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专题06 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
（4 种经典基础练+3 种优选提升练）
任意角（共10 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若角
的终边与角
的终边关于
轴对称，则
的终边落在
（ ）
A．
轴的非负半轴
B．第一象限
C．
轴的非负半轴
D．第三象限
【答案】A
【知识点】轴线角、找出终边相同的角
【分析】由对称可知
，得终边所在位置.
【详解】角
的终边与角
的终边关于
轴对称，则角
的终边与角
的终边相同，
得
，则有
，
所以
的终边落在
轴的非负半轴．
故选：A．
2．（23-24 高一上·山东枣庄·期末）已知集合
钝角，
第二象限角，
小于
的
角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、判断两个集合的包含关系
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C 正确，再由第二象限角的范围
，即可判断出选项ABD 的正误，从而得出结果.
【详解】因为钝角大于
，且小于
的角，一定是第二象限角，所以
，故选项C 正确，
又第二象限角的范围为
，
不妨取
，此时
是第二象限角，但
，所以选项ABD 均错误，
故选：C.
3．（23-24 高一上·河北唐山·期末）已知
，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【知识点】确定已知角所在象限
【分析】
，再根据终边相同的角的集合，判断
是第几象限角，即可求
出结果.
【详解】因为
，又
是第三象限角，
所以
是第三象限角，
故选：C.
4．（23-24 高一上·内蒙古·期末）若角
与角
的终边相同，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据
观察选项得答案.
【详解】由已知
观察选项可得只有
，所以
可能是
.
故选：D.
5．（22-23 高一上·广东深圳·期末）概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习
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数学十分重要．现有如下三个集合，
{钝角}，
{第二象限角}，
{小于180°的角}，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、确定已知角所在象限、判断两个集合的包含关系
【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断.
【详解】钝角是大于
，且小于
的角，一定是第二象限角，故
；
第二象限角的范围是
，即第二象限角不一定小于
，
故ABD 错误，C 正确；
故选：C
二、多选题
6．（23-24 高一上·湖北·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数
是R 上的奇函数，则
B．函数
与
为同一个函数
C．命题“
，
”的否定是“
，
”
D．若
是第二象限角，则
是第一象限角
【答案】ABC
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断两个函数是否相等、函数奇偶性的应用、确定n 分
角所在象限
【分析】由奇函数的性质可判断A；根据函数的三要素是否相同判断B；根据含有一个量词的命题
的否定判断C；根据
的范围，可写出
的取值范围，即可判断D.
【详解】对于A，函数
是R 上的奇函数，则有
，故正确；
对于B，因为
定义域为R，且
，
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的定义域为R，二者定义域相同，对应关系相同，值域均为
，
所以
与
是同一函数，故正确；
对于C：命题“
，
”为全称量词命题，
则其否定为存在量词命题：“
，
”，正确；
对于D：由题知
是第二象限角，即
，
，
∴
，
，即
是第一或第三象限角，D 不正确．
故选：ABC
7．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）下列各命题中正确的是（ ）
A．
与
（
且
）互为反函数
B．函数
的定义域为
C．已知
为第一象限的角，则
是第一、三象限的角
D．时针转过4 小时，则时针转过的弧度数为
【答案】AC
【知识点】确定n 分角所在象限、任意角的概念、反函数的性质应用、具体函数的定义域
【分析】利用反函数的定义判断A；利用偶次根式被开方数大于等于0 列不等式求解判断B；利用
象限角的范围列不等式求
的范围判断C，利用正负角的意义判断D.
【详解】对于A，
与
（
且
）互为反函数，正确；
对于B，要使函数
有意义，则
，解得
，
所以函数
的定义域为
，错误；
对于C，若
是第一象限角，则
，得
，
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为偶数时，
是第一象限角；
为奇数时，
是第三象限角，正确；
对于D，钟表的时针是顺时针旋转，所以经过4 小时，时针转过的弧度数为
，错误.
故选：AC
三、填空题
8．（23-24 高一上·浙江台州·期末）
角是第 象限角.
【答案】二
【知识点】确定已知角所在象限
【分析】直接由象限角的概念得答案．
【详解】由象限角的定义可知，
的角是第二象限角．
故答案为：二.
9．（23-24 高一上·天津河西·期末）已知角
，则角
的终边落在第 象限．
【答案】三
【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角
【分析】
根据终边相同的角的表示，将
化为
，即可判断答案.
【详解】由题意得
，
由于
的终边在第三象限内，故角
的终边落在第三象限内，
故答案为：三
10．（22-23 高一上·上海浦东新·期末）已知
，若将角
的终边顺时针旋转
，所得的角
的终边与角
的终边重合.则角
.
【答案】
【知识点】找出终边相同的角
【分析】角
的终边顺时针旋转
得到
，根据终边相同的角的关系列出方程，根据
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求得
的值.
【详解】角
的终边顺时针旋转
得到
，它与
边重合，所以
，
所以
，
又
，所以只能令
，
.
故答案为：
弧度制（共16 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·广东·期末）要在半径
厘米的圆形金属板上截取一块扇形板
，使其
弧
的长为120 厘米，则圆心角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】弧度的概念
【分析】根据角弧度制的定义，可得答案.
【详解】设扇形弧长为，圆心角为
，半径为，则
.
故选：B.
2．（23-24 高一上·贵州六盘水·期末）达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的
微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗
略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧
所对的圆心角
为
，弦
的
长为
，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧
的长为（ ）（单
位：
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】弧长的有关计算
【分析】根据扇形弧长公式
代入求解即可.
【详解】因为圆弧
所对的圆心角
，所以
为等边三角形，
如图所示：
所以
，即圆弧的半径
，
所以圆弧
的长为
.
故选：C
3．（23-24 高一上·安徽安庆·期末）第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在浙江省杭州市
举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征
亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环
半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为
，则该扇面的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.
【详解】依题意，该扇面的面积为
.
故选：B
4．（23-24 高一上·福建龙岩·期末）已知扇形的周长为
，圆心角为
，则此扇形的面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】首先求出扇形的半径，再由面积公式计算可得.
【详解】设扇形的半径为，因为扇形的圆心角
，扇形的周长为
，
则
，解得
，
所以此扇形的面积
.
故选：B
5．（23-24 高一上·山西·期末）已知扇形的圆心角为
，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【知识点】弧长的有关计算
【分析】根据扇形弧长公式计算可得.
【详解】因为扇形的圆心角为
，半径为4，
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所以由弧长公式得扇形的弧长为
．
故选：D
6．（23-24 高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为
的扇形，它的周长是
，则这个扇形所含
弓形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的
面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.
【详解】
可得：扇形面积
，
三角形面积
，
可得弓形面积
，
故选：C
7．（23-24 高一上·云南昆明·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺
术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活
的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和
艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长
为a，则窗花的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】利用扇形三角形面积公式，利用整体减去部分即可.
【详解】根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积：
，
，
，则
，
即S
．
故“窗花”面积为
．
故选：A．
二、多选题
8．（23-24 高一上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（ ）
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A．若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是
B．已知
，则
C．函数
在其定义域上单调递减
D．若幂函数
的图象过点
，则
【答案】AB
【知识点】对数的运算性质的应用、求幂函数的解析式、扇形面积的有关计算、根据解析式直接判
断函数的单调性
【分析】利用扇形的面积和弧长公式，计算圆心角判断选项A；由指数式与对数式的互化和对数式
的运算规则求值，判断选项B；由反比例函数的单调性判断选项C；由幂函数的定义判断选项D.
【详解】对于A，设这个扇形的圆心角为
，半径为r，
其弧长的值与面积的值都是5，
，
，解得
，故A 选项正确；
对于B，
，
，
，则
，故B 选项
正确；
对于C，
，
其定义域为
，
由反比例函数的单调性可知，
在
和
上都单调递减，但在定义域上不是单调递减
的，故C 选项不正确；
对于D，幂函数
的图象过点
，则有
，
解得
，故D 选项不正确．
故选：AB．
9．（23-24 高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
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作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为
，其圆心角为
，圆面中剩余部
分的面积为
，当
与
的比值为
时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，扇形的半径
，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径
，则扇形面积为
【答案】ACD
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得
的值，利用公式计
算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得
的值，利用公式计算即
可.
【详解】对于A,
所在的扇形的圆心角分别为
,
所以
，故A 正确；
对于B，若
，则
，又
，
则
，故B 错误；
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对于C，若
，
所以
，故C 正确；
对于D,若
，
，又
，
所以
，
故D 正确，
故选：ACD.
三、填空题
10．（23-24 高一上·甘肃陇南·期末）
用弧度制表示为 ．
【答案】
/
【知识点】角度化为弧度
【分析】利用弧度制与角度值的转化即可得到答案.
【详解】因为
弧度，所以
（弧度）．
故答案为：
11．（23-24 高一上·福建·期末）若扇形的周长为
，面积为
，则它的圆心角的弧度数为
.
【答案】
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】
由扇形的面积公式和周长公式列方程，再由弧长公式解出即可.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由题意可知
，解得
，
设扇形的圆心角为
，则
.
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故答案为：
12．（23-24 高一上·广西贺州·期末）已知扇形的面积为
，圆心角弧度数为
，则其弧长为
；
【答案】6
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设弧长为，半径为，圆心角为
，
故
，
故
，
故答案为：6
13．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是
，半径为
，则该扇形的面积为
．
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】由扇形的圆心角是
，半径为
，则该扇形的面积为
.
故答案为：
.
14．（23-24 高一上·山东青岛·期末）如图，已知
是等腰直角三角形，
，
，
在平面内
绕点
逆时针旋转到
，使C，B，
在同一直线上，则图中阴影部分的面
积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算
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【分析】由图可知
，分别计算即可.
【详解】如图：
由
是等腰直角三角形，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
.
故答案为：
15．（23-24 高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20 班某数学兴趣小组在探究扇形时，发
现如下现象：如图所示，⊙B 向⊙A 靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A 和圆
B 处于图1 的状态，简化后如图2，
，
，
.则S 阴影= .
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用
【分析】阴影部分的面积为
的半圆面积减去
中圆心角为
的弓形面积，利用已知数据计算
即可.
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【详解】
，则
为⊙A 的直径，连接
，如图所示，
，
，则
为等边三角形，
，
的半径为2，
的半径为4，
阴影部分的面积为
的半圆面积减去
中圆心角为
的弓形面积，
则阴影部分的面积为
.
故答案为：
四、解答题
16．（23-24 高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱
笆的长度为24 米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4 弧度，求该扇形菜地的面积；
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？
【答案】(1)
平方米.
(2)该扇形菜地的圆心角为2 弧度时，菜地的面积取得最大值36.
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】（1）根据弧长公式及扇形面积公式即可求解；
（2）结合扇形面积公式及二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）设该扇形菜地的半径为，弧长为，
则
，解得
，
故该扇形菜地的面积
平方米.
（2）因为
，所以
，
则
.
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当
时，取得最大值36，
此时
，从而
.
故该扇形菜地的圆心角为2 弧度时，菜地的面积取得最大值36.
三角函数的概念（共11 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·甘肃武威·期末）已知角
满足
，
，且
，则角
属
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.
【详解】由
，
，得出
为第四象限角，
所以
，
则
为第二象限角或第四象限角，又因为
，
所以
，则
为第二象限角.
故选：B.
二、多选题
2．（22-23 高一上·河北保定·期末）已知角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边在直线
上，
则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】由三角函数定义得
，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代
入式子化简可得.
【详解】由角
的终边在直线
，则
，
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联立
解得
或
；
终边落在第一象限时，
，此时
，
则
；
终边落在第三象限时，
，此时
，
则
；
综上所述，
的值为
或
.
故选：BD.
三、填空题
3．（23-24 高一上·云南昭通·期末）
为
终边上一点，则
.
【答案】/0.8
【分析】由余弦的定义可直接求解.
【详解】
.
故答案为：
.
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4．（23-24 高一上·江苏扬州·期末）若
为第二象限角，则
可化简为 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系化简即可.
【详解】因为
为第二象限角，所以
，
，
所以原式
.
故答案为：
.
四、解答题
5．（23-24 高一上·四川达州·期末）（1）已知
是第一象限角，
，求
，
的值；
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
，
；（2）
【分析】（1）根据同角三角关系分析求解；
（2）根据齐次式问题分析求解.
【详解】（1）因为
是第一象限角，
，
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所以
，
；
（2）因为
，
所以
.
6．（23-24 高一上·四川成都·期末）已知
.
(1)求
；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）上下同除
，将正余弦化成正切即可计算；
（2）借助
，将原式化为齐次分式后上下同除
，将正余弦化成正切后借助
的值即可计算.
【详解】（1）
，
，
解得
；
（2）
.
7．（22-23 高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知
.
(1)求
的值；
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(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得
，进而可得结果；
（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.
【详解】（1）因为
，整理得
，
所以
；
（2）因为
，
所以
.
8．（23-24 高一上·广东中山·期末）已知
，求下列各式的值．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用“ 的代换”的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
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.
9．（23-24 高一上·陕西西安·期末）已知
是第二象限角，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）根据诱导公式和同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
是第二象限角，所以
，
则
.
（2）
.
10．（23-24 高一上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xoy 中，锐角
的终边与单位圆交于
点
，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转
后交单位圆于点B，点B 的横坐标为
．
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(1)求
的表达式，并求
的值；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由题意可知
，结合任意角三角函数的定义分析求解；
（2）由题意可得
，结合同角三角关系运算求解.
【详解】（1）因为锐角
的终边与单位圆交于点
，
则
，可知
，
又因为射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转
后交单位圆于点B，
所以
，可得
.
（2）若
，
，则
，
所以
.
11．（23-24 高一上·江苏南京·期末）如图，有一条宽为
的笔直的河道（假设河道足够长），
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规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中
）种植荷花用于观赏，
两点分别在两岸
上，
，顶点
到河两岸的距离
，设
.
(1)若
，求荷花种植面积（单位：
）的最大值；
(2)若
，且荷花的种植面积为
，求
.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）表达出
，表达出
，结合
，由
基本不等式求出最值，得到答案；
（2）求出
，根据荷花的种植面积求出
，结合同角三角函数关系得到
，所以
和
为一元二次方程
的两个实数根，求出答案.
【详解】（1）
.
当
时，
，
所以
.
又因为
，
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所以
，当且仅当
时取等号.
所以荷花种植区域面积的最大值为
.
（2）因为
，所以
，
故
，
从而
，
所以
.
又因为
，
所以
.
又因为
，所以
，
所以
和
为一元二次方程
的两个实数根，
解得
或
，
故
为
或
.
诱导公式（共16 题）
一、单选题
1．（23-24 高一上·山东菏泽·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
2．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用诱导公式
，求解即可.
【详解】由诱导公式
，且
，
可得
，即
.
故选：D.
二、多选题
3．（23-24 高一上·安徽马鞍山·期末）若角
是
的三个内角，则下列结论中一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，故C 错误；
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对于D：
，故D 正确.
故选：AD.
4．（23-24 高一上·湖北荆门·期末）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断.
【详解】由
.故A 正确；
，故C 正确；
，故D 错误；
因为
，所以
为第一或第三象限角.
若
为第一象限角，则
，所以
；
若
为第三象限角，则
，所以
.
所以B 错误.
故选：AC
三、填空题
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5．（23-24 高一上·福建福州·期末）若
，则
．
【答案】
/
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】由
，
所以
.
故答案为：
6．（23-24 高一上·浙江杭州·期末）若
，则
．
【答案】
/
【分析】利用角的变换结合诱导公式可求
【详解】因为
，
所以
故答案为：
7．（23-24 高一上·浙江丽水·期末）化简
．
【答案】1
【分析】利用诱导公式化简求值.
【详解】
.
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故答案为：1.
8．（23-24 高一上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，线段
绕点
顺时针方向旋转
后，得到线段
，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】先判断出以
为终边的角的大小，然后顺时针旋转
，判断以
为终边的角的大小即
可得出答案.
【详解】因为
，所以点
在单位圆
上，
且点
在
角的终边所在的直线上，
则点
的初始位置坐标
，
线段
绕点
顺时针转动
后，点
在
角的终边所在的直线上，
所以点
所在位置的坐标为
．
故答案为：
．
四、解答题
9．（23-24 高一上·云南曲靖·期末）已知
，且
为第三象限角．
(1)求
，
的值；
(2)求
的值．
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【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解；
（2）利用诱导公式化简求值.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，又
为第三象限角，
所以
，所以
；
（2）由诱导公式化简得：
．
10．（23-24 高一上·河南漯河·期末）（1）化简：
；
（2）化简：
．
【答案】（1）17；（2）
【分析】（1）由指数、对数运算性质运算即可；（2）由诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）
．
（2）
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.
11．（23-24 高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系
中，点
在角
的终边上.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义求得
，进而求出
，再由
即可得出答案；
（2）由同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）点
在角
的终边上，
，
，
，
所以
，
，
所以
.
（2）
.
12．（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）（1）计算：
（2）若
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）2.
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【分析】（1）利用指数对数运算法则即可；
（2）先利用诱导公式求出
，然后利用同角三角函数基本关系式即可．
【详解】（1）原式
．
（2）
，
，
所以
．
13．（23-24 高一上·河北承德·期末）已知角
的终边经过点
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求解；
（2）首先利用诱导公式化简，再转化为正切表示的式子，即可求解.
【详解】（1）由三角函数的定义可知
，解得
.
所以
.
（2）原式
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.
14．（23-24 高一上·湖南娄底·期末）已知
．
(1)若
是第三象限角，求
，
的值；
(2)先化简再求值：
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系、商数关系结合
是第三象限角即可求解.
（2）由诱导公式化简并化成关于
的齐次式，代入即可求解.
【详解】（1）因为
，
，若
是第三象限角，
则解得
.
（2）由题意
，
若
，则原式
.
15．（23-24 高一上·安徽马鞍山·期末）计算下列各式的值:
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对数运算法则、指数以及分数指数幂的运算法则求解即可；
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（2）由诱导公式以及特殊三角函数值即可求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
16．（23-24 高一上·贵州毕节·期末）已知
，α 是第三象限角，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解；
（2）利用诱导公式化简求值.
【详解】（1）因为
，α 是第三象限角，
则
，
所以tan
；
（2）
.
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扇形中的最值问题（共8 题）
1．（23-24 高一上·江苏南京·期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值
的2 倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．
的最小值为9
D．
的最小值为
【答案】BCD
【知识点】基本不等式求和的最小值、扇形面积的有关计算
【分析】由题意，知
，则
，对于选项ABC 利用基本不等式可判断，对于
选项D 利用二次函数可解.
【详解】由题意，知
，则
，
所以扇形面积
，
当且仅当
，即
时，等号成立，选项A 错误；
扇形周长为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时，圆心角为
，选项B 正确；
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，
当且仅当
，即
时，等号成立，选项C 正确；
,
当
时，上式取得最小值为
，选项D 正确.
故选：BCD.
2．（22-23 高一上·吉林·期末）如图，在扇形OPQ 中，半径
，圆心角
，C 是扇形
弧PQ 上的动点，矩形
内接于扇形，记
．则下列说法正确的是（ ）
A．弧PQ 的长为
B．扇形OPQ 的面积为
C．当
时，矩形
的面积为
D．矩形
的面积的最大值为
【答案】ACD
【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、扇形面积的有关计算、弧
长的有关计算
【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得
的长，
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即可求出矩形
的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.
【详解】由题意知，在扇形OPQ 中，半径
，圆心角
，
故弧PQ 的长为
，A 正确；
扇形OPQ 的面积为
，B 错误；
在
中，
，
在
中，
,
则
的面积
，
当
时，又
，故
，
则
，
则
，
则
，
即矩形
的面积为
，C 正确；
由C 的分析可知矩形
的面积
，
当
，即
时，矩形
的面积取最大值
，D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D 选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边
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的长，从而表示出矩形
的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项
的正误.
3．（23-24 高一上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系
中，点
，
，
角
的顶点与坐标原点
重合，始边为
轴的非负半轴，终边与单位圆
交于点
，则阴影区域的
面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算、由终边或终边上的点求三角函数值、求15°等特殊角的正弦、圆
上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】连接
，当点
距离直线
最远时，阴影区域的面积的最大值，利用三角形的面积公
式和扇形面积公式计算即可.
【详解】连接
，当点
距离直线
最远时，阴影区域的面积的最大值，根据圆的几何特征可
得此时
且
，如图：
设
是
的终边，则
，所以
，则
，
又
，
所以阴影区域的面积的最大值为
.
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故答案为：
.
4．（23-24 高一上·重庆·期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风
来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇
可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2 米长的紫色丝带围成一个扇
形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
【答案】
/
【知识点】扇形面积的有关计算、求二次函数的值域或最值
【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得
，
，利用扇形面
积公式结合二次函数求最值即可.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，
由已知
，则
，
，
所以
，
所以当
时，有最大值
.
故答案为：
.
三、解答题
5．（22-23 高一上·湖南长沙·期末）如图所示，有一块扇形钢板
，面积是
平方米，其所在圆
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的半径为1 米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板
上裁下一块平行四边形钢板
，要求使裁下的钢板面积最大.设
，
试问如何确定
的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【答案】(1)
(2)
是
的中点，
平方米
【知识点】扇形面积的有关计算、辅助角公式、cos2x 的降幂公式及应用、三角形面积公式及其应
用
【分析】（1）利用扇形面积公式列方程，从而求得扇形圆心角的大小.
（2）连接
，设
，将裁下的钢板的面积用
来表示，结合三角函数的性质求得面积的
最大值以及此时
点的位置.
【详解】（1）依题意，
，
设
，则
，
，
即扇形圆心角的大小为
.
（2）连接
，设
，过
作
，垂足为
，
在
中，
，
所以
，
设四边形
的面积为，
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则
，
由于
，
，
，
所以当
，
时，取得最大值为
（平方米）.
所以当
是
的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为
平方米.
6．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）在半径为
的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽
种一种花草，三个扇形
，
，
的圆心角均为
，且矩形的地块具有对称性，按如图
所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形
和
内接矩形的最大值.
【答案】
；
【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、扇形面积的有关计算
【分析】利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式分别表示两个矩形面积，根据正弦二倍角公式、
辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】在扇形
中，其内接矩形为
，如图1：
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设
，在直角
中，由
，可得
，
.
又
，
所以
.
当
，即
时，扇形
内接矩形
的面积最大，最大值为
.
在扇形
中，其内接矩形为
，取圆弧
的中点为
，连接
，
设
，
，
，如图2：
则
，于是
，
又
，
所以
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，
当
时，即
时，扇形
内接矩形
的面积最大，最大值为
.
7．（23-24 高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为
的扇形
中；
分别为
的中点，点
在圆弧
上且
·
(1)若
，求梯形
的高；
(2)求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】扇形中的最值问题、任意角的概念
【分析】（1）作出梯形
的高后结合题意计算即可得；
（2）四边形
面积为
，设
，结合
，即可求出面积关于
的表达式，即可得最大值.
【详解】（1）连接
，过点
作
于点
，交
于点，
由
，
，扇形半径为4，
分别为
的中点，
故
，
，
，
，
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则
，故
为等边三角形，
则
，
,
故梯形
的高为
；
（2）设
，则
，
且此时
，四边形
面积为：
，
∴
时，取最大值
.
8．（23-24 高一上·浙江台州·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱
垂直水平地面，半径为1
的圆形轨道固定在支柱
上，轨道最低点
，
，
.液压杆
、
，牵引杆
、
，水平横杆
均可根据长度自由伸缩，且牵引杆
、
分别与液压杆
、
垂直.当液压杆
、
同步伸缩时，铰点
在圆形轨道上滑动，铰点
在支柱
上滑动，水平横杆
作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，
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使零件之间可围绕铰点转动）.
(1)设劣弧
的长为
，求水平横杆
的长和
离水平地面的高度
（用
表示）；
(2)在升降过程中，求铰点
距离的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】基本（均值）不等式的应用、三角函数在生活中的应用、弧长的有关计算
【分析】（1）轨道圆心为
，圆的半径为1，劣弧
的长为
时，有
，由三角函数表
示出
和
的长；
（2）证明出
，则
，通过换元利用基本不等式求出最
大值.
【详解】（1）记轨道圆心为
，则
，
设劣弧
的长为
，则
，
得
，
.
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（2）由已知，
，
，
，
则
，又
，所以
，
则
，
令
，有
，.
则
，
，
因为
，当且仅当
时，取到等号，
所以铰点
距离的最大值为
.
【点睛】方法点睛：
求
的最大值时，证明
，由已知的
和
，有
，通过换元
，有
，借助基本不等式可求最大值.
同角三角函数的基本关系综合应用（共9 题）
1．（23-24 高一上·河北唐山·期末）如图，已知直线
，
分别在直线，
上，
是，
之
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间的定点，点
到，
的距离分别为，
，
.设
.
(1)用
表示边
，
的长度；
(2)若
为等腰三角形，求
的面积；
(3)设
，问：是否存在
，使得
？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)
，
；
(2)
(3)不存在
使得
【知识点】基本（均值）不等式的应用、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角
函数基本关系、三角函数定义的其他应用
【分析】
（1）根据三角函数得到
，
的长度；
（2）在（1）的基础上，得到方程，得到
，结合同角三角函数关系求出
，求
出三角形面积；
（3）得到
，由基本不等式和三角函数有界性得到
，故不存在
使得
.
【详解】（1）由题意得
，
因为
，
，
所以
，
故
，
；
（2）由（1）得，
，
，
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故
，即
，
又
，所以
，即
，
所以
；
（3）由（1）得，
，
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
又
，当且仅当
时，等号成立，
显然
与
不会同时成立，
故
，不存在
使得
.
【点睛】三角函数的思想方法常常用来解决一些与角度有关的实际问题，原因是三角函数的有界性，
且三角函数的公式众多，比如和差公式，倍角公式，半角公式等，可以很好的表达相关量的关系，
利用相关工具，解决问题
2．（23-24 高一上·山西长治·期末）已知
．
(1)若
为锐角，求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)3
【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差
角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式
【分析】（1）化简
得
，结合平方关系求出
，再利用两角差
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的余弦公式，即可求得答案；
（2）由（1）可得
，化简
为
，利用齐次式法求值，
即可得答案.
【详解】（1）由
，得
，
因为
锐角，
，所以
，
可得
；
（2）由
得
，
则
．
3．（23-24 高一上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角
的顶点与原点
重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A 点，将
绕点O 按逆时针方向旋转角
后，
终边在第二象限和单位圆交于B 点．点A 的横坐标为
，点B 的横坐标为
．
(1)求
的值；
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(2)求
的值；
(3)求
的值．
【答案】(1) ；
(2)
；
(3)
.
【知识点】二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、三角函数的化简、求值
——同角三角函数基本关系、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可；
（2）利用诱导公式，二倍角公式计算即可；
（3）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可.
【详解】（1）由题意及三角函数定义可知
，
，所以
，
由诱导公式可知
；
（2）由（1）及二倍角公式可知
，
又
，所以
，故
（负值舍去）；
（3）由题意可知
，
为第二象限角，
所以
，
所以
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，
因为
，
为第二象限角，
，
则
为第二象限角，即
，
所以
4．（23-24 高一上·广东广州·期末）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数的化简、求值——同角三角函
数基本关系
【分析】（1）由辅助角公式化简后结合正弦型函数的性质即可得；
（2）由题意结合象限可得
、
，借助二倍角公式即可得
的值.
【详解】（1）
，
则
，即函数
的最小正周期为
；
（2）
，
故
，又
，故
，
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.
5．（23-24 高一上·四川广安·期末）已知
.
(1)求
和
的值；
(2)若
为第四象限角，当
时，求函数
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——同角三角函
数基本关系、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）利用两角和的正弦与余弦公式展开化简已知等式得
，由同角三角函
数关系得
，再由二倍角正切公式可得
；
（2）由
为第四象限，可得
的值，确定二次函数
，按对称轴是否在区间内分类讨
论求最小值即可.
【详解】（1）由
得，
，
所以有
，
化简整理得
.
若
，则
，这与
矛盾，
故
，所以有
，
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则
；
（2）由
为第四象限角，得
，
故联立
，可得
，
所以
，
二次函数
的图象开口向上，对称轴为
，
由
，
，则
.
当
时，
，
在
上单调递减，在
单调递增，
则
；
当
时，
在
单调递增，
则
.
综上所述，
.
6．（23-24 高一上·江苏常州·期末）已知
．
(1)若
为奇函数，求
的值，并解方程
；
(2)解关于
的不等式
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】由奇偶性求参数、解含有参数的一元二次不等式、三角函数的化简、求值——同角三角
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函数基本关系、对数的运算性质的应用
【分析】（1）由
为奇函数，可令
，求出
的值，并根据对数运算求出
，即得方程的解集；
（2）将不等式代入化简为
，即
，分别在
三种情况下分类讨论即可.
【详解】（1）
的定义域为R，
因为
为奇函数，则
，
解得
，故
，
又
，即
，
所以函数
为奇函数，故
.
又
，即
，
解得
，即
.
（2）因为
，
，
，
关于
的不等式
可转化为
，
即
，
①当
时，
；
②当
时，
，解得
，
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③当
时，
或
，解得
或
，
，
综上，当
时，原不等式的解集为
，
当
时，原不等式的解集为
，
当
时，原不等式的解集为
.
7．（23-24 高一上·山西太原·期末）已知
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、
二倍角的正弦公式、给值求值型问题
【分析】（1）借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化为切计算即可得；
（2）结合三角函数基本关系与三角恒等变换计算即可得.
【详解】（1）
，且
，
则
；
（2）
，
，
，
，
，
则
，即
，
，
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.
8．（23-24 高一上·青海西宁·期末）已知第二象限角
满足________．请从下列三个条件中任选一
个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）
条件①：
，
是关于
的方程
的两个实根；条件②：角
终边上一点
，且
；条件③：
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、
正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）选①，结合韦达定理以及一元二次方程可得
，选②，由三角函数定义可
得
，选③，由两角差的正切公式可得
；代入
即可得解.
（2）利用诱导公式化简成
的齐次式即可得解.
【详解】（1）选择①
由于
，
是关于
的方程
的两个实根，
则
，
为第二象限角，
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解得
，
；
则
，
选②
因为角
终边上一点
，且
，
所以
，且
为第二象限角，解得
，
则点
；
所以
，
选③
因为
，
所以
，
解得
，
所以
.
（2）
.
9．（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
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【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同
角三角函数基本关系
【分析】（1）利用两角差正切公式求得
，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换
化弦为切求解即可；
（2）先利用同角三角函数关系求得
，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围
确定角的大小.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，解得
，
所以
；
（2）因为
，且
，所以
，所以
.
所以
，
又因为
，
，所以
，所以
.
诱导公式综合应用（共25 题）
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1．（23-24 高一上·山西长治·期末）已知
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数
的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式
【分析】利用诱导公式化简
的表达式，可判断A，B；利用齐次式法求值，可判断C；化
为
，求值，即可判断D.
【详解】由题意得
，A 错误，B 正确；
当
时，
，C 正确；
若
，则
，D 正确．
故选：BCD．
2．（23-24 高一上·安徽芜湖·期末）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
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【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系
【分析】利用诱导公式整体求值判断A,同角三角函数基本关系判断B,利用二倍角余弦公式判断CD.
【详解】已知
，则
,A 正确；
因为
,则
，故
，故B 错误；
，C 正确；
，故
，D 正确.
故选：ACD
3．（23-24 高一上·广东惠州·期末）已知函数
的部分图
象如图所示，
图象经过点
和点
，且
在区间
上单调，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦型函数的单调性求参数、三角
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函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据图象先确定出
的值，然后根据图象所过的点以及单调性结合分类讨论确定出
的
值，则AB 选项可判断；求出
的解析式，代入计算可判断出C 选项；计算并化简
，即可判断出D 选项.
【详解】由图象可知：
，所以
，
因为
的图象过
，所以
，
因为
，所以
或
，
因为
在区间
上单调，所以
，所以
，
①当
时，
，
因为
图象过
，所以
，所以
，
所以
，
，又
，所以
，
此时
，显然
在
附近单调递增，这与图象矛盾，故B 错误；
②当
时，
，
因为
图象过
，所以
，所以
，
所以
，
，又
，所以
，
所以
，当
时，令
，
此时
在
上单调递减，故A 正确；
因为
，故C 正确；
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因为
，
，
所以
，故D 正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的图象与性质的综合运用，对学生的分析与计算能力要求
较高，难度较大.解答本题的关键在于：分析出
取值并结合单调性求解出
的值后，要根据图象
对所得结果进行检验，排除一组
的取值，由此才可继续分析剩余选项.
4．（23-24 高一上·福建龙岩·期末）在①角
的终边与单位圆的交点为
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答
问题．
已知
，且
，_________．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的
化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】（1）选条件①：根据
满足单位圆方程求解；选条件②：根据正弦的二倍角公式，
结合同角三角函数的关系求解；选条件③：根据同角三角函数的关系求解；均可得
的值，再根据诱导公式化简即可；
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（2）根据题意可得
，再根据
，展开后根据同角三角函数的关
系结合角度范围分别求解正余弦值，从而求得
，进而根据角度范围可得
.
【详解】（1）选条件①：因为角
的终边与单位圆的交点为
，
可得
，又
为锐角，所以
，
所以由三角函数的定义可得
选条件②：
因为
，
为锐角，所以
；
又因为
，得
.
选条件③：因为
，
，
所以
得
，
又因为
为锐角，所以
，
，
.
故
；
（2）
，
由（1）
，
，
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.
.
5．（23-24 高一上·河北沧州·期末）已知角
的终边经过点
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值
——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）由三角函数定义得
，进一步结合诱导公式化简求值即可；
（2）由平方关系、商数关系化成关于
的齐次式即可求解.
【详解】（1）由条件知
，
．
（2）
．
6．（23-24 高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系xOy 中，角
的始边为
轴的非负半轴，终
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边经过第四象限内的点
，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、
诱导公式二、三、四、诱导公式五、六
【分析】（1）利用角
的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点
，得出
，求解
即可；
（2）利用诱导公式转化为
，结合三角函数定义即可求值.
【详解】（1）因为角
的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点
，
，
所以
，且
，
解得
（2）
因为
，
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所以
，
所以原式
7．（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
．
(1)化简
的解析式；
(2)若
，且
，
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的
化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式求出结果；
（2）利用三角函数的值和角的恒等变换求出结果．
【详解】（1）
（2）由于
，
故
，
所以
，
由于
，
故
，
，
，
所以
，
，
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故
，
，
故
，
所以
．
8．（23-24 高一上·安徽安庆·期末）（1）求
的值；
（2）已知
，
，求
的值．
【答案】（1）；（2）
【知识点】诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、对数的运算性质
的应用、对数的运算
【分析】（1）根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
（2）由已知条件可得
，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
【详解】（1）
（2）因为
，
所以
，
所以
，
所以
或
，即
或
，
又
，
为第二象限角，所以
，所以
；
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所以
.
9．（23-24 高一上·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系
中，角
的终边
与单位圆交于
点
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解.
（2）利用诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）由三角函数的定义知：
因为
，所以
，
所以
．
（2）因为
，
，
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，
所以
．
10．（23-24 高一上·广西柳州·期末）已知
，
(1)求
的值
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系
【分析】（1）利用同角三角函数的关系结合诱导公式求解即可.
（2）利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】（1）因为
，
又因为
，所以
.
（2）
11．（23-24 高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy 中，角
与
的顶点均为坐标原点O，
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始边均为x 轴的非负半轴．若角
的终边OP 与单位圆交于点
，将OP 绕原点O
按逆时针方向旋转
后与角
的终边OQ 重合．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、正、余弦齐次式的计算、由单位圆求三角函数值
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义结合同角三角关系可得
，
，进而
结合诱导公式运算求解；
（2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【详解】（1）由题意可知：
，
，
因为
，即
，且
，解得
，
即
，
．
又因为
，
可得
，
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．
所以
．
（2）由（1）知
，
所以
．
12．（23-24 高一上·江苏宿迁·期末）已知函数
，
．
(1)若角
顶点在坐标原点，始边为
正半轴，终边与单位圆交点的横坐标为
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、已知正（余）弦求余（正）弦、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系化简函数
的解析式，由已知条件求出
的值，
结合同角三角函数的基本关系可求得
的值；
（2）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得
的值.
【详解】（1）解：由
，
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因为
，
，
，
所以
，
因为角
的终边与单位圆交点的横坐标为
，且
，
由三角函数的定义可得
，则
，
因此，
.
（2）解：因为
，
所以
，
所以
.
13．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系
中，锐角
和钝角
的顶角与
坐标原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于
两点，且
.
(1)求
的值；
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(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、
六
【分析】（1）依题意
，利用诱导公式化简可得
；
（2）由
可得
，由同角三角函数之间的基本关系可得结果.
【详解】（1）由题意可知钝角
，
所以
.
（2）由
可得
,
即
，可得
，
即
，所以
；
可得
，即
，
解得
或
.
而
为钝角，且
，故
，故
,
故
.
14．（23-24 高一上·湖北恩施·期末）（1）已知
，求
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的值；
（2）已知
为第二象限角，
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、正、余弦齐次式的计算、sinα±cosα 和sinα·cosα 的关系
【分析】（1）利用诱导公式化简，可得
，然后把原式化成齐次式，利用以求的正切函数求值；
（2）利用同角的三角函数的基本关系求值.
【详解】解：（1）∵
，
∴由诱导公式化简得：
，
∴
，
∴
.
（2）∵
，∴
，
∴
，
∴
，
又∵
为第二象限角，∴
，
∴
，∴
.
15．（23-24 高一上·江苏连云港·期末）求值
(1)已知
是第三象限角，且
，求
的值；
(2)已知
，求
的值．
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【答案】(1)
(2)
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、三角函数
的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到
，再利用诱导公式即可求出结果；
（2）根据条件得到
，从而得到
，通过求出
，联立
，求出
，即可求出结果.
【详解】（1）因为
是第三象限角，且
，
所以
，
又
，所以
.
（2）因为
①，得到
，即
，
又
，所以
，由
，
得到
②，联立①②得到
，
所以
.
16．（23-24 高一上·陕西宝鸡·期末）已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
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(2)
或
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同
角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系化简已知等式，即可求得答案；
（2）判断角所在象限，分类讨论，根据同角三角函数关系求出
的值，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
.
得
，即
;
（2）由
，知
，则
为第一象限角或第三象限角，
代入
，得
，
当
为第一象限角时，
，
，
所以
当
为第三象限角时，
，
，
所以
综上所述，
或
17．（23-24 高一上·河北石家庄·期末）（1）计算：
：
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（2）已知
是第三象限角，且
①求
的值；
②求
的值．
（3）化简：
．
【答案】（1）
；（2）①
；②
；（3）
．
【知识点】对数的运算性质的应用、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、
二倍角的余弦公式
【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质、指数幂的运算性质化简计算即得；
（2）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得
，再根据角的象限确定
值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即得；
（3）利用二倍角公式化单角为半角，再逆用二倍角公式，最后根据角的范围去掉根号，化简即得.
【详解】（1）
．
（2）由题意可得：①
，
即
是第三象限角，
．
②
是第三象限角，
，
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（3）由
，
原式
．
18．（23-24 高一上·云南昭通·期末）已知
.
(1)化简
；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数
的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）先由
求得
，再结合二倍角公式以及两角和与差的正弦公式即可求得答
案.
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【详解】（1）∵
，
∴
，
∴
.
（2）∵
，∴
.
又
，∴
，
∴
，
，
∴
.
19．（23-24 高一上·重庆·期末）化简或计算下列各式：
(1)
；
(2)
【答案】(1)18
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、对数的运算性质的应用、指数幂的运算
【分析】（1）由指数函数和对数函数的运算性质得到结果.
（2）由半角和全角公式化简得到结果.
【详解】（1）
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（2）
20．（23-24 高一上·福建莆田·期末）（1）化简求值
（2）已知
为锐角，且满足
求
的值;
【答案】（1）
；（2）
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、对数的运算性质的应用、
对数的运算
【分析】（1）根据对数的运算法则，即可求得答案；
（2）解方程求出
，利用诱导公式化简
，结合齐次式法求值，即可得
答案.
【详解】（1）
；
（2）因为
为锐角，且满足
，
解得
，（负值舍），
故
.
21．（23-24 高一上·陕西西安·期末）（1）证明差角的余弦公式
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（2）若
，求
的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、利用平方关系求参数、由三角函数值求终边上的
点或参数
【分析】（1）在单位圆中作角
，利用三角函数定义写出相应点的坐标，再由
关系利用两点间的距离公式代入整理可证；
（2）根据整体角间的关系利用诱导公式求解可得.
【详解】（1）不妨令
.
如图，
设单位圆与
轴的正半轴相交于点
，
以
轴非负半轴为始边作角
，
则它们的终边分别与单位圆相交于点
，
，
.
连接
.若把扇形
绕着点
旋转
角，
则点
分别与点
重合.
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根据圆的旋转对称性可知，
与
重合，
从而
＝
，∴
.
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当
时，上式仍然成立.
∴对于任意角
有：
.
（2）由
，
则
；
且
；
，
故
.
22．（23-24 高一上·宁夏石嘴山·期末）已知角
为第四象限角，且角
的终边与单位圆交于点
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
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【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.
（2）利用诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）在单位圆中
，解得
，
因为
第四象限角，所以
（2）
第四象限角
.
23．（23-24 高一上·江苏常州·期末）已知集合
.
(1)判断元素
，
与集合
的关系，并说明理由；
(2)求
.
【答案】(1)
，
.
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、交集的概念及运算、判断元素与集合的关系
【分析】（1）由元素与集合的关系求解即可；
（2）由
结合诱导公式求出
，再由交集的定义求解即可.
【详解】（1）令
，解得：
，故
；
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令
，解得：
，故
；
故
，
.
（2）因为
，
，
当
为偶数，则
，
当
为奇数，则
，
所以
，所以
.
24．（23-24 高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边过点
．
(1)求
的值；
(2)已知
为锐角，
，求
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】给值求角型问题、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、由终
边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用三角函数的定义求出
的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的
值；
（2）求出
的值，利用两角差的正弦公式求出
的值，结合角
的范围可求得角
的
值.
【详解】（1）解：因为角
的终边过点
，所以
，
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则
，
，
．
．
（2）解：因为角
的终边过点
，所以
为第四象限角，即
，
又因为
为锐角，则
，可得
，
因为
，则
，
因为
，所以
．
则
．
所以
．
25．（22-23 高一上·陕西榆林·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，
所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10 米的筒车开启后
按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1 分钟，筒车的轴心O 距离水面的高度为
米.以盛水筒P 刚
浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t 秒后盛水筒P 到水面的距离为h 米（规定：若盛水筒
P 在水面下，则h 为负数）.
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(1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式
（其中
，
，
）；
(2)若盛水筒P 在
，
时刻距离水面的高度相等，求
的最小值.
【答案】(1)
，
(2)40
【知识点】几何中的三角函数模型、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数的化
简、求值——诱导公式
【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式；
（2）根据正弦方程，求解
的关系，通过分类讨论得到
的最小值.
【详解】（1）如图，过O 作
交PB 于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM.
因为筒车转一周需要1 分钟，所以筒车每秒钟转
，则
.
又因为
，
，所以
，
则
.
，
，
即
，
.
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（2）不妨设
，由题意得
，
故
，
①
，
，解得
，
，故
，当且
仅当
，
时，等号成立，
②
，
，解得
，显然当
时，
取得最小
值，最小值为
.
综上，
的最小值为40.
【点睛】思路点睛：几何中的三角函数模型, 一般应按下面几个步骤进行：一是要认真分析题意，
借助已知或画出的示意图，弄清已知量和未知量，二是找出有关的数学模型，找出直角三角形或通
过添加辅助线构造有关的直角三角形，把问题转化为求直角三角形的边或角有关问题，三是选择合
适的三角函数表示出相应的角或线段，建立起函数模型.
