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考点 17 函数与方程
【命题解读】
函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考
查，难度控制在中等以上。
【基础知识回顾】
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的
图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程
f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成
立．
2、 二分法
对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一
分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程 f(x)＝0的近
似解就是求函数f(x)零点的近似值．
3、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图像
交点 (x，0),_(x ，0) (x，0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
4、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1、若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A. 0或－ B. 0 C. － D. 0或
【答案】 A【解析】 由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x＝0，x＝－．
1 2
2、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
【答案】 A
【解析】 因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜
0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
【答案】 D
【解析】 当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－
1或a＞．
4、函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】 3
【解析】 当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x．
画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点．
当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3．
5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x．则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为
________．
【答案】 {－2－，1，3}
【解析】 当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x＝3，x＝1．
1 2
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x．
令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，
得x＝－2－，x＝－2＋>0(舍)，
3 4
∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－，1，3}．
7、(一题两空)已知函数f(x)＝若f(x)＝－1，则x ＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则
0 0
实数k的取值范围是________．
【答案】－1 (0，1)
【解析】解方程f(x)＝－1，得或解得x＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的
0 0
图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．即k∈(0，1)．
考向一 判断零点所在的区间
例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
， ，
， ，
，由 .
故选：C
变式1、（1）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(
)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)（2）已知函数f(x)＝lnx－ 的零点为x，则x 所在的区间是( )
0 0
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
（3）若x 是方程＝x的解，则x 属于区间( )
0 0
A. B.
C. D.
【答案】（1） A（2）C. （3） C
【解析】（1） ∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多
有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
(2)∵f(x)＝lnx－ 在(0，＋∞)为增函数，又f(1)＝ln1－ ＝ln1－2<0，
f(2)＝ln2－ <0，f(3)＝ln3－ >0，
∴x∈(2，3)．
0
（3）令g(x)＝，f(x)＝x，
则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，
结合图象可得＜x＜.
0
方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进
行分析判断.
考向二 判断零点的个数例2、（1）函数f(x)＝ 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
（2）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log |x|的零
3
点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
（3）(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
【解析】
（1）．A 因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－在x∈[0，＋∞)上
单调递增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，所以f(x)＝x－在定义域内有唯一零点．
（2）．D 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log |x|的图象，如下：
3
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log |x|有4个零点．
3
（3）．令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝
当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1
的图象如图所示．
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4．
变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)
f(x)=¿{2−x,2≤x<3¿¿¿¿
log
上 则函数 的零点的个数为
y=f(x)− |x|
5
【答案】： 5
【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，
根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log| x|＝0，得f(x)＝log| x|，分
5 5别画出y＝f(x)和y＝log|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log5＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log|
5 5 5
－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log|－7|＝log7>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为
5 5
5.
变式2、（1）(2019·十堰调研)已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
（2）(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】（1）C（2）C
【解析】（1） 当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.
故选C.
（2）由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数 y＝|x－2|
(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象
与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考向三 与零点有关的参数的范围
例3、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是
________．
（2）（2014·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－
a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【答案】（1） (－5，0)（2）【解析】（1）．当x∈(0，1)时，f′(x)＝6x2＋6x>0，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0，1]单调递增，又函数f(x)的
图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0，1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(1)＝m<0，且
f(1)＝m＋5>0，解得－50时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要
求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2
－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)在(－
∞，－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即f(x) ＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使
max
f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f(x) ＝2m－2>0，即m>1，故实数m的取值范围是
max
(1，＋∞)．
解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求
函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝
0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，则y′＝2x＋＝，当x∈(－∞，－1)时，
y′<0，此时函数单调递减；当x∈(－1，0)时，y′>0，此时函数单调递增，故y ＝3，因此，要使f(x)＝
min
x3－3mx－2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m>3，即m>1.
变式2、若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值
范围是____________．
【答案】
【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足
即
解得0时，求证：函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点；
(3)若函数y＝f(x)有4个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝－2x2，由f(x)＝0，得－2x2＝0.
当x≥0时，得－2x2＝0，即x(2x2＋4x－1)＝0，解得x＝0，或x＝(x＝<0舍去)；
当x<0时，得－2x2＝0，即x(2x2＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝，或x＝.
综上所述，函数y＝f(x)的零点为0，，，.
(2)证明：当a>0，且x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝0，得－ax2＝0，即－ax＝0，即ax2＋2ax－1＝0.记g(x)
＝ax2＋2ax－1，则函数y＝g(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，又g(0)＝－1<0，∴函数y＝
g(x)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，即函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点．
(3)易知x＝0是函数f(x)的一个零点．
当x>0时，由f(x)＝0得，－ax2＝0，即－ax＝0，即ax2＋2ax－1＝0，记g(x)＝ax2＋2ax－1，由a>0知
函数g(x)的图像是开口向上的抛物线，又g(0)＝－1<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．于是，
问题等价于f(x)＝－ax2(a>0)在(－∞，0)上有且只有两个不同的零点．
当x<0时，由f(x)＝0得，－ax2＝0，
即－ax＝0，即ax2＋2ax＋1＝0(x≠－2)，
由a>0，得x2＋2x＋＝0(x≠－2)，即x2＋2x＝－(x≠－2)．
作出函数h(x)＝x2＋2x(x<0)图像，由图像易得：正数a必须满足－1<－<0，从而有a>1.
变式2：(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则
实数k的取值构成的集合为________．
【答案】： ∪(－e，－1)
【解析】作函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，
直线应与曲线y＝f(x)(x>1)相切，设切点(x，lnx)，则切线斜率为k＝，又k＝，则＝，解得x＝e3，此时k
0 0 0＝，当k<0时，当y＝kx＋2与曲线y＝相切于点(0，2)时，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像只有三个公共点，
不符合题意，此时k＝－1，当－1
