文档内容
复数
目录
题型一： 复数的有关概念...............................................................................................................4
题型二： 求复数的值.......................................................................................................................5
题型三： 与复数的模有关的计算问题..........................................................................................6
题型四： 复数的几何意义...............................................................................................................7
题型五： 范围问题...........................................................................................................................8
知识点总结
1．复数的概念
概念 定义
把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常
复数
用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数
a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c ， b ＝ d ，其中a，b，c，d∈R
相等
复数
复数z＝a＋bi
分类
共轭
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭
复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数 z的共轭复
数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
复数
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做
复平面 虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示
纯虚数复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为OZ，则向量OZ的模
叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 | z |或 | a ＋ b i |.即|z|＝|a＋bi|＝，其中
a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应
的模
的点Z(a，b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示
同一个复数．
3．复数的四则运算
(1)运算法则：设z＝ a ＋ b i ， z ＝ c ＋ d i(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①z±z＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i .
1 2
②zz＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .
1 2
③＝ ＋ i(z≠0)．
2
(2)复数加、减法的几何意义
复数z ＋z 是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的
加法 1 2
对角线OZ所表示的向量OZ所对应的复数
复数z －z 是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终
减法 1 2
点的向量Z2Z1所对应的复数
(3)复数加法的运算律：对任意z，z，z∈C，有
1 2 3交换律 z＋z＝z ＋ z
1 2 2 1
结合律 (z＋z)＋z＝z ＋ ( z ＋ z)
1 2 3 1 2 3
(4)复数乘法的运算律：对于任意z，z，z∈C，有
1 2 3
交换律 zz＝zz
1 2 2 1
结合律 (zz)z＝z ( z z)
1 2 3 1 2 3
分配律 z(z＋z)＝zz ＋ zz
1 2 3 1 2 1 3
常用结论与知识拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中
n∈N*.
3．z＝|z|2＝||2，|zz|＝|z||z|，＝，|zn|＝|z|n.
1 2 1 2
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
例题精讲
题型一：复数的有关概念
【要点讲解】 解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实
部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b =0 (a,b∈R);②z∈R z=z;③z∈R z 2 ≥0 .
(3)复数是纯虚数的条件:① z=a+b⇔i 是纯虚数⇔ a =0 且 ⇔ b ≠0 (a,b∈R);②⇔z 是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z= a - b i ,则 z · z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=√z·z,若z∈R,则z=z.
【例1】已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练1】设 ，其中 ， 为实数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】已知 ， ， 为虚数单位），则
A． ， B． ， C． ， D． ，
为虚数单位，已知复数 是纯虚数，则 等于
A． B．1 C． D．0
【变式训练3】下面四个命题中的真命题为
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
题型二：求复数的值
【例2】复数 满足 为虚数单位），则 的共轭复数 为
A． B． C． D．【变式训练1】设复数 满足关系： ，那么 等于
A． B． C． D．
【变式训练2】 的共轭复数
A． B． C． D．
【变式训练3】已知 ，则复数
A． B． C． D．
【变式训练4】复数
A． B． C． D．
【变式训练5】已知复数 是虚数单位）
（1）复数 是实数，求实数 的值；
（2）复数 是虚数，求实数 的取值范围；
（3）复数 是纯虚数，求实数 的值．
题型三：与复数的模有关的计算问题
【要点讲解】记住以下结论,可提高运算速度.
1+i 1-i a+bi
①(1±i)2=±2i;② =i;③ =-i;④ = b - a i .
1-i 1+i i
2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法
(1)根据复数的模的公式|a+bi|= (a,b∈R)直接计算得解;
√a2+b2
(2)利用模的性质|z|2=|z|2= z · z求解.【例3】已知 ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】 是虚数单位，复数 ．
【变式训练2】复数 满足 ，则
A．最小值为1，无最大值 B．最大值为1，无最小值
C．恒等于1 D．无最大值，也无最小值
【变式训练3】已知复数 满足 ，则
A． B． C．10 D．18
【变式训练4】设复数 满足 为虚数单位），则 ．
题型四：复数的几何意义
【要点讲解】(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程求解.
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解.
(4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上.
【例4】若复数z满足2z+|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练1】设复数X，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式训练2】若复数z满足z＝（1+2i）2，则在复平面内复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练3】在复平面上，满足 的复数 的所对应的轨迹是
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
【变式训练4】已知复数 ，则下列命题中正确的为
A．
B．
C． 的虚部为
D． 在复平面上对应点在第一象限
【变式训练5】如图，已知复平面内平行四边形 中，点 对应的复数为 ， 对
应的复数为 ， 对应的复数为 ．
（Ⅰ）求 点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形 的面积．
题型五：范围问题
【例5】已知复数z满足|z﹣1+i|＝2 ， 为z的共轭复数，则z• 的最大值为 ．【变式训练1】如果复数 满足 ，那么 最小值是
A．1 B． C．2 D．
【变式训练2】已知复数 满足 ，则 的最小值是 ．
【变式训练3】复数 满足 ，则 的最小值是 ．
【变式训练4】若 ，且 ，则 的最小值为 ．
【变式训练5】已知复数 满足 ，则 的最小值是 ．
【变式训练6】已知复数 满足 ，则 （其中 是虚数单位）的最小值为
．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．已知复数 （i为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复数 ，则 的虚
部为（ ） ω
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 的虚部是
A． B． C． D．
3．设 为虚数单位，且 ，则A．1 B． C． D．2
4．已知 ，则 ＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
5．复数 的模为（ ）
A． B． C． D．
6．已知a R，复数z＝a+2i，z2﹣2z是实数，则|z|＝（ ）
A．5 ∈ B．10 C． D．
二．多选题（共2小题）
7．已知复数 ，则下列结论中正确的是
A． 对应的点位于第二象限 B． 的虚部为2
C． D．
8．已知复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，
的共轭复数在复平面内对应的点为 ，则
A．点 在第二象限 B．
C． D．点 的坐标为
三．填空题（共4小题）
9．若复数 为虚数单位）， 的共轭复数记为 ，则 ．
10．设 为虚数单位，若复数 ，则 的实部与虚部的和为 ．
11．若复数 是纯虚数，则实数 ．
12．设复数 ， 在复平面内对应的点为 ， ，若 ， ，则 的最大值为 ．
四．解答题（共3小题）
13．在复平面内，复数 ，其中 ．
（1）若复数 为纯虚数，求 的值；
（2）若复数 对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
14．已知复数 为虚数单位）．
（1）求 ；
（2）求 ．
15．已知 ， 是虚数单位，复数 ．
（1）若 是纯虚数，求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，求 的取值范围．
