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试卷总评
2012年高考重庆卷数学文理科的特点是"稳中有降、梯度合理、试题亲切、背景公平"。
稳中有降：
1、整份试题继承了去年试题的框架结构，全面考查了《考试大纲》各部分的内容，函
数、三角函数、不等式、数列、圆锥曲线等仍是稳定的主干考点；
2、客观题（选择、填空）的压轴题都较往年降低了难度，连接解答题的难度也略低于
往年，试题面向全体考生，体现了向新课改主干知识平稳过渡。
梯度合理：
整份试题层次分明，问题设置科学、合理，对数学基础、数学水平、数学能力不同的学
生有着较好的区分度，部分试题设计巧妙，能考察学生综合分析以及继续学习的潜能，不仅
有利于优秀学生的发挥，也有利于数学中等生取得满意的成绩。
[来源:学科网]
试题亲切：全卷试题表述清晰、富有数学美感，考生审题无文字障碍；淡化特殊技巧，
回归常态，运算量适中；试题紧扣教材，对高中主干知识考察的明晰且突出，经典数学问题
的重构与改编所考察的数学思想与方法体现出了命题者的匠心独用。
背景公平：
全卷无偏、难、怪、繁的试题，体现数学应用意识的一些题目选材自然、具有生活体验，
如学生轮流投篮胜负的探讨、学校课表安排等题目，这些题目对城乡学生的审题、分析以至
于解题过程均体现出公平的认知背景，同时也较好地体现了新课改中数学文化的渗透。
值得一提的是，命题者注重文理科差异，命题具有针对性。(21道试题中有9道是同源
题目，其他均采用了不同的试题，考察体现了文理科学生的数学学习能力差异)
总之，整份试题应该说是一份对如何考查双基内容作出了完美的诠释的试题，不仅是一
份有利于高校选拔人才的试卷，更对高中数学课堂教学改革起到了风向标的引领作用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的
（1）在等差数列a 中，a =1,a =5，则a 的前5项和S =
n 2 4 n 5
（A）7 （B）15 （C）20 （D）25
【答案】：B
【解析】：2d =a -a =5-1=4, d =2，
4 2
第1页 | 共12页a =a -d =1-2=-1,a =a +3d =1+6=7
1 2 5 2
(a +a )´5 6´5
S = 1 5 = =15
5 2 2
【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，解题时要认真审题，仔细解答．
x-1
（2）不等式 £0的解集为
2x+1
æ 1 ù é 1 ù æ 1ö
（A）ç - ,1 ú （B） ê - ,1 ú （C） ç -¥,- ÷U 1,+¥ （D）
è 2 û ë 2 û è 2ø
é 1ù
-¥,- 1,+¥
ê úU
ë 2û
（3）对任意的实数k，直线y =kx+1与圆x2 + y2 =2的位置关系一定是
（A）相离 （B）相切 （C）相交但直线不过圆心 （D）相交且直线过圆心
8
æ 1 ö
（4） x + 的展开式中常数项为
ç ÷
è 2 x ø
35 35 35
（A） （B） （C） （D）105
16 8 4
【答案】B
1 1
【解析】：T =Cr( x)8-r( )r =Cr( )r( x)8-2r 令8-2r =0解得r =4展开式中常
r+1 8 2 x 8 2
第2页 | 共12页1 35
数项为T =C4( )4 =
5 8 2 8
【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项
（5）设tana,tanb是方程x2 -3x+2=0的两根，则tan(a+b)的值
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
[来源:Zxxk.Com]
【答案】：A
tana+tanb 3
【解析】：tana+tanb=3,tanatanb=2，则 tan(a+b)= = =-3
1-tanatanb 1-2
【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．
r r r r r r r r r
（6）设x,yÎR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)，且a^c,b//c，则|a+b|=
（A） 5 （B） 10 （C）2 5 （D）10
（7）已知 f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“ f(x)为[0,1]上的增函数”
是“ f(x)为[3，4]上的减函数”的
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
【答案】：D
【解析】：由 f(x)是定义在R上的偶函数及[0,1]上的增
函数可知在[-1,0] 减函数，又2为周期，所以[3，4]上的
减函数
【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性，进而来考查函数
的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．
第3页 | 共12页（8）设函数 f(x)在R上可导，其导函数为 f¢(x)，且函数y =(1-x)f¢(x)的图像如题
（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
（B）函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1)
（C）函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2)
（D）函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
2 和a，且长为a的棱与长为 2 的棱异面，则a
的取值范围是
（A）(0, 2) （B）(0, 3)
（C）(1, 2) （D）(1, 3)
【答案】：A
2 2
【解析】：BE = 1-( )2 = ，BF < BE ，AB=2BF < 2，
2 2
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．
ì 1 ü
（10）设平面点集A=í(x,y) (y-x)(y- )³0ý,B= (x,y) (x-1)2 +(y-1)2 £1 ，则
î x þ
A B所表示的平面图形的面积为
I
第4页 | 共12页3 3 4 p
（A） p （B） p （C） p （D） [来源:学§科§网]
4 5 7 2
【答案】：D
1
【解析】：由对称性：y³ x,y³ ,(x-1)2 +(y-1)2 £1围成的面积与
x [来源:学科网ZXXK]
1
y£ x,y³ ,(x-1)2 +(y-1)2 £1围成的面积相等得：A B所表示的平面图形的面积为
I
x
1 p
y£ x,(x-1)2 +(y-1)2 £1围成的面积即 ´pR2 =
2 2
5
1+ +1
n2 +5n +n n 1+1 2
=lim =lim = =
n®¥ 5n n®¥ 5 5 5
【考点定位】本题考查极限的求法和应用，因 n2 +5n -n都没有极限，可先分母有理化再
求极限；
3 5
（13）设DABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA= ,cosB= ,b=3,则
5 13
c=
14
【答案】：c=
5
第5页 | 共12页3 5 4 12 a b
【解析】：由cosA= ,cosB= ,得sinA= ,sinB= ,由正弦定理 = 得
5 13 5 13 sinA sinB
4
3´
bsinA 5 13 14
a= = = 由余弦定理a2 =c2+b2-2cbcosA得25c2-90c+56=0则c=
sinB 12 5 5
13
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值本题的突破点，然后利用正弦
定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．
25
（14）过抛物线y2 =2x的焦点F 作直线交抛物线于A,B两点，若 AB = , AF < BF ,
12
则
AF = 。
（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个
1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作
答）.
3
【答案】：
5
【解析】：语文、数学、外语三门文化课间隔1节艺术课排列有A3A3种排法，语文、数学、
3 4
外语三门文化课相邻有A4A3种排法，语文、数学、外语三门文化课两门相邻有C2A2C1C1A3
4 3 3 2 2 2 3
种排法，故所有的排法种数有2A3A3 +C2A2C1C1A3，在课表上的相邻两节文化课之间最多
3 4 3 2 2 2 3
2A3A3 +C2A2C1C1A3 3
间隔1节艺术课的概率为 p= 3 4 3 2 2 2 3 =
A6 5
6
【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法，做题时要注意体会这些方法的原理
及其实际意义．
第6页 | 共12页三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
1 3
设函数 f(x)=alnx+ + x+1，其中在aÎR，曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线
2x 2
垂直于y轴（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数 f(x)极值．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都
1 1
已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各
3 2
次投篮互不影响.[来（Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数x的分布
列与期望
13 13
【答案】：（Ⅰ） （Ⅱ）
27 9
【解析】：设A B 分别表示甲、乙在第k次投篮中，则
k, k,
1 1
p(A )= , p(B )= ,(k =1,2,3)
k 3 k 2
（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概
率计算公式知 p(C)= p(A)+ p(A B A )+ p(A B A B A )
1 1 1 2 1 1 2 2 3
第7页 | 共12页= p(A)+ p(A)p(B )P(A )+ p(A)p(B )P(A )P(B )p(A )
1 1 1 2 1 1 2 2 3
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 13
= + ´ ´ +( )2( )2´ = + + =
3 3 2 3 3 2 3 3 9 27 27
（Ⅱ）x的所有可能值为1，2，3。
1 2 1 2
由独立性知 p(x=1)= p(A)+ p(AB )= + ´ =
1 1 1 3 3 2 3
2 1 2 1 2
p(x=2)= p(A B A )+ p(A B A B )= ´ +( )2´( )2 =
1 1 2 1 1 2 2 3 2 3 2 9
2 1 1
p(x=3)= p(A B A B )=( )2´( )2 =
1 1 2 2 3 2 9
综上知，x有分布列
x 1 2 3
2 2 1
P
3 9 9
2 2 1 13
从而，Ex=1´ +2´ +3´ = （次）
3 9 9 9
【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概
率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相
互独立事件同时发生的概率公式．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）设
p
f(x)=4cos(wx- )-cos(2wx+p)其中w>0（Ⅰ）求函数y = f(x)的值域；（Ⅱ）若
6
3p p
f(x)在[- , ] 上为增函数，求w的最大值
2 2
1
【答案】：（Ⅰ）[1- 3,1+ 3]（Ⅱ）
6
3 1
【解析】：：（Ⅰ） f(x)=4( coswx+ sinwx)sinwx+cos2wx
2 2 [来源:Z*xx*k.Com]
=2 3sinwxcoswx+2sin2wx+cos2wx-sin2wx= 3sin2wx+1
因-1£sin2wx£1 ，所以函数y = f(x) 的值域为[1- 3,1+ 3]
p p
（Ⅱ）因y =sinx 在每个闭区间[2kp- ,2kp+ ] （kÎZ ）上为增函数，故
2 2
kp p kp p
f(x)= 3sin2wx+1（w>0） 在每个闭区间[ - , + ]（kÎZ ）上为增函
w 4w w 4w
数
第8页 | 共12页19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知直三棱柱ABC-ABC 中，AB=4，AC = BC =3，D为AB的中点。（Ⅰ）求点C
1 1 1
到平面AABB 的距离;（Ⅱ）若AB ^ AC，求二面角A -CD-C 的平面角的余弦值。
1 1 1 1 1 1
1
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）
3
【解析】：（Ⅰ）因AC = BC =3，D为AB的中点，得CD^ AB。又
CD^ AA 故CD^面AABB 所以C到平面AABB 的距离为
1 1 1 1 1
CD= BC2 -BD2 = 5
（Ⅱ）：如答（19）图1，取D 为AB 的中点，连接DD ，则DD // AA //CC 又由（Ⅰ）
1 1 1 1 1 1 1
知CD^ 面AABB 故CD^ AD ，CD^ DD 故ÐADD 为所求的二面角
1 1 1 1 1 1
A -CD-C 的平面角。
1 1
因AD是AC在面AABB 上的射影，又已知AB ^ AC, 由三垂线定理的逆定理得
1 1 1 1 1 1
AB ^ AD,从而ÐAAB ，ÐADA都与ÐB AB互余，因此ÐAAB =ÐADA，所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AA AB
Rt AAD≌Rt B AA，因此 1 = 1 1 ，AA2 = AD×AB =8得AA =2 2
V 1 V 1 1 AD AA 1 1 1 1
1
DD AA 6
从而A
1
D= AA
1
2 + AD2 =2 3,所以在Rt
V
A
1
DD
1
中， cosA
1
DD
1
=
AD
1 =
AD
1 =
3
1 1
第9页 | 共12页（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为
A ，左、右焦点分别为F,F ，线段OF,OF 的中
1 2 1 2
点分别为B,B ，且△ABB 是面积为4的直角三角
1 2 1 2
形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B 作直线l交椭圆于P,Q，PB ^QB ，求
1 2 2
直线l的方程
x2 y2
【答案】：（Ⅰ） + =1（Ⅱ）x+2y+2=0 和x-2y+2=0
20 4
x2 y2
【解析】：：（Ⅰ）如答（20）图，设所求椭圆的标准方程为 + =1（a>b>0），
a2 b2
右焦点为F (C,0)因 ABB 是直角三角形且| AB |=| AB | ，故ÐB AB 为直角，从而
2 V 1 2 1 2 1 2
c
|OA|=|OB |，即b= ，结合c2 =a2 -b2 得4b2 =a2 -b2 。故a2 =5b2 ，c2 =4b2
2 2
c 2 5
所以离心率e= = ，在Rt ABB 中，OA^ BB | 故
a 5 V 1 2 1 2
1
S ABB = ×|BB |×|OA|
V 1 2 2 1 2
c
=|OB |×|OA| = ×b=b2由题设条件S ABB =4得b2 =4 ，从而a2 =5b2 =20因此所
2 2 V 1 2
x2 y2
求 椭圆的的标准方程为： + =1
20 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B (-2,0),B (2,0) ，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线
1 2
PQ
第10页 | 共12页21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知{a }的前n项和S 满足
n n
S =a S +a ，其中a ¹0（Ⅰ）求证： {a }首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a >-1，
n+1 2 n 1 2 n 2
n
求证：S £ (a +a )，并给指出等号成立的充要条件。
n 2 1 n
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）当且仅当n=1,2 或a =1时等号成立
2
【解析】：（Ⅰ）由S =a S +a得a +a =a a +a ，即a =a a ，
2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 [来源:学科网]
a
因a ¹0，故a =1，得 2 =a
2 1 a 2
1
又由题设条件知S =a S +a ， S =a S +a
n+2 2 n+1 1 n+1 2 n 1
两式相减得S -S =a (S -S ) ，即a =a a 由a ¹0 ，知a ¹0 ，
n+2 n+1 2 n+1 n n+2 2 n+1 2 n+1
a a
因此 n+2 =a 综上 n+2 =a 对所有nÎN*成立，从而{a }是首项为1，公比为a 的等比
a 2 a 2 n 2
n+1 n+1
数列。
n
（Ⅱ）当n=1,2时，显然S = (a +a ) ，等号成立
n 2 1 n
第11页 | 共12页设n³3,a >-1 且a ¹0，由（Ⅰ）知a =1 ，a =an-1所以要证的不等式化为
2 2 1 n+1 2
n+1
1+a +a2 + +an-1 £ (1+an-1)(n³3)
2 2 L 2 2 2
n+1
即证：1+a +a2 + +an £ (1+an)(n³2)，当a =1 时，上面不等式的等号成立
2 2 L 2 2 2 2
当-11 时ar -1
2 2 2 L 2 2
与an-r -1(r =1,2, ,n-1) 同为正，因此当a >-1 且a ¹1 时，
2 L 2 2
总有(ar -1)(an-r -1)>0，即ar +an-r <1+an (r =1,2, ,n-1)
2 2 2 2 2 L
上面不等式对r从1到n-1 求各得2(a +a2 + +an-1)£(n-1)(1+an)
2 2 L 2 2
n+1
由此得1+a +a2 + +an £ (1+an)
2 2 L 2 2 2
n
综上，当a >-1 且a ¹0 时，有S £ (a +a )，当且仅当n=1,2 或a =1时等号成
2 2 n 2 1 n 2
立。
第12页 | 共12页
