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吉林油田高级中学2025-2026 学年高一上学期期初考试数学试卷
一、单选题
1．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题“
”的否定为（ ）
A．“
”
B．“
”
C．“
”
D．“
”
3．已知
，
，则
是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．若集合
，且集合
有且只有两个子集，则a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．不能确定
5．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，菜园的最大面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四
大发明”的使用情况，随机调查了100 位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80 位，使用过
扫码支付的学生共有65 位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30 位，则使用过共享单车的学
生人数为（ ）
A．65
B．55
C．45
D．35
二、多选题
8．设
为实数，且
，则下列不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知集合
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
11．已知非空数集S 满足：对任意给定的
（x、y 可以相同），有
且
．则下列选项
正确的是（ ）
A．
B．若
，且
，则
C．S 不可能是有限集
D．若S 中最小的正数为5，则
三、填空题
12．已知集合
，且
，则
的值为 .
13．下列各组函数不表示同一个函数的是 （填写序号）.
①
，
②
，
③
，
④
，
14．若不等式
对一切
恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数
.
(1)求函数的定义域；
(2)求
，
的值；
(3)当
时，求
，
的值.
16．已知不等式
的解集为
，
(1)求a，b 的值；
(2)求不等式
的解集；
(3)求不等式
的解集.
17．已知全集
，
，
.
(1)求
；
(2)若
且
，求a 的取值范围.
18．完成下列证明：
(1)已知
，
，
，求证：
；
(2)求证：
是等边三角形的充要条件是
.这里a，b，c 是
的三条边.
19．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，
但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于
基本不等式的问题.例如此题：已知
为正实数，且
，则
的最小值为_____.
其解法如下：
，当且仅当
，即
时，等号成立，因
此
的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a，b，c 为正实数，且
，求证：
；
(2)已知
，
，且
，则
的最小值是多少?
(3)某同学在解决题目“已知为正实数，
为非负实数，且
，则
的最小值是多少?”
时，给出如下解法：
令
，则
化为
.
原式
当且仅当
，即
，即
，
时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知
，
，且
，则
的最小值是多少?
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
A
B
C
AD
AD
CD
题号
11
答案
ABD
1．C
根据集合与元素的关系讨论求解即可.
【详解】解：因为
，
所以，
，
，
，
，即ABD 不正确，C 正确.
故选：C
2．D
根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.
【详解】命题“
”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“
”的否定是：
.
故选：D
3．B
根据充分条件，必要条件的定义判断.
【详解】
时，不一定满足
，充分性不成立；
而
，即
时一定满足
，必要性成立.
则
是的必要不充分条件.
故选：B
4．C
由集合
有且只有两个子集，所以有集合
只有一个元素，从而对
的首项系数进行讨论求出
参数的值.
【详解】由集合
有且只有两个子集，所以有集合
只有一个元素，
当
时，
为
满足题意.
当
时，
只有一个根，则：
，
所以
，
综上所述：
或
.
故选：C.
5．A
利用不等式的性质求代数式的范围.
【详解】由题设
，
，则
.
故选：A
6．B
设矩形的宽为m,长为
m，则
，利用基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】设矩形的宽为m，长为
，则
，则菜园面积
，
，解得
当且仅当
时取等号.
故菜园的最大面积是
.
故选：B
7．C
【解析】用集合
表示使用过共享单车的人，集合
表示使用过扫码支付的人，根据集合运算确定结果．
【详解】参数调查的所有人组成全集
，使用过共享单车的人组成集合
，使用过扫码支付的人组成集合
，
表示集合
中的元素，
由题意
，
，
，
∴
，∴
．
故选：C．
8．AD
由不等式的性质逐个判断即可.
【详解】
，所以
，A 正确，
取
，满足
，显然
不成立，B 错误；
取
，满足
，显然
不成立，C 错误；
，得
，又
，得
，
所以
，所以
，D 正确，
故选：AD
9．AD
根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断.
【详解】因为
，所以
，故A 正确；
因为
，所以
不成立，故B 错误；
因为
，所以
，故C 错误；
因为
或
，所以
，故D 正确；
故选：AD.
10．CD
分类讨论的范围即可求解.
【详解】当
时，关于实数的一元二次不等式
的解集为
；
当
时，关于实数的一元二次不等式
的解集为
;
当
时，关于实数的一元二次不等式
的解集为
;
故选：CD
11．ABD
利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D.
【详解】对于A，令是非空数集S 的元素，则
，A 正确；
对于B，由
，得
，可推得
，即
，
又
，则
，从而
，则
，因此
，B 正确；
对于C，
符合要求，此集合为有限集，C 错误；
对于D，由S 中最小的正数为5，
，可推得
，
假设里有形如
，那么
，
与5 是集合中的最小正整数矛盾，因此
，D 正确.
故选：ABD
12．或
利用元素与集合的关系确定
的值，结合元素的互异性验证.
【详解】由题意可得
或
，解得
或
或
，
当
时，
，符合题意.
当
时，
，符合题意，
当
时，
，不满足集合中元素的互异性，不符合.
综上得
或.
故答案为：或.
13．①②③
根据函数的要素，定义域和对应关系进行逐一判断.
【详解】①
的定义域为
，
的定义域是
，两者定义域不一样，不是同一函
数；
②
的定义域为
，
的定义域是
，两者定义域不一样，不是同一函数；
③
的定义域为
，
的定义域是
，两者定义域不一样，不是同一函数；
④
，
，两者定义域都是
，且
，两者对应关系也一样，是同
一函数.
故不表示同一个函数的是①②③.
故答案为：①②③
14．
分
和
两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案.
【详解】当
时，原不等式为
恒成立，则
符合题意；
当
时，需使
，解得
，
所以实数的取值范围为
.
故答案为：
15．(1)
(2)
，
(3)
，
（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域.
（2）（3）代入自变量值，计算得函数值.
【详解】（1）使根式
有意义的实数x 的集合是
，使分式
有意义的实数x 的集合是
.
所以，这个函数的定义域是
，
（2）
；
.
（3）因为
，所以
，
有意义.
；
.
16．(1)
，
；
(2)
；
(3)
或
（1）法1：
和
是方程
的两根，由韦达定理进行求解；
法2：
和
是方程
的两根，代入方程，进行求解；
（2）在（1）基础上得到不等式为
，求出不等式解集；
（3）在（1）基础上得到不等式为
，转化为一元二次不等式，求出答案.
【详解】（1）法1：依题意，
和
是方程
的两根，
由韦达定理，
，解得
，
；
法2：依题意，
和
是方程
的两根，
直接代入方程得，
，解得
，
；
（2）由（1）知
，
，
∴不等式
为
，即
，
解得：
，
不等式
的解集为
.
（3）由（1）知
，
，
∴不等式
为
，即
，
解得
或
，
不等式
的解集为
或
.
17．(1)
或
(2)
（1）根据补集、交集的知识来求得正确答案.
（2）先求得
，然后根据
是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）因为
，
，
所以
或
，
因为
，
所以
或
；
（2）因为
，
，
所以
或
，
当
时，
成立，此时
，解得
，
当
时，因为
，
所以
或
解得
，
综上，a 的取值范围为
.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）利用不等式性质证明；
（2）根据充分性与必要性定义证明即可.
【详解】（1）
，
，
又
，
，
，又
，
.
（2）先证明充分性：
由
，
即
，
所以
，
所以
，三角形为等边三角形.
然后证明必要性.
当三角形
是等边三角形时，
，所以
.
综上所述，
是等边三角形的充要条件是
.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）已知a，b，c 为正实数，
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，得证.
（2）已知
，
，则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
则
的最小值是
.
（3）已知
，
，令
，则
化为
.
原式
，
