（2023·全国·模拟预测）已知直线 过双曲线 的右焦点 ，且
与双曲线右支交于 ， 两点．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ， ．
由 ，得 ．
直线l的方程为 ，即 ，
代入双曲线 的方程中，得 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，整理得 ．
又 ，∴ ．故选:B．
7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ， ，离心率分别为 ， ，点
为椭圆 与双曲线 在第一象限的公共点，且 .若 ，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设焦距为 ，椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ，
在双曲线的右支上，由双曲线的定义 ，由椭圆定义 ，
可得 ， ，又 ，由余弦定理得 ，
可得 ，
得 ，即 ，
可得 ，即 ，
又 时，可得 ，即 ，
亦即 ，得 .故选：B
8．（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐
标分别为 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则点P的轨迹为直 B．若 ，则点P的轨迹为圆
C．若 ，则点P的轨迹为椭圆 D．若 ，则点P的轨迹为双曲线
【答案】AD
【解析】选项A：设点 ， ，
化简可得： ，所以点P的轨迹为直线，故A正确；
选项B：当 或 不存在时，动点 为 ，
当 、 存在时，设点 ， ，
设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
当 时，由 可得： ，即 ，
所以 ，即 ，
化简可得： ，
同理当 时，由 可得： ，即 ，
所以 ，即 ，
化简可得： ，
因此点P轨迹为圆 上的一段弧( )或 上的一段弧( )，故B错误；
选项C：由 ，可知点P轨迹为线段AB，故C错误；选项D：由 ，根据双曲线的定义可知，
点P轨迹为双曲线，且 ，即 ，
所以点P轨迹方程为 ，故D正确．故选：AD.
9．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选）已知双曲线 的左、右焦点别为 ， ，
过点 的直线l与双曲线 的右支相交于 两点，则（ ）
A．若 的两条渐近线相互垂直，则 B．若 的离心率为 ，则 的实轴长为
C．若 ，则 D．当 变化时， 周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】依题意， ，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以 ，故A正确；
B选项，若 的离心率为 ，解得 ，
所以实轴长 ，故B错误；
C选项，若 ，则 ，
整理得 ，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知， ，
两式相加得 ，
所以 周长为 ，
当 时， 取得最小值 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 周长的最小值为 ，故D正确.故选：ACD
10．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）（多选）双曲线 的一条渐近线方
程为 ，半焦距为 ，则下列论述错误的是（ ）
A．双曲线 的离心率为3
B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C．直线 与双曲线 有两个不同的交点
D．过点 有两条直线与双曲线 相切【答案】ABD
【解析】由题易得 ，所以 错误；
顶点到渐近线的距离为 与焦点到渐近线的距离 ，距离之比为 ，B错误；
因为直线 与渐近线 平行，所以直线 与双曲线 的左支仅有1个交点，
与右支没有交点.又直线 与直线 都过点 ，
且直线 的倾斜角比直线 的倾斜角小，
直线 与双曲线 有两个不同的交点， 正确；
因为 ，所以点 位于双曲线 右支的右侧位置，
显然过点 的直线不可能与双曲线 相切，D错误.故选:ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双
曲线，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为方程 表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，
则 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
12．（2023·全国·高三专题练习）以 为中点的双曲线 的弦所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】设 是双曲线 的弦 的中点，且 ，
则 ，
因为 在双曲线上，所以 ，
两式相减，得 ，
故 ，所以 ，
故以 中点的双曲线的弦所在的直线方程为 ，即 ，
联立 ，消去 ，得 ，
因为 ，
所以以 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为 .
13．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过 且与 轴垂直的弦长为12．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过 作直线 与双曲线交于 两点，问在 轴上是否存在点 ，使 为定值，若存在，请求出
点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】（1）由题意知： ， ， ，
故 ，故 ，解得 或 ，
， ，则 ，
故双曲线 的标准方程为 .
（2）假设存在点 满足条件，设其坐标为 ，设 ， ，
当 斜率存在时，设 方程为 ，
，
即 ，且 ，
， ，
， ，
，
当 为定值时， ，则 ，
此时 ，
当 斜率不存在时， ， ， ， ， ，
成立，
存在满足条件的点 ，其坐标为 ，此时 为0.14．（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线 （ ）的焦点F到双曲线 的渐近
线的距离是 ．
（1）求p的值；
（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段 的中垂线与E的准线l交于点P，且线段 的中点
为M，设 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）E的焦点为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，不妨取 ，即 ．
由点到直线的距离公式得 ，得 ．
（2）由（1）知 ， ， ： ．
设直线 的方程为 ，
联立 消去x并整理，得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
∴ ．
易得M点的坐标为 ，
∴ 的中垂线方程为 ，
令 得 ，∴ ，
从而 ，∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
15．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知双曲线 ： 的离心率为2，其左、
右焦点分别为 ， ，点 为 的渐近线上一点， 的最小值为 .
（1）求 的方程；
（2）过 的左顶点 且斜率为 的直线 交 的右支于点 ，与直线 交于点 ，过 且平行
于 的直线交直线 于点 ，证明：点 在定圆上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）设双曲线的右焦点 ，一条渐近线的方程为 ，
因为 的最小值为 ，
所以右焦点 到渐近线 的距离为 ，所以 ，
又因为离心率 ，所以 ，
所以 的方程为： .
（2）由题得， 的左顶点 ，右焦点 ，
所以直线 为线段 的垂直平分线，
所以 的斜率分别为 ，
所以直线 的直线方程为 与 联立有，
，
设 ，则有 ，即
所以 ，
当 轴时， ，则有
为等腰直角三角形，
所以 ,故直线 的方程为： ，故 ，当 不垂直于 轴时， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以
所以 为定值，
所以点 在定圆 上.
