文档内容
专题 12 三角函数的图像与性质（七大题型+模拟精练）
目录：
01 求三角函数的有关概念
02 三角函数图像的变换
03 识别函数图像、根据已知图像求解
04 三角函数图像与性质的综合辨析
05 三角函数性质的综合应用—求参数范围或最值
06 三角函数的应用
07 三角函数的综合解答题
01 求三角函数的有关概念
1．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】由正切函数周期公式直接计算即可.
【解析】 的最小正周期为 .
故答案为：
2．（2023高三·全国·专题练习）y＝cos 的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得答案.【解析】因为 ，
所以由 得， ， ，
即所求单调递减区间为 .
故答案为： .
3．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知函数 ， 的图象的对称中心是
．
【答案】
【分析】将 看成整体角，利用正切函数的对称中心即可求得.
【解析】由函数 可得， ，解得： ，
即 的图象的对称中心是 .
故答案为： .
4．（2024·贵州黔南·二模）若函数 为偶函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知： 为函数 的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【解析】由题意可知： 为函数 的对称轴，
则 ，则 ，对于选项A：令 ，解得 ，不合题意；
对于选项B：令 ，解得 ，符合题意；
对于选项C：令 ，解得 ，不合题意；
对于选项D：令 ，解得 ，不合题意；
故选：B.
5．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，以π为周期，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间 上的单调性，即可选择判断．
【解析】对于A， 的最小正周期为π，在区间 上单调递减，A不是；
对于B， 的最小正周期为π，在区间 上单调递增，B是；
对于C， 的最小正周期为π，在区间 上单调递减，C不是；
对于D， 不是周期函数，在区间 上单调递减，D不是．
故选：B
6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列函数中，周期为 且在 上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正余弦函数的单调性可判断AB；结合周期性定义举反例判断C；结合余切函数的周期性以及
单调性判断D.【解析】对于A， ， ，由于 在 上不单调，
故 在 上不单调，A错误；
对于B， ， ，由于 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，B错误；
对于C，由于 ，
故 不是 的周期，C错误；
对于D， 的最小正周期为 ， 时， ，
而 在 上单调递增，故 在 上单调递增，D正确，
故选：D
7．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝cos (3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝ ．
【答案】kπ＋ （k∈Z）
【解析】由题意，得y＝cos （3x＋φ）是奇函数，cos φ＝0，所以φ＝kπ＋ （k∈Z）.
8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数 的部分图像如图所示，则
其解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知中的函数 的部分图象，求出满足条件的 值，可得答案．
【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为 ，故 ，
，故 ，解得 ，
故 .
将 代入可得： ，
则 ，解得 .
∵ ，∴ ，
∴ .
故选:B.
9．（2024高三上·全国·专题练习）函数 ， 的值域为 ．
【答案】
【分析】先求出整体角的范围，再利用余弦函数的值域求解即可.
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．所以函数的值域为 ．
故答案为：
02 三角函数图像的变换
10．（23-24高一下·广东佛山·期中）为了得到 的图像，需要把函数 的图象
向右平移的单位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简，然后由平移变换可得.
【解析】因为 ， ，
所以，要得到 的图象，需要把函数 的图象向右平移 个单位长度.
故选：A
11．（23-24高一下·四川·期中） 的图象如图所示，为了得到 的图象，则
只要将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】C【分析】先根据图象确定 的值，进而根据三角函数结果的点求出求 与 的值，确定函数 的解析式，
然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果．
【解析】函数 的部分图象，可得 ，
， ，则 ，
又 ， ,则 ，
故 ．
对A, 向右平移 个单位长度,得到 ，故A错误；
对B, 向右平移 个单位长度,得到 ，故B错误；
对C, 向左平移 个单位长度,得到
，故C正确；
对D, 向左平移 个单位长度,得到 ，故D错误.
故选：C．
12．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数 的图象，只需要把函数
图象（ ）
A．先将橫坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
B．先将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向右平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】B
【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断.
【解析】为了得到函数 的图象，只需要把函数 图象
先向右平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），CD错；
也可以先将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，A错误，B正确.
故选：B.
13．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）先将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标
不变），再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，写出 图象的一条对称轴的方
程： .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】
利用伸缩和平移变换写出 的函数表达式，再求对称轴方程.
【解析】
先将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到 ，
向左平移 个单位长度得到 ，
令 ， ，解得 ， ，
可取 ，则 .
故答案为： （答案不唯一）.
14．（2024·陕西榆林·三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关于 对称，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平移变换的原则求出变化后的函数解析式，再根据余弦函数的对称性即可得解.
【解析】由函数 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
又由 图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
故选：C.
03 识别函数图像、根据已知图像求
15．（2024·全国·模拟预测）函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】先由根据图象，由 的奇偶性排除部分选项，再由 时，函数值的正反判断.
【解析】解：因为 的定义域为 ，且 ，
是奇函数，排除选项B．
当 时， ，排除选项A，C．
故选：D．
16．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，如图 是直线 与曲线 的两
个交点， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得 ，从而得
到 的值，再根据 即可得 ，进而求得 ．
【解析】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， ；综上： ；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设 ，则 ，
因为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
．
故选：C.
17．（2024·江西南昌·一模）函数 的部分图象如图所示， 是等腰
直角三角形，其中 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如图，过 作 轴于 ，根据题意得到 ，进而可求出 ，再利用 ，
得到 ，则有 ，可求出 ，从而 ，即可求出结果.【解析】如图，过 作 轴于 ，则 ，
又 是等腰直角三角形，所以 ，故 ，得到 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以 ，得到 ，又 ，得到 ，
所以 ，则 ，
故选：D.
18．（2024·广东广州·二模）已知函数 的部分图象如图所示，若将函数
的图象向右平移 个单位后所得曲线关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出 和 ，再根据图象的平移变换，以及图象的对
称性即可得解.
【解析】由 ，得 ，又点 及附近点从左到右是上升的，则
，
由 ，点 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得 ， ，而 ，于是 ， ，
若将函数 的图像向右平移 个单位后，得到 ，
则 ，而 ，因此 ，
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：A
04 三角函数图像与性质的综合辨析
19．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 的图象关于y轴对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【解析】 可以为负，所以A错；
关于原点对称，故B错；
；
关于直线 对称，不关于直线 对称，故C错，D对.
故选：D.
20．（2024·四川·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，下列结论
中正确的是（ ）
A．函数 的图象关于 对称B．函数 的对称中心是
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】D
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到 ，根据最小正周期得到 ，得到函数
解析式，求出A错误；B选项，整体法求解出函数的对称中心；C选项，求出 ，C错误；
D选项，平移得到 ，D正确.
【解析】A选项，
，
因为函数 的最小正周期为 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，故A错误；
B选项，令 ，即 ，
函数 的对称中心是 ，故B错误；
C选项， 时， ，显然 在其上不单调，故C错误；
D选项， 的图象向右平移 个单位长度，
得到 ，故D正确．
故选：D．
21．（2024·陕西渭南·二模）关于函数 ，给出如下结论：
① 的图象关于点 对称
② 的图象关于直线 对称
③ 的最大值是3
④ 是函数 的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据 是否成立即可判断①；根据 是否成立即可判断②；
令 ，再结合二次函数的性质即可判断③；根据
是否成立即可判断④.
【解析】对于①， ，
，
则 ，
所以 的图象不关于点 对称，故①错误；对于②， ，
所以 的图象关于直线 对称，故②正确；
对于③， ，
令 ，
则 ，
则 ，
当 时， ，
所以 的最大值是3，故③正确；
对于④， ，
所以 不是函数 的周期，故④错误.
所以正确结论的个数为 个.
故选：B.
05 三角函数性质的综合应用—求参数范围或最值
22．（2024·河北唐山·二模）函数 在 上为单调递增函数，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围，求出 ，结合正弦函数的单调性得到 ，解得即可.【解析】由 可得 ，
又 ，则 ，且 在 上为单调递增函数，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
故选：C
23．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 的一个零点是 ，且 在
上单调，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得 ，以 为整体，根据单调性分析可得 ，再结合零
点分析求解.
【解析】因为 ，
，且 时，
可得 ，且 ，
若 在 上单调，则 ，解得 ，
又因为 的一个零点是 ，则 ，解得 ，所以 .
故选：B.
24．（2024·四川内江·三模）设函数 ，若存在 ，且 ，使
得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，求出 ，结合 以及题设可列出不等式
，即可求得答案.
【解析】由于 ，当 时， ，
又 ， ，
而在原点左侧第一个使得 的x的值为 ，即 ，
由于存在 ，且 ，使得 ，
故需满足 ，
即 的取值范围是 ，
故选：B
25．（2024·江苏南通·二模）已知函数 （ ）在区间 上单调递增，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据条件，利用辅助角公式得到 ，再利用 的图象与性质，得到
的单调增区间，再根据条件，可得到 ，即可求出结果.
【解析】因为 ，又 ，
由 ，得到 ，
所以函数 的单调增区间为 ，
依题有 ，则 ，得到 ，
故选：B.
26．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ，
， 都恒成立，且函数 在 上单调递增，则 的值为
（ ）
A．3 B．9 C．3或9 D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小 的取值范围，结合正弦型三角函数
的对称性可得符合的 的取值为 或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【解析】设函数 的最小正周期为 ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，得
，因此 ．
由 知 的图象关于直线 对称，则 ①．
由 知 的图象关于点 对称，则 ②．
② ①得 ，令 ，则 ，
结合 可得 或9．
当 时，代入①得 ，又 ，所以 ，
此时 ，因为 ，故 在 上单调递增，符合题意；
当 时，代入①得 ， ，又 ，所以 ，
此时 ，因为 ，
故 在 上不是单调递增的，所以 不符合题意，应舍去．
综上， 的值为3．
故选：A.
27．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得函数图象上
所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数
在 上有5个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先利用三角函数图象的变换得出 ，再根据二次函数的性质得出 在
上有3个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为 ，根据定义域取 值计算即
可；法二、利用整体思想得 ，解不等式即可.
【解析】将函数 的图像向左平移 个单位长度，
得到函数 ，再将函数 的横坐标变为原来的 倍，
纵坐标不变，得到函数 ，
所以 ，因为当 时， 有2个零点，
所以要使 在 上有5个零点，则需 在 上有3个零点.
法一：令 ，则 ，
解得 ，当 时，分别对应3个零点，
则 ，解得 .故选A.
法二：因为 ，所以 ，
所以 ，则 .
故选:A.
06 三角函数的应用28．（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地
往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48
个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【答案】A
【分析】以轴心 为坐标原点，与地面平行的直线为 轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数
，令 时，即可求解.
【解析】设座舱距离地面的最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴建立平面直角
坐标系，如图所示，
设函数 表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为 ，直径为 ，且转一周大约需要 ，
周期 ， ，所以 ，
即 ，
当 时，游客在点 ，其中以 为终边的角为 ，
所以 ，
当 时，可得
所以，摩天轮的座舱 后距离地面高度约为 .故选：A.
29．（2023·全国·模拟预测）随着电力的发展与石油的消耗，风力发电越来越受到重视.预计到2025年全球
风电新增装机量达到111.2GW，中国的装机量占比达到世界第一.已知风速稳定时风力发电机叶片围绕转轴
中心做匀速圆周运动，现有两个风力发电机， 和 分别为两个风力发电机叶片边缘一点， 和 到各自
转轴中心距离均为20米，初始时刻 处于所在的发电机转轴中心正上方， 处于所在的发电机转轴中心正
下方，且 和 围绕各自发电机转轴中心做匀速圆周运动.由于两个发电机所处位置风速不同， 点转速为
， 点转速为 ，以时间 （单位：秒）为自变量， 和 与各自发电机转轴中心高度差为应变
量，分别得三角函数 与 ，下列哪种方式可以使 变为 （ ）
A．将 图象上所有点向右平移 个单位长度，再将横坐标扩大到原来的 倍
B．将 图象上所有点向左平移 个单位长度，再将横坐标缩小到原来的 倍
C．将 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 倍，再向左平移 个单位长度
D．将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍，再向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据题意，分别列出函数 与 的解析式，再利用三角函数图象的变换即可求解.
【解析】由题意可知：三角函数 与 的角速度分别为 ， ，
又因为初始时刻 处于所在的发电机转轴中心正上方， 处于所在的发电机转轴中心正下方，所以， ，
由三角函数的变换可知： 纵坐标不变，横坐标缩短缩小到原来的 倍得到 ，再向右平移
个单位长度可得到 ，
故选项 正确；
故选： .
30．（22-23高三上·安徽亳州·阶段练习）某杂技表演是在一种转轮状的机械上完成，表演者站在转轮的固
定板上慢慢往上转的同时完成各种表演.转轮模型如图.已知转轮最高点距离地面高度为11米，转轮半径为
5米，转轮上设置了8个固定板.开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约要5分钟.若甲､乙两位表演者
在相邻的两个固定板上表演，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出甲、乙二人距离地面的高度 关于时间t的函数关系，求出他们差的绝
对值，再借助正弦函数的性质求解作答.
【解析】以过转轮中心C垂直于地面的垂足O为原点，过中心垂直于地面的直线为y轴建立坐标系，如图，当乙在 时，甲在 处，记为时刻 ，设甲，乙两人距离地面的高度分别是 ，
在 时刻，设 ，显然 ，
因此 ，而转一周需5分钟，则 ，即 ，
又 时， ，即有 ，则取 ，因此 ，
显然转轮上相邻两个固定板所在转轮半径夹角为 ，则
则两人距离地面的高度差：
，
而 ，则当 或 ，即 或 时， ，
又 ，即有 ， ，
所以两人距离地面的高度差的最大值为 .
故选：A
07 三角函数的综合解答题
31．（2024·山西临汾·三模）已知函数 的图象可由函数
的图象平移得到，且关于直线 对称．(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递增区间．
【答案】(1)
(2) 和 ．
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出 ，进而得到 ，
再代入 解出即可；
（2）先由图象平移得到 ，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中
范围求出即可.
【解析】（1）依题知函数 与函数 有相同的振幅和周期，所以 ，
因为函数 的图象关于直线 轴对称，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
．（2）
法一：因为 ，所以 ，
因为 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 和 ．
法二：
由 ，
得 ，
又因为
所以 的单调递增区间为 和 ．
32．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数 满足 ．
(1)求函数 的解析式及最小正周期；
(2)函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，若 ，求
的最小值．
【答案】(1) ，最小正周期为
(2)【分析】（1）由 ，结合 ，求得解析式，然后利用周期公式求解；
（2）根据平移变换得到 ，然后由 得到 求解.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ 的最小正周期为： ；
（2）由题意， ，
∵ ，
∴ ，
∴ Z，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
33．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数 的部分图象，且
， ．(1)求 ， 的值；
(2)将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，得到
函数 的图象，讨论函数 在区间 的零点个数．
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期求出 ，根据 求出 ；
（2）首先求出 的解析式，函数 在区间 的零点个数即为函数 的图象与直线
在 上的交点个数，由 的取值范围，求出 的取值范围，再结合余弦函数的图象即可
得解.
【解析】（1）根据题意得， ，故 ， ，故 ．
将 代入，得 ，解得 ，
又 ，故 ．
（2）依题意， ．函数 在区间 的零点个数即为函数 的图象与直线 在 上的交点个数．
当 时， ，结合余弦函数图象可知，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且 ， ， ，
作出函数 在 上的大致图象如图所示．
观察可知，当 或 时， 有 个零点；
当 时， 有 个零点；
当 或 时， 有 个零点．
34．（21-22高一下·山东临沂·阶段练习）已知函数 ，其图象中相邻的两
个对称中心的距离为 ，且函数 的图象关于直线 对称；
(1)求出 的解析式；
(2)将 的图象向左平移 个单位长度，得到曲线 ，若方程 在 上有两根 ，
，求 的值及 的取值范围.【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）根据条件相邻的两个对称中心的距离为 得到周期从而求出 ，再根据对称轴是 及
求出 ，从而得到 的解析式；
（2）根据平移变换得到 ，再通过整体代换，利用正弦函数的图像和性质得到 有
最小值及对应的自变量的值，即可求 的值及 的取值范围.
【解析】（1）解：因为函数 的图象相邻的对称中心之间的距离为 ，
所以 ，即周期 ，所以 ，
所以 ，
又因为函数 的图象关于直线 轴对称，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
所以函数 的解析式为 ；
（2）解：将 的图象向左平移 个单位长度，得到曲线 ，
所以 ，
当 时， ， ,当 时， 有最小值 且关于 对称，
因为方程 在 上有两根 ， ，
所以 ，
，即 的取值范围 .
35．（2022·河南濮阳·模拟预测）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 ，求 在区间 上的所有最大值点．
【答案】(1) ;
(2) 与 .
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式 ；
（2）结合函数特点，分 与 两种情况下进行求解.
【解析】（1） 的图象向右平移 个单位长度，得到 ,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2） ，
当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为2；
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求 在区间 上的所有最大值点有 与 .
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若函数 的图象关于 对称，根据正切函数的对称性可得 ，再
根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【解析】若函数 的图象关于 对称，
则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件.
故选：A.2．（2024·广东湛江·二模）函数 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得 的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
故 在 上的值域为 .
故选：B.
3．（2024·四川绵阳·三模）若函数 的图象关于直线 对称，在下列选项中，（ ）
不是 的零点
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的周期，以及函数的对称性可得 的零点满足 ，即可求解.
【解析】由于 的周期 ，
又 的图象关于直线 对称，
所以 的零点满足 ，所以 ， ， 均为 的零点， 不是 的零点，
故选：A
4．（2024·全国·二模）若函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.
【解析】依题意，函数 是偶函数，则 ，
即 ，而 ，所以 .
故选：B
5．（2024·四川德阳·二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简 ，再利用函数奇偶性的定义判断 的奇偶性，从而得解.
【解析】因为 ，定义域为 ，
又 ，
所以 是奇函数，从而ACD错误，B正确.
故选：B.
6．（2024·山西·模拟预测）方程 的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】作出函数 和 的图象，由图象交点个数得出结论．【解析】设 ， ．在同一直角坐标系内画出 与 的大致图象，
当 时， ；当 时， ．
根据图象可得两个函数共有11个交点．
故选：C．
7．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 在区间 上的值域为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由图象求出函数 ，再由平移变换得函数 ，结合整体法求值域，从而求 的取值范围.
【解析】设 的最小正周期为 ，由图象可知 ，
所以 ，则 ，故 ，
又 的图象过点 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
则 ，
则 .
当 时， ，
当 或 .即 或 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的取值范围为 .
故选：C.
8．（2024·天津红桥·一模）将函数 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 单位，得到函数
的部分图象（如图所示）．对于 ， ，且 ，若 ，
都有 成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．C． 在 上单调递增
D．函数 在 的零点为 ，则
【答案】C
【分析】由题意可得函数 的图象在区间 上的对称轴为 ，再结合 可求出
，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断
CD 即可.
【解析】对于A，由题意可知函数 的图象在区间 上的对称轴为 ，
则 与 关于 对称，
又 ，结合图象可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B， 右移 个单位得到函数 的图象，
再将其横坐标缩短为原来的 得到 的图象，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
所以 在 上不单调，故C错误；
对于D，令 ，则 ，函数 在 上有 个零点 ，
则 ， ， ， ， ，
故 ，
所以 ，故D正确；
故选：C．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 或 的形式；
（2）将 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 或余弦函数 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、
单调性等）解决相关问题.
二、多选题
9．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 的图象经过点 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．
C．函数 的图象关于点 中心对称
D．函数 在区间 单调递减
【答案】ABD
【分析】由条件可求 的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.【解析】对选项A，依题意函数 的周期为 ，所以选项A正确；
对选项B，因为 ，即 ，又 ，所以 ，所以选项B正确；
对选项C，因为 ，又 ，
所以点 不是 的中心对称，所以选项C错误；
对选项D，因为 ，所以 ，因为 在 单调递减，
所以函数 在区间 单调递减，所以选项D正确.
故选:ABD.
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象过点 ，且两条相邻对称轴
之间的距离为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 上单调递增
C．直线 为函数 图象的一条对称轴
D． 在 上的值域为
【答案】ACD
【分析】先求出参数 的值.选项A，由相邻对称轴间的距离得出函数的最小正周期，进而求出 的值；选
项B，一种解法是先求出函数的单调递增区间，对照选项做出判断即可；另一种解法是由 ，求出
的范围，对照正弦函数的单调区间做出判断即可；选项C，一种解法是先求出函数的对称轴方程，对照选项做出判断即可；另一种解法是将 代入函数解析式检验，做出判断即可；选项D，求出
，结合正弦函数的单调性求出函数的最值即可.
【解析】由 的图象过点 ，知 ，即 ．
选项A，因为 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，
所以 ，则 ，故A正确．
选项B， ．
法一：由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故B不正确．
法二：当 时， ，
正弦函数 在区间 上先增后减，
所以函数 在 上不单调，故B不正确．
选项C，法一：由 ，得 ．
当 时， ，所以直线 为函数 图象的一条对称轴，故C正确．
解法二 因为 ，
所以直线 为函数 图象的一条对称轴，故C正确．选项D，由 ，得 ，
当 时，即 ，函数 取得最大值 ，
当 时，，即 ，函数 取得最小值 ；
所以 ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD.
11．（2023·山东·模拟预测）已知函数 图象的一条对称轴为直线 ，函数
，则（ ）
A．将 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象
B．方程 的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数 在区间 上单调递增
D． 在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据 对称轴得到 解析式.根据图像平移判断A选项，利用两角和的正余弦公式及特殊角
的三角函数值，得到B选项，利用整体代入的方法，结合正弦函数图像对CD两个选项进行判断.
【解析】因为函数 图象的一条对称轴为直线 ，所以 ，得，因为 ，所以 ，从而 .
选项A：将 的图象向左平移 个单位长度得到
而 ，所以平移后得不到函数 的图象，故A错误.
选项B：令 ，即 ，所以 ，故B正确.
选项C：由 ，令 ，根据正弦函数单调性知 在 上单调递增，
在定义域上单调递减，根据复合函数单调性， 在 上单调递减，故C错误.
选项D：由 得 ，区间长度为 .
根据正弦函数图象和性质，当区间 关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，
为 ;
当区间 关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为 ，
所以最大值与最小值之差的取值范围为 ，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：整体代入解决三角函数问题：将 看成一个整体，根据 的范围得到 的范围，结合正余弦函数值域、单调性、对称性等性质可以得到正余弦型函数的性质.
三、填空题
12．（2024·湖北武汉·二模）函数 的部分图象如图所示，则
.
【答案】
【分析】令 ，解出 ，根据图中零点得到方程解出即可.
【解析】令 ，则 ，
根据图象得 为函数零点，零点左右函数为上升趋势，
则 ，
则 ，因为 ，则 ， ，
故答案为： .
13．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 图象过点 ，则
；若函数 的图象关于点 中心对称，则 .
【答案】【分析】由 可得 ，对称中心 ，即可求得 ，从而知函数的解析式.
【解析】因为点 在 的图象上，所以 ，
又 ，所以 .
因为 图象的一个对称中心是 ，
所以 ，则 .
又 ，所以 ，故 .
故答案为： ；
14．（2024·北京朝阳·二模）设 为正整数，已知函数 ， ， . 当
时，记 ，其中 .
给出下列四个结论：
① ， ；
② ， ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【分析】依据 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 和 上单调递增，在 上单调递减，
利用单调性逐项计算可判断每个选项的正确.
【解析】对于①，因为 ，所以 .
又 在 上单调递增，所以 ，
所以
，故①正确；
对于②，当 时， ，
，所以此时 ，故②错误；
对于③，当 时，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且关于直线
对称.
又有 ，且 和 在数轴上关于 对称，所以
， ， .
所以
.
而 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
又有 .
所以 ， .
所以.
这就得到 ， ， ，所以此时 ，故③正确；
对于④，当 时，因为 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 ， .
所以
.
所以此时 ，故④错误.
故答案为：①③.
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，弄清题意与每个函数的单调性是关键，利用单调性比较数的大
小去绝对符号，运算量大，细心是关键.
四、解答题
15．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图
所示．(1)求 的解析式；
(2)设 ，若函数 在区间 上单调递增，求实数 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象先求A，利用周期和图象所过点求出其它参数;
（2）先求 的解析式，根据单调性求得范围.
【解析】（1）由图象得 , ，所以 ,
由 ，所以 ，所以 ，
由图象经过点 ，代入 得 ，
由 得 ,
所以 .
（2）由题意 ，
因为函数 在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，解得 ，所以 的最大值为 .
16．（2024·山西临汾·三模）已知函数 的图象可由函数的图象平移得到，且关于直线 对称．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递增区间．
【答案】(1)
(2) 和 ．
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出 ，进而得到 ，
再代入 解出即可；
（2）先由图象平移得到 ，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中
范围求出即可.
【解析】（1）依题知函数 与函数 有相同的振幅和周期，所以 ，
因为函数 的图象关于直线 轴对称，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，．
（2）
法一：因为 ，所以 ，
因为 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 和 ．
法二：
由 ，
得 ，
又因为
所以 的单调递增区间为 和 ．
17．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）已知函数 （其中 ， ， 均为常数， ， ，
）．在用五点法作出函数 在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
0
0
(1)求函数 的解析式，并直接写出函数 的单调递增区间；(2)已知函数 满足 ，若当函数 的定义域为 （ ）时，其值域为 ，
求 的最大值与最小值．
【答案】(1) ，单调递增区间为 ， .
(2) ，
【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 ， ，再读出 ，即可得到函数解析式，再根据正弦
函数的性质求出单调递增区间；
（2）首先得到 的解析式并利用诱导公式化简，再令 、 分别求出相应的取值，依题
意不妨令 ，求出 的最值，即可得解.
【解析】（1）依题意 ，解得 ，又 ，
所以 ，
令 ， ，解得 ， ，
所以函数的单调递增区间为 ， .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，则 ， ，解得 ， ，
令 ，则 或 ， ，解得 或 ， ，
因为当函数 的定义域为 （ ）时，其值域为 ，
不妨令 ，则 ，此时 ， ，此时 .
18．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若方程 在
上有解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象求得A和 ，再将 代入求解；
（2）由（1）得到 ，再令 ，转化为二次方程求解.
【解析】（1）解：由函数的图象知： ，则 ，
所以 ， ，因为 ，
所以 ，则 ，
又因为 ，则 ，
所以 ；
（2）由题意得： ，
令 ，
则 化为： ，
即 在 上有解，
由对勾函数的性质得： ，
所以 .
