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吉林省油田高级中学2025-2026学年高二上学期期初考试数学试卷
一、单选题
1．已知直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知点 是点 在坐标平面 内的射影，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．在直三棱柱 中， ， 分别是 的中点， ，则 与
所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．经过点 ，圆心为 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 的顶点分别为 ， ， ，则AC边上的高BD等于（ ）．
A．3 B．4
C．5 D．6
6．若直线 与直线 互相垂直，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
7．若平面 与 的法向量分别是 ， ，则平面 与 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断8．若直线 经过圆 的圆心，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 ， ，则直线 通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．下列命题正确的是（ ）
A．直线在 轴和 轴上的截距相等，则直线的斜率为
B．直线 过定点
C．若 ， 是方程 的两个实根，则点 在圆 外
D．若方程 表示圆，则正数 的取值范围是
11．如图，矩形 所在平面与正方形 所在平面互相垂直， ，G为线段AE上的动点，
则（ ）
A．若G为线段AE的中点，则 平面
B．多面体 的体积为
C．
D． 的最小值为44三、填空题
12．已知向量 ， ，若 ，则 ．
13．若直线 沿 轴向左平移3个单位长度，再沿 轴向上平移1个单位长度，所得直线与原直线重合，则
直线 的斜率是 .
14．在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
是四边形 内一点，且二面角 的平面角的大小为 ，则动点 的轨迹长度为 ．
四、解答题
15．求下列直线方程：
(1)已知直线 经过直线 和 的交点，且 到 的距离为3，求直线 的方程；
(2)求与直线 平行且到 距离为 的直线方程.
16．已知圆心为 的圆经过 ， 两点，且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程.
(2)在（1）的条件下，求 的取值范围.
17．如图，在平行六面体 中， ， .
(1)求 的长；
(2)求证：直线 平面 .
18．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 是 的中点，
作 交 于点 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求平面 与平面 的夹角的大小．
19．在空间直角坐标系 中，已知向量 ，点 .若直线l以 为方向向量且经过点
，则直线l的标准式方程可表示为 （ ）；若平面 以 为法向量且经过点
，则平面 的点法式方程表示为 .平面内任一点 在面 的两侧分
别对应 和 .
(1)已知直线 的标准式方程为 ，平面 的点法式方程可表示为 ，求直线
与平面 所成角的余弦值；
(2)已知平面 的点法式方程可表示为 ，点 与点 在平面 外的同侧，
点B在平面 内的投影点为 ，且 ，点C为平面 内任意一点，求 的最小
值；
(3)若平面 为 ，平面 与平面 的交线 为 ，且平面 与平面 所成面面角
余弦值大小为 ，求平面 的点法式方程.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B C B A B ACD BD
题号 11
答案 ACD
1．D
根据斜率定义得到答案.
【详解】直线 的斜率为 .
故选：D
2．C
先求出点 的坐标，再利用空间中两点间的距离公式即可求解.
【详解】解：因为点 是点 在坐标平面 内的射影
所以
所以
故选：C.
3．A
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量 ， ，结合向量的夹角公式，
即可求解.
【详解】以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：设 ，则 ， ， ， ，
可得 ，
设直线 与 所成的角为 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：A.
4．B
根据题意求点 与圆心 的距离即可得圆的半径，再根据圆的标准方程求解即可.
【详解】解：因为所求的圆经过点 ，且圆心为 ，
所以，所求圆的半径为 ，
所以，所求的圆的方程为：
故选：B
5．C
设 ，先表示 的坐标，进而表示 的坐标，再根据 ，求得 ，进而得到 的坐标
求解.
【详解】设 ，
则 ，
，
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
6．B
由已知条件可得出关于实数 的等式，由此可解得实数 的值.
【详解】由已知条件可得 ，解得 .
故选：B.
7．A
利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.
【详解】因为 ， 是平面 与 的法向量，
则 ，所以两法向量平行，则平面 与 平行.
故选：A
8．B
由直线过圆心得到 ，再结合乘“1”法即可求解.
【详解】由 ，可得圆心坐标 ，
因为直线 过圆心，
所以 ，即 ，
所以
（当且仅当 ，即 ）取等号，
所以 的最小值为 ，
故选：B
9．ACD
将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可.【详解】可把直线方程 化为 ，
因为 ， ，
其斜率 ，直线在 轴的截距 ，
由此可知直线通过第一、三、四象限．
故选：ACD.
10．BD
对于A，验证直线 满足条件，但斜率不为 ，即可判断，对于B，将直线方程化为
，求直线 与直线 的交点，由此确定直线 所过的
定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得 ， ，结合关系 证明
，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数 的范围，判断D.
【详解】对于A，直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，
所以直线 在 轴和 轴上的截距相等，但直线 的斜率为 ，A错误，
对于B，方程 可化为 ，
由 可得 ，
所以直线 过定点 ，B正确，
对于C，由 ， 是方程 的两个实根，可得 ， ，
所以 ，
所以点 在圆 内，C错误，
对于D，方程 表示圆，则 ，所以 ，又 ，
所以正数 的取值范围是 ，D正确，故选：BD
11．ACD
利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B.
【详解】因为矩形 所在平面与正方形 所在平面互相垂直，且两个平面的交线为 ，
，
所以 平面 ；以 为原点， 分别为 轴的正方向，建系如图，
.
对于A，G为线段AE的中点， ， ;
，设 是平面 的一个法向量，
则 ， ，令 ，则 ，即 .
因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 平面 ，A正确.
对于C， ，因为 ，所以 ，C正确.
对于D，设 ， ，
，
，
所以当 时， 取到最小值44，D正确.对于B，由正方形的性质可得 ，由题设条件可知 平面 ，
由 可得 ，
所以四棱锥 和四棱锥 的高均为 .
其体积 ，
所以多面体 的体积为 ，B不正确.
故选：ACD
12．
根据两向量垂直则它们的数量积为 ，列方程求解.
【详解】 向量 ， ， ，
则 ，解得 .
故答案为： ．
13．
设直线l的方程为 ，可得到平移后的直线方程为 ，由题意可得 ，即
可求得答案.
【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为 ，
则根据平移过程知，平移后的方程为 ，该直线与原直线重合，
则 ，则 ，
故答案为：
14． /
根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点 轨迹为平面 与平面 的交线，与 轴交点为 ，标注出相关点坐标，并求出平面 、平面 的法向量，应用向量法及面面角大小列
方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得.
【详解】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
因为二面角 的平面角大小不变，所以点 轨迹为平面 与平面 的交线，
设点 的轨迹与 轴的交点坐标为 ，又 ， ，
则 ， ， ，且平面 的一个法向量 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设 为二面角 ，即 的平面角，则 ，解得 ，
所以动点 的轨迹长度 .
故答案为：
15．(1) 或 ；
(2) 或 .
（1）设出过交点的直线系方程为为 ，结合点的直线距离列方程求参数，即可得；
（2）根据平行关系设直线为 ，利用点线距离列方程求参数，即可得.
【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为 ，即 ，∵点 到 的距离为3，
∴ ，即 ，
，或 ，
直线 的方程为 或 ；
（2）设所求直线方程为 ，
所求直线到直线 的距离为 ，
，所以 或 ，
所求直线方程为 或 .
16．(1)
(2)
（1）方法一，由圆心到 距离相等及圆心在直线 上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程；
方法二，由圆心在 垂直平分线上及直线 上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程；
（2）方法一，由不等式 结合圆的标准方程求解；方法二，设 ，将问题转化为直
线 与圆 有公共点求解.
【详解】（1）解法一：设圆心 的坐标为 .因为圆心 在直线 上，
所以 .①
因为A，B是圆上两点，所以 .
根据两点间距离公式，有 ，即 .②由①②可得 ， ，
所以圆心 的坐标是 .
圆的半径 ，
所以，所求圆的标准方程是 .
解法二：设线段 的中点为 .由A，B两点的坐标为 ， ，
可得点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，
因此，线段 的垂直平分线 的方程是 ，
即 .由垂径定理可知，圆心 也在线段 的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组 的解，解得 .
所以圆心 的坐标是 ，圆的半径 ，
所以，所求圆的标准方程是 .
（2）解法一： ，
，
，即 ，
，
的取值范围是 .
解法二：设 ，则直线 与圆 有公共点，圆心 到直线 的距离 ，
即 ， ，
的取值范围是 .
17．(1)
(2)证明见解析
（1）由题意可得 ，再平方即可得到答案；
（2）根据 ， ，可得 ， ，再利用线面垂直的判定即可证明.
【详解】（1） ，
可得
所以 ；
（2） ， ， ，
所以
，
所以 ，所以 ，
，
所以 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) .
（1）以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量坐标，再
利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理证明.
（3）求得平面 和平面 的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.
【详解】（1）在四棱锥 中， 底面 ， 底面 ，
则 ，由底面 是正方形，得 ，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，则 ，
而 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）知， ，由 ，得 ，
又 ，且 平面 ，
所以 平面 .
（3）由（1）知， ，且 ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
，而 ，则 ，
即 ，则 的一个法向量为 ，
因此 ，而 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
19．(1)
(2)
(3) 或
（1）会借助公式，从条件中得到直线的方向向量和平面的法向量，即可求解；
（2）会利用将军饮马问题的解法，来求对称点坐标，从而计算两点间距离即可；
（3）利用方程组求解思想来求法向量，然后通过取一个点来写出平面的点法式方程.
【详解】（1）由直线 的标准式方程为 可知，直线 的一个方向向量坐标为 ，
由平面 的点法式方程为 可知，平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以有 ，
所以 ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
（2）由平面 的点法式方程为 可知，平面 的法向量为 ，设点 在平面 内的投影点为 ，易知 与 共线，
故 ，又由点 在平面 上，则满足 ，
令 ，则把 代入 可得：
，解得 ，
再代入 ，即可得 ，
由点A及点B在平面 外的同侧，点C为平面 内任意一点，要求 的最小值，
利用将军饮马问题，可设点 关于平面 的对称点为 ，
则 为 中点，故由中点公式可得 ，
所以由两点间距离公式可得 ，
因为 ，所以 ，
由几何关系可知 .
（3）由平面 为 可知，平面 的法向量 ，
由交线 方程为 可知， 的方向向量 ，
设平面 的法向量 ，则有 ，
整理得 ，不妨设 ，解得 或 ；
故平面 的法向量 或
又直线 在平面 内，不妨取其上一点 ，若 ，则平面 为 ；
若 ，则平面 为
综上，平面 的点法式方程为：
