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专题06 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
（4 种经典基础练+3 种优选提升练）
任意角（共10 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若角
的终边与角
的终边关于
轴对称，则
的终边落在
（ ）
A．
轴的非负半轴
B．第一象限
C．
轴的非负半轴
D．第三象限
2．（23-24 高一上·山东枣庄·期末）已知集合
钝角，
第二象限角，
小于
的
角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一上·河北唐山·期末）已知
，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．（23-24 高一上·内蒙古·期末）若角
与角
的终边相同，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高一上·广东深圳·期末）概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习
数学十分重要．现有如下三个集合，
{钝角}，
{第二象限角}，
{小于180°的角}，则下列
说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（23-24 高一上·湖北·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数
是R 上的奇函数，则
B．函数
与
为同一个函数
C．命题“
，
”的否定是“
，
”
D．若
是第二象限角，则
是第一象限角
7．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）下列各命题中正确的是（ ）
A．
与
（
且
）互为反函数
B．函数
的定义域为
C．已知
为第一象限的角，则
是第一、三象限的角
D．时针转过4 小时，则时针转过的弧度数为
三、填空题
8．（23-24 高一上·浙江台州·期末）
角是第 象限角.
9．（23-24 高一上·天津河西·期末）已知角
，则角
的终边落在第 象限．
10．（22-23 高一上·上海浦东新·期末）已知
，若将角
的终边顺时针旋转
，所得的角
的终边与角
的终边重合.则角
.
弧度制（共16 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·广东·期末）要在半径
厘米的圆形金属板上截取一块扇形板
，使其
弧
的长为120 厘米，则圆心角
（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·贵州六盘水·期末）达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的
微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗
略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧
所对的圆心角
为
，弦
的
长为
，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧
的长为（ ）（单
位：
）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一上·安徽安庆·期末）第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在浙江省杭州市
举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征
亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环
半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为
，则该扇面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·福建龙岩·期末）已知扇形的周长为
，圆心角为
，则此扇形的面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．（23-24 高一上·山西·期末）已知扇形的圆心角为
，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
6．（23-24 高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为
的扇形，它的周长是
，则这个扇形所含
弓形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高一上·云南昆明·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺
术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活
的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和
艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长
为a，则窗花的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（23-24 高一上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（ ）
A．若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是
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B．已知
，则
C．函数
在其定义域上单调递减
D．若幂函数
的图象过点
，则
9．（23-24 高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为
，其圆心角为
，圆面中剩余部
分的面积为
，当
与
的比值为
时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，扇形的半径
，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径
，则扇形面积为
三、填空题
10．（23-24 高一上·甘肃陇南·期末）
用弧度制表示为 ．
11．（23-24 高一上·福建·期末）若扇形的周长为
，面积为
，则它的圆心角的弧度数为
.
12．（23-24 高一上·广西贺州·期末）已知扇形的面积为
，圆心角弧度数为
，则其弧长为
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；
13．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是
，半径为
，则该扇形的面积为
．
14．（23-24 高一上·山东青岛·期末）如图，已知
是等腰直角三角形，
，
，
在平面内
绕点
逆时针旋转到
，使C，B，
在同一直线上，则图中阴影部分的面
积为 ．
15．（23-24 高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20 班某数学兴趣小组在探究扇形时，发
现如下现象：如图所示，⊙B 向⊙A 靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A 和圆
B 处于图1 的状态，简化后如图2，
，
，
.则S 阴影= .
四、解答题
16．（23-24 高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱
笆的长度为24 米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4 弧度，求该扇形菜地的面积；
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？
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三角函数的概念（共11 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·甘肃武威·期末）已知角
满足
，
，且
，则角
属
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、多选题
2．（22-23 高一上·河北保定·期末）已知角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边在直线
上，
则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
3．（23-24 高一上·云南昭通·期末）
为
终边上一点，则
.
4．（23-24 高一上·江苏扬州·期末）若
为第二象限角，则
可化简为 ．
四、解答题
5．（23-24 高一上·四川达州·期末）（1）已知
是第一象限角，
，求
，
的值；
（2）已知
，求
的值.
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6．（23-24 高一上·四川成都·期末）已知
.
(1)求
；
(2)求
的值.
7．（22-23 高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
8．（23-24 高一上·广东中山·期末）已知
，求下列各式的值．
(1)
；
(2)
．
9．（23-24 高一上·陕西西安·期末）已知
是第二象限角，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
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10．（23-24 高一上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xoy 中，锐角
的终边与单位圆交于
点
，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转
后交单位圆于点B，点B 的横坐标为
．
(1)求
的表达式，并求
的值；
(2)若
，
，求
的值.
11．（23-24 高一上·江苏南京·期末）如图，有一条宽为
的笔直的河道（假设河道足够长），
规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中
）种植荷花用于观赏，
两点分别在两岸
上，
，顶点
到河两岸的距离
，设
.
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(1)若
，求荷花种植面积（单位：
）的最大值；
(2)若
，且荷花的种植面积为
，求
.
诱导公式（共16 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·山东菏泽·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（23-24 高一上·安徽马鞍山·期末）若角
是
的三个内角，则下列结论中一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·湖北荆门·期末）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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三、填空题
5．（23-24 高一上·福建福州·期末）若
，则
．
6．（23-24 高一上·浙江杭州·期末）若
，则
．
7．（23-24 高一上·浙江丽水·期末）化简
．
8．（23-24 高一上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，线段
绕点
顺时针方向旋转
后，得到线段
，则点
的坐标为 ．
四、解答题
9．（23-24 高一上·云南曲靖·期末）已知
，且
为第三象限角．
(1)求
，
的值；
(2)求
的值．
10．（23-24 高一上·河南漯河·期末）（1）化简：
；
（2）化简：
．
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11．（23-24 高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系
中，点
在角
的终边上.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
12．（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）（1）计算：
（2）若
，求
的值．
13．（23-24 高一上·河北承德·期末）已知角
的终边经过点
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
14．（23-24 高一上·湖南娄底·期末）已知
．
(1)若
是第三象限角，求
，
的值；
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(2)先化简再求值：
．
15．（23-24 高一上·安徽马鞍山·期末）计算下列各式的值:
(1)
；
(2)
.
16．（23-24 高一上·贵州毕节·期末）已知
，α 是第三象限角，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
扇形中的最值问题（共8 题）
1．（23-24 高一上·江苏南京·期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值
的2 倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．
的最小值为9
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D．
的最小值为
2．（22-23 高一上·吉林·期末）如图，在扇形OPQ 中，半径
，圆心角
，C 是扇形
弧PQ 上的动点，矩形
内接于扇形，记
．则下列说法正确的是（ ）
A．弧PQ 的长为
B．扇形OPQ 的面积为
C．当
时，矩形
的面积为
D．矩形
的面积的最大值为
3．（23-24 高一上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系
中，点
，
，
角
的顶点与坐标原点
重合，始边为
轴的非负半轴，终边与单位圆
交于点
，则阴影区域的
面积的最大值为 .
4．（23-24 高一上·重庆·期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风
来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇
可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2 米长的紫色丝带围成一个扇
形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
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三、解答题
5．（22-23 高一上·湖南长沙·期末）如图所示，有一块扇形钢板
，面积是
平方米，其所在圆
的半径为1 米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板
上裁下一块平行四边形钢板
，要求使裁下的钢板面积最大.设
，
试问如何确定
的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
6．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）在半径为
的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽
种一种花草，三个扇形
，
，
的圆心角均为
，且矩形的地块具有对称性，按如图
所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形
和
内接矩形的最大值.
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7．（23-24 高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为
的扇形
中；
分别为
的中点，点
在圆弧
上且
·
(1)若
，求梯形
的高；
(2)求四边形
面积的最大值.
8．（23-24 高一上·浙江台州·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱
垂直水平地面，半径为1
的圆形轨道固定在支柱
上，轨道最低点
，
，
.液压杆
、
，牵引杆
、
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，水平横杆
均可根据长度自由伸缩，且牵引杆
、
分别与液压杆
、
垂直.当液压杆
、
同步伸缩时，铰点
在圆形轨道上滑动，铰点
在支柱
上滑动，水平横杆
作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，
使零件之间可围绕铰点转动）.
(1)设劣弧
的长为
，求水平横杆
的长和
离水平地面的高度
（用
表示）；
(2)在升降过程中，求铰点
距离的最大值.
同角三角函数的基本关系综合应用（共9 题）
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1．（23-24 高一上·河北唐山·期末）如图，已知直线
，
分别在直线，
上，
是，
之
间的定点，点
到，
的距离分别为，
，
.设
.
(1)用
表示边
，
的长度；
(2)若
为等腰三角形，求
的面积；
(3)设
，问：是否存在
，使得
？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理
由.
2．（23-24 高一上·山西长治·期末）已知
．
(1)若
为锐角，求
的值；
(2)求
的值．
3．（23-24 高一上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角
的顶点与原点
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重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A 点，将
绕点O 按逆时针方向旋转角
后，
终边在第二象限和单位圆交于B 点．点A 的横坐标为
，点B 的横坐标为
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
4．（23-24 高一上·广东广州·期末）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)若
，求
的值．
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5．（23-24 高一上·四川广安·期末）已知
.
(1)求
和
的值；
(2)若
为第四象限角，当
时，求函数
的最小值.
6．（23-24 高一上·江苏常州·期末）已知
．
(1)若
为奇函数，求
的值，并解方程
；
(2)解关于
的不等式
．
7．（23-24 高一上·山西太原·期末）已知
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
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8．（23-24 高一上·青海西宁·期末）已知第二象限角
满足________．请从下列三个条件中任选一
个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）
条件①：
，
是关于
的方程
的两个实根；条件②：角
终边上一点
，且
；条件③：
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
9．（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
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诱导公式综合应用（共25 题）
1．（23-24 高一上·山西长治·期末）已知
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
2．（23-24 高一上·安徽芜湖·期末）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一上·广东惠州·期末）已知函数
的部分图
象如图所示，
图象经过点
和点
，且
在区间
上单调，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·福建龙岩·期末）在①角
的终边与单位圆的交点为
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答
问题．
已知
，且
，_________．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
5．（23-24 高一上·河北沧州·期末）已知角
的终边经过点
．
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(1)求
的值；
(2)求
的值．
6．（23-24 高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系xOy 中，角
的始边为
轴的非负半轴，终
边经过第四象限内的点
，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
7．（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
．
(1)化简
的解析式；
(2)若
，且
，
，求
．
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8．（23-24 高一上·安徽安庆·期末）（1）求
的值；
（2）已知
，
，求
的值．
9．（23-24 高一上·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系
中，角
的终边
与单位圆交于
点
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的值．
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11．（23-24 高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy 中，角
与
的顶点均为坐标原点O，
始边均为x 轴的非负半轴．若角
的终边OP 与单位圆交于点
，将OP 绕原点O
按逆时针方向旋转
后与角
的终边OQ 重合．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
12．（23-24 高一上·江苏宿迁·期末）已知函数
，
．
(1)若角
顶点在坐标原点，始边为
正半轴，终边与单位圆交点的横坐标为
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
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13．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系
中，锐角
和钝角
的顶角与
坐标原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于
两点，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
14．（23-24 高一上·湖北恩施·期末）（1）已知
，求
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的值；
（2）已知
为第二象限角，
，求
的值.
15．（23-24 高一上·江苏连云港·期末）求值
(1)已知
是第三象限角，且
，求
的值；
(2)已知
，求
的值．
16．（23-24 高一上·陕西宝鸡·期末）已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值．
17．（23-24 高一上·河北石家庄·期末）（1）计算：
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：
（2）已知
是第三象限角，且
①求
的值；
②求
的值．
（3）化简：
．
18．（23-24 高一上·云南昭通·期末）已知
.
(1)化简
；
(2)若
，且
，求
的值.
19．（23-24 高一上·重庆·期末）化简或计算下列各式：
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(1)
；
(2)
20．（23-24 高一上·福建莆田·期末）（1）化简求值
（2）已知
为锐角，且满足
求
的值;
21．（23-24 高一上·陕西西安·期末）（1）证明差角的余弦公式
（2）若
，求
的值.
22．（23-24 高一上·宁夏石嘴山·期末）已知角
为第四象限角，且角
的终边与单位圆交于点
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.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
23．（23-24 高一上·江苏常州·期末）已知集合
.
(1)判断元素
，
与集合
的关系，并说明理由；
(2)求
.
24．（23-24 高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边过点
．
(1)求
的值；
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(2)已知
为锐角，
，求
．
25．（22-23 高一上·陕西榆林·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，
所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10 米的筒车开启后
按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1 分钟，筒车的轴心O 距离水面的高度为
米.以盛水筒P 刚
浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t 秒后盛水筒P 到水面的距离为h 米（规定：若盛水筒
P 在水面下，则h 为负数）.
(1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式
（其中
，
，
）；
(2)若盛水筒P 在
，
时刻距离水面的高度相等，求
的最小值.
