2.1 基本不等式（讲义）
目录
1
知识点01 基本不等式................................................................................2
2
知识点02 均值定理....................................................................................3
3
题型一、直接法求和的最小值（积为定值）.........................................3
4
题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）.......................................10
5
题型三、直接法求积的最大值（和为定值）.......................................15
6
题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）.......................................19
7
题型五、“1”的替换.............................................................................24
8
题型六、换元法求最值...........................................................................30
1 知识点01 基本不等式
(1)
基本不等式1：若a，b∈R，则a
2+b
2≥2ab，当且仅当
a=b时取等号；
(2)
基本不等式2：若a>0，b>0，则a+b
2
≥❑√ab（或a+b≥2❑√ab）
当且仅当a=b时取等号。
注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”
①“一正”指正数：即a>0，b>0
②“二定”指积为定值或者和为定值（定值指的是常数）
③“三相等”指等号成立的条件：a=b时取等号
(3)
如果a>0，b>0，那么
❑√ab≤a+b
2 ，当且仅当a=b时，等号成立．
其中，a+b
2 叫作a，b的算术平均数，
❑√ab叫作a，b的几何平均数．即
正数a，b的算术平均数≥几何平均数。
(4)
常考的不等式及其变形
①a>0时，a+ 1
a ≥2
②a>0，b>0时，a
b + b
a ≥2
③a
2+b
2≥(a+b)
2
2
（沟通两和a+b与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
④ab≤a
2+b
2
2
（沟通两积ab与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
⑤ab≤(
a+b
2 )
2
（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
⑥不等式链：
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0，b>0)
即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条
件）．
2 知识点02 均值定理
已知x>0，y >0
（1）积定和最小：如果xy = P（定值），则x + y ≥2❑√xy =2❑√P（当且仅当
“x = y”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”
（2）和定积最大：如果x + y = S（定值），则xy ≤(
x + y
2 )
2
= S
2
4 （当且仅当
“x = y”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”
模型一：ax + b
x ≥2❑√ab(a>0,b>0)，当且仅当x = ❑√
b
a时等号成立.
模
型
二
：
x(n-mx)= mx(n-mx)
m
≤1
m ⋅（mx +n-mx
2
)
2= n
2
4 m (m>0,n>0,0< x< n
m )，当且仅
当x = n
2m时等号成立．
模型三：mx +
n
x -b =m( x -b)+
n
x -b +mb≥2❑√mn+mb(m>0,n>0)，当且仅当
x -b= ❑√
n
m时等号成立.
模型四：
x
a x
2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2❑√ac +b (a>0,c>0)，当且仅当x = ❑√
c
a时
等号成立.
3 题型一、直接法求和的最小值（积为定值）
1．若x>0,则x + 9
x 有（ ）
A．最小值6
B．最小值8
C．最大值8D．最大值3
【答案】A
【分析】由均值不等式计算即可得解.
【详解】由题意，x>0，由均值不等式x + 9
x ≥2❑√x⋅9
x =6，
当且仅当x = 9
x ，即x =3时等号成立，
故x + 9
x 有最小值6.
故选：A
2．如果m>0，那么当m+ 16
m 取得最小值时m 的值为（ ）
A．－4
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.
【详解】由于m>0，故m+ 16
m ≥2❑√m⋅16
m =8，当且仅当m= 16
m ，即m= 4时
取等号，
故选：B
3．已知a>0，那么a+ 4
a的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】C
【分析】应用基本不等式计算即可.
【详解】因为a>0，则a+ 4
a ≥2❑√a× 4
a = 4
当且仅当a=2时，a+ 4
a的最小值为4.
故选：C.
4．已知x>0，则x + 1
x 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】根据基本不等式直接求解即可.
【详解】因为x>0，所以x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，
当且仅当x = 1
x ，即x =1时等号成立，
所以x + 1
x 的最小值为2.
故选：A.
5．已知a 为实数，则“a+ 1
a ≥2”是“0<a≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】取a=2时a+ 1
a = 5
2 ≥2成立，故充分性不成立；
当0<a≤1时，a+ 1
a ≥2❑√a× 1
a =2，当且仅当a=1时，等号成立，
故必要性得证．
故选：B.
6．若x>0，则x + 2
x 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．2❑√2
D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】x>0，则x + 2
x ≥2❑√x⋅2
x =2❑√2，当且仅当x = 2
x ，即x = ❑√2时取等号，
所以x + 2
x 的最小值为2❑√2.
故选：C
7．若x>0，则y =2 x + 2
x 的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．4
D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为x>0，所以y =2 x + 2
x ≥2❑√2 x⋅2
x = 4，
当且仅当2 x = 2
x ，即x =1时取等号，
所以y =2 x + 2
x 的最小值是4.
故选：C
8．若x>0，则y =2 x + 2
x 的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√2
C．4
D．2
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x>0，所以y =2 x + 2
x ≥2❑√2 x⋅2
x = 4，
当且仅当2 x = 2
x ，即x =1时等号成立，
所以y =2 x + 2
x 的最小值是4.
故选：C.
9．若x>0，则x + 1
x 的最小值为（ ）
A．-2
B．-2❑√2
C．- 3
2
D．2
【答案】D
【分析】直接根据基本不等式求解即可.
【详解】若x>0，则x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，
当且仅当x = 1
x ，即x =1时取等号，
所以x + 1
x 的最小值为2.
故选：D.
10．已知x>0，则x + 9
x 的最小值是（ ）
A．3
B．2❑√6
C．6
D．0
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】因为x>0，则x + 9
x ≥2❑√x⋅9
x =6，
当且仅当x = 9
x ，即x =3时等号成立.
所以x + 9
x 的最小值是6；
故选：C.
11．函数y =3 x + 1
x
(x>0)的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．3 ❑√2
D．2❑√3
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为x>0，
所以y =3 x + 1
x ≥2❑√3 x⋅1
x =2❑√3，
当且仅当3 x = 1
x ，即x =
❑√3
3 时，等号成立.
则y =3 x + 1
x
(x>0)的最小值是2❑√3.
故选：D.
12．已知x>0，那么函数y = x + 1
x 有（ ）
A．最大值2
B．最小值2
C．最小值4
D．最大值4
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可得解.
【详解】因为x>0，
所以y = x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，
当且仅当x = 1
x ，即x =1时取等号，
所以函数y = x + 1
x 有最小值2，无最大值.
故选：B.
13．已知x>0，则25 x + 4
x 的最小值为（ ）
A．50
B．40
C．20
D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由x>0，则25 x + 4
x ≥2❑√25 x⋅4
x =20，当且仅当25 x = 4
x ，即x = 2
5时，
等号成立，故25 x + 4
x 的最小值为20．
故选：C
14．已知实数a>0，则a+ 2
a +3的最小值是（ ）
A．3 ❑√2+3 B．2❑√2+3
C．6
D．5
【答案】B
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为a>0，
所以a+ 2
a +3≥2❑√a⋅2
a +3=2❑√2+3，
当且仅当a= 2
a，即a= ❑√2，
所以a+ 2
a +3的最小值是2❑√2+3.
故选：B.
15．已知x>0，则x -1+ 4
x 的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．3
D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】当x>0时，x -1+ 4
x ≥2❑√x⋅4
x -1=3，当且仅当x =2时取等号，
所以x -1+ 4
x 的最小值为3.
故选：C
16．已知a>0，则a+1+ 4
a的最小值为（ ）
A．-1
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为a>0，根据基本不等式可得a+1+ 4
a =a+ 4
a +1≥2❑√a⋅4
a +1=5，
当且仅当a= 4
a，即a=2时，等号成立；
所以a+1+ 4
a的最小值为5，
故选：D.
17．已知a>0，则a+ 1
a +1的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】用基本不等式求解即可.
【详解】因为a>0，
所以a+ 1
a +1≥2❑√a⋅1
a +1=3，当且仅当a= 1
a即a=1时取等号；
故选：B
18．设a>0，则a+ a+ 4
a 的最小值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5
【答案】D
【分析】变形后，由基本不等式进行求解.
【详解】因为a>0，所以a+ a+ 4
a
=a+ 4
a +1≥2❑√a⋅4
a +1=5，
当且仅当a= 4
a，即a=2时，等号成立，
故选：D
19．已知x>0，则x + 4
x +1的最小值为（ ）
A．❑√2+1
B．2❑√2+1
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】由x>0可知，利用基本不等式可得x + 4
x +1≥2❑√x⋅4
x +1=5，
当且仅当x =2时，等号成立，
即x + 4
x +1的最小值为5.
故选：D
20．如果x>0，那么4 x + 1
x +1的最小值是（ ）
A．4
B．1
4
C．5
D．1
2
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求和的最小值.
【详解】∵x>0,
∴4 x + 1
x +1≥2❑√4 x⋅1
x +1=5,
当且仅当4 x = 1
x ，即x = 1
2时取等号.
故选：C.
21．若x>0，则x + 4
x -2有（ ）
A．最小值1
B．最小值2
C．最大值1
D．最大值2
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】解：∵x>0，
∴x + 4
x -2≥2❑√x⋅4
x -2=2，
当且仅当x = 4
x ，x =2时取等号．
因此x + 4
x -2的最小值为2．
故选：B．
4 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）
1．函数f ( x)= x +
1
x -1 ( x>1)的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据基本不等式求和的最小值.
【详解】因为x>1，所以x -1>0，
所以f (x)= x +
1
x -1 =(x -1)+
1
x -1 +1 ≥2❑√
(x -1)⋅
1
x -1 +1 =3，
当且仅当x -1=
1
x -1即x =2时取“=”.
故选：B
2．若x>1，则函数y =2 x +
8
x -1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若x>1，则x -1>0，
所以函数y =2(x -1)+
8
x -1 +2≥2❑√2(x -1)
8
x -1 +2=10，
当且仅当2(x -1)=
8
x -1即x =3时等号成立.
故选：C.
3．已知a≥0，则a+ 16
a+ 4 的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】原式可变为[(a+ 4)+ 16
a+ 4]- 4，利用基本不等式求解.
【详解】由a+ 16
a+ 4 =[(a+ 4)+ 16
a+ 4]- 4≥2❑√
(a+ 4)× 16
a+ 4 - 4 = 4，
当且仅当a+ 4 = 16
a+ 4时取等号，可得a=0.可得a+ 16
a+ 4的最小值为4，
故选：A.
4．已知x>1，则2-（3 x +
4
x -1 ）的最大值是（ ）
A．- 4 ❑√3+1
B．- 4 ❑√3-1
C．-1-2❑√3
D．1-2❑√3
【答案】B
【分析】由2-3 x -
4
x -1 =-1-[3(x -1)+
4
x -1]，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为 x>1，
所以2-3 x -
4
x -1 =-1-[3(x -1)+
4
x -1]，
≤-1-2❑√3(x -1)⋅
4
x -1 =-1- 4 ❑√3，
当且仅当3(x -1)=
4
x -1，即x =1+ 2❑√3
3 时，等号成立；
所以2-3 x -
4
x -1的最大值是- 4 ❑√3-1，
故选：B
5．已知x>- 4，则2 x +
1
x + 4的最小值为（ ）
A．2❑√2-8
B．2❑√2+8
C．2❑√2
D．2❑√2+ 4
【答案】A
【分析】将原式化为2(x + 4)+
1
x + 4 -8，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x>- 4，所以x + 4>0，
所以2 x +
1
x + 4 =2(x + 4)+
1
x + 4 -8≥2❑√2-8，
当且仅当2(x + 4)=
1
x + 4 ，即x =
❑√2
2 - 4时等号成立，
所以2 x +
1
x + 4的最小值为2❑√2-8.
故选：A.
6．已知a>1，则a+
4
a-1的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．5
D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求得结果.
【详解】因为a>1，所以a-1>0，
则a+
4
a-1 =a-1+
4
a-1 +1≥2❑√
(a-1)×
4
a-1 +1=2×2+1=5，
当且仅当a-1=
4
a-1，解得：a=-1（舍）或a=3时，等号成立.
故选：C
7．已知x>4，则函数y =
1
x - 4 + 4 x的最小值是（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于x>4，所以x - 4>0，所以
y =
1
x - 4 + 4 (x - 4)+16≥2❑√
1
x - 4 ⋅4 (x - 4)+16=20，
当且仅当1
x - 4 = 4 (x - 4)，即x = 9
2时等号成立，所以函数y =
1
x - 4 + 4 x的最小
值是20，
故选：D.
8．若x∈R且x<1，则4 x +
1
x -1的最大值为（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．8
【答案】B
【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子
4 x +
1
x -1配凑完再提个负号即可得到结果.
【详解】因为x<1，所以x -1<0，即1- x>0，
4 x +
1
x -1 = 4 x - 4 +
1
x -1 + 4 =-(4 - 4 x +
1
1- x)+ 4 ≤-2❑√
(4 - 4 x)×
1
1- x + 4 =0，
当且仅当4 - 4 x =
1
1- x ，解得：x = 1
2或x = 3
2（舍），即当x = 1
2时，等号成立.
故选：B
9．已知x>7，则x +
1
x -7的最小值为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．10
【答案】B
【分析】构造后应用基本不等式即可求解.
【详解】因为x>7，所以x +
1
x -7 = x -7+
1
x -7 +7≥2❑√
(x -7)×(
1
x -7)+7=9
当且仅当x =8时，取x +
1
x -7的最小值9.
故选：B.
10．已知x>3，则x +
2
x -3的最小值为（ ）
A．2❑√2+3 B．2❑√2-3
C．2❑√2
D．4
【答案】A
【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：因为x>3，所以x -3>0，
所以x +
2
x -3 = x -3+
2
x -3 +3≥2❑√
(x -3)×
2
x -3 +3=3+2❑√2，
当且仅当x -3=
2
x -3时，即x =3+ ❑√2时等号成立，
所以函数x +
2
x -3的最小值是3+2❑√2.
故选：A
11．已知a>1，则2a+
1
2a-2的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为a>1，所以a-1>0，
所以2a+
1
2a-2 =2(a-1)+
1
2(a-1) +2≥2❑√
2(a-1)⋅
1
2(a-1) +2= 4，
当且仅当2(a-1)=
1
2(a-1)，即a= 3
2时取等号，
所以2a+
1
2a-2的最小值是4.
故选：B
12．设x>0,则y =3-（3 x + 1
x ）的最大值为（ ）
A．3
B．3-3❑√2
C．3-2❑√3
D．-1
【答案】C
【分析】根据基本不等式求出最值.
【详解】当x>0，则y =3-(3 x + 1
x)≤3-2❑√3 x⋅1
x =3-2❑√3，
当且仅当3 x = 1
x ，即x =
❑√3
3 时，等号成立.
故选：C
13．将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ）
A．7
B．4 ❑√3
C．3 ❑√3
D．2❑√3
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得这两个正数和的最小值.
【详解】设这两个正数分别为x、y，则xy =12，
由基本不等式可得x + y ≥2❑√xy =2❑√12= 4 ❑√3，
当且仅当¿时，即当x = y =2❑√3时，等号成立，
因此，这两个正数和的最小值为4 ❑√3.
故选：B.
5 题型三、直接法求积的最大值（和为定值）
1．若x>0，y >0，且x + 4 y =1，则xy的最大值是（ ）
A．1
32
B．1
16
C．1
4
D．1
2
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于1= x + 4 y ≥4 ❑√xy，则xy ≤1
16，
当且仅当x = 4 y = 1
2时等号成立.
故选：B
2．已知a，b为正实数，2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．1
4
B．1
9
C．1
12
D．1
8
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解.
【详解】因为a>0,b>0，2a+b=1，
所以ab= 1
2 ×2ab≤1
2(
2a+b
2 )
2
= 1
8，
当且仅当2a=b，即a= 1
4 ,b= 1
2时，等号成立.
故选：D
3．若正实数x、y满足x + y =2，则1
xy 的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得1
xy 的最小值.
【详解】因为正实数x、y满足x + y =2，则
1
xy ≥
1
(
x + y
2 )
2 =1
，
当且仅当¿时，即当x = y =1时，等号成立，
故1
xy 的最小值为1.
故选：B.
4．设x , y >0且x +2 y = 40，则2 xy的最大值是（ ）
A．400
B．100
C．40
D．20
【答案】A
【分析】直接用基本不等式求解即可.
【详解】因为x , y >0
所以x +2 y ≥2❑√2 xy
即40≥2❑√2 xy
所以2 xy ≤400
当且仅当x =2 y且x +2 y = 40，即x =20, y =10时等号成立.
故选：A
5．若a>0,b>0且2a+b=1，则1
ab的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】直接利用基本不等式即可得到答案.
【详解】若a>0,b>0，则 2a+b=1≥2❑√2ab，则ab≤(2a+b)
2
8
，
则
1
ab ≥
1
(2a+b)
2
8
= 1
1
8
=8
，当且仅当a= 1
4 ,b= 1
2时等号成立.
故选：D.
6．下列函数的最值中错误的是（ ）
A．x + 1
x 的最小值为2
B．已知x>0，2-3 x - 4
x 的最大值是2- 4 ❑√3
C．已知x>1，x +
1
x -1的最小值为3
D．❑√x (10- x)的最大值5
【答案】A
【分析】举例x =-1，判断A 选项；利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】当x =-1时，x + 1
x =-2，故命题错误，A 符合题意；
当x>0时，2-3 x - 4
x =2-(3 x + 4
x )≤2-2❑√3 x⋅4
x =2- 4 ❑√3，
当且仅当3 x = 4
x ，即x = 2❑√3
3 时取等号，命题正确，B 不符合题意；
当x>1时，x -1>0，则x +
1
x -1 = x -1+
1
x -1 +1≥2❑√
(x -1)
1
x -1 +1=3，
当且仅当x -1=
1
x -1，即x =2时取等号，故命题正确，C 不符合题意；
由题意，0≤x ≤10，则
❑√x (10- x)≤x +(10- x)
2
=5，
当且仅当x =10- x，即x =5时取等号，故命题正确，D 不符合题意.
故选：A
7．已知a>0,b>0，a+2b= 4，则ab的最大值是（ ）
A．4
B．1
4
C．2
D．1
2
【答案】C
【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为a>0,b>0，a+2b= 4，得到4≥2❑√2ab，即
❑√ab≤❑√2，
当且仅当a=2b且a+2b= 4，即a=2,b=1时取等号，所以ab≤2，
故选：C.
8．已知4 a
2+b
2=6，则ab的最大值为（ ）
A．3
4
B．3
2
C．5
2
D．3
【答案】B
【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可.
【详解】由题意得，6= 4 a
2+b
2=(2a)
2+b
2≥2⋅2a⋅b，即ab≤3
2，
当且仅当2a=b，即a=
❑√3
2 ,b= ❑√3或a=-
❑√3
2 ,b=- ❑√3时等号成立，
所以ab 的最大值为3
2，
故选：B
9．已知m>0，n>0，若m+n=2，则（ ）
A．mn 的最大值为1
B．mn 的最大值为2
C．mn 的最小值为1
D．mn 的最小值为2
【答案】A
【分析】利用基本不等式求乘积的最值.
【详解】由m>0，n>0，则m+n=2≥2❑√mn，即0<mn≤1，当且仅当m=n=1
时取等号，
所以mn 的最大值为1，没有最小值.
故选：A
10．已知x>0, y >0,2 x + y =1，则xy的最大值是（ ）
A．2
25
B．1
12
C．1
9
D．1
8
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求得xy的最大值.
【详解】2 xy ≤(
2 x + y
2 )
2
= 1
4 ，∴xy ≤1
8，
当且仅当2 x = y，即x = 1
4 , y = 1
2时，取等号.
故选：D.
11．已知x , y都为正数，且2 x + y =1，则2 xy的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．1
16
D．2
9
【答案】B
【分析】由基本不等式进行求解即可.
【详解】x , y都为正数，2 x + y =1，
由基本不等式得2 xy ≤(2 x + y)
2
4
= 1
4 ，当且仅当2 x = y，即x = 1
4 , y = 1
2时，等
号成立，
故答案为：1
4
12．已知a>0，b>0，a+b= 4，则ab的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．不存在
【答案】C
【分析】应用基本不等式计算求解即可.
【详解】由基本不等式得：ab≤(
a+b
2 )
2
= 4，当且仅当a=b=2时取等号，C
正确．
故选：C.
6 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）
1．若0< x< 1
2，则❑√x (1-2 x)的最大值是（ ）
A．1
4
B．
❑√2
4
C．1
2
D．
❑√2
2
【答案】B
【分析】利用基本不等式求积的最大值.
【详解】由题意
❑√x (1-2 x)= ❑√
1
2 ×2 x(1-2 x)≤1
❑√2 × 2 x +1-2 x
2
=
❑√2
4 ，
当且仅当2 x =1-2 x⇒x = 1
4 时等号成立.
所以
❑√x (1-2 x)的最大值是
❑√2
4 .
故选：B
2．若0< x<8，则❑√x (8- x)的最大值是（ ）
A．2❑√2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为0< x<8，可得8- x>0，则
❑√x (8- x)≤x +(8- x)
2
= 4，
当且仅当x =8- x时，即x = 4时，等号成立，所以
❑√x (8- x)的最大值为4.
故选：B.
3．已知0< x<1，则2 x(3-3 x)的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．3
2
D．3
4
【答案】C
【分析】利用基本不等式的变形ab≤(
a+b
2 )
2
求解出最大值.
【详解】由题意可知，当0< x<1时，3-3 x>0，
∴2 x (3-3 x)= 2
3 ×3 x×(3-3 x)≤2
3(
3 x +3-3 x
2
)
2
= 2
3 × 9
4 = 3
2，
当且仅当3 x =3-3 x，即x = 1
2时取等号，
∴最大值为3
2，
故选：C.
4．已知0< x< 2
3，则x (2-3 x)的最大值是（ ）
A．1
3
B．1
4
C．2
9
D．1
6
【答案】A
【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解.
【详解】已知0< x< 2
3，
则x (2-3 x)= 1
3 ×(3 x)(2-3 x)
≤1
3 ×(
3 x +2-3 x
2
)
2
= 1
3.
当且仅当3 x =2-3 x，即x = 1
3等号成立.
故x (2-3 x)的最大值是1
3.
故选：A
5．已知0< x<2，则3 x (2- x)的最大值是（ ）
A．-3
B．3
C．1
D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式，直接计算即可.
【详解】3 x (2- x) ≤3× 1
4 [x +(2- x)]
2=3，当且仅当x =2- x，即x =1取得等
号，满足题意.
故选：B.
6．已知10> x>0，则2- ❑√x (10- x)的最小值为（ ）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0
【答案】A
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为10> x>0，故x +(10- x)≥2❑√x (10- x)，即
❑√x (10- x)≤5，
当且仅当x =5时，等号成立，所以2- ❑√x (10- x)≥2-5=-3.
故选：A.
7．函数y = ❑√x (10- x)(0≤x ≤10)的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】∵0≤x ≤10，∴10- x ≥0，∴❑√x (10- x)≤x +10- x
2
=5，
当且仅当x =10- x，即x =5时，等号成立.
所以函数y = ❑√x (10- x)(0≤x ≤10)的最大值为5，
故选：B.
8．已知x>1，y >0，x + y =2，则(x -1)⋅y的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．4
9
D．1
【答案】A
【分析】根据题意可得x -1>0，y >0，(x -1)+ y =1，利用基本不等式求最
值.
【详解】因为x>1，y >0，x + y =2，则x -1>0，(x -1)+ y =1，
可得(x -1)⋅y ≤[(x -1)+ y]
2
4
= 1
4，当且仅当x -1= y，即x = 3
2 , y = 1
2时，等号
成立，
所以(x -1)⋅y的最大值是1
4.
故选：A.
9．❑√
❑√x (2- ❑√x)的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】确定x 的范围，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】要使根式有意义，则
❑√x(2- ❑√x)≥0，解得0≤x ≤4，则
❑√x ≥0,2- ❑√x ≥0，
又
❑√
❑√x(2- ❑√x)≤
❑√x +2- ❑√x
2
=1，当且仅当x =1时取等号，
则
❑√
❑√x (2- ❑√x)的最大值为1．
故选：B
10．已知0< x< 1
2，求y = 1
2 x (1-2 x)的最大值为（ ）
A．1
16
B．1
8
C．1
4
D．1
2
【答案】A
【分析】根据题意整理可得y = 1
4 [2 x (1-2 x)]，利用基本不等式运算求解即
可.
【详解】因为0< x< 1
2，则1-2 x>0，
可得y = 1
2 x (1-2 x)= 1
4 [2 x (1-2 x)]≤1
4 × [2 x +(1-2 x)]
2
4
= 1
16，
当且仅当2 x =1-2 x，即x = 1
4时，等号成立，
所以y = 1
2 x (1-2 x)的最大值为1
16.
故选：A.
11．若0< x< 1
2，则x(1-2 x)的最大值是（ ）
A．1
8
B．1
16
C．- 1
8
D．- 1
4
【答案】A
【分析】利用基本不等式求积的最大值.
【详解】由0< x< 1
2 ⇒1-2 x>0，则
x(1-2 x)= 1
2 ×2 x(1-2 x)≤1
2 × (2 x +1-2 x)
2
4
= 1
8，
当且仅当2 x =1-2 x⇒x = 1
4 时等号成立，故原式最大值为1
8.
故选：A
12．若1≤x ≤4，则❑√(6- x)(x +2)的最大值为（ ）
A．4
B．❑√15
C．2❑√3
D．2
【答案】A
【分析】先判断6- x , x +2的正负，然后利用基本不等式求解出最大值.
【详解】因为1≤x ≤4，所以6- x>0, x +2>0，
所以
❑√(6- x)(x +2)≤6- x + x +2
2
= 4，
当且仅当6- x = x +2，即x =2时取等号，
所以
❑√(6- x)(x +2)的最大值为4，
故选：A.
13．已知0<a<❑√2，则a
❑√2-a
2的最大值为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．1
D．❑√2
【答案】C
【分析】由a
❑√2-a
2=
❑√a
2(2-a
2)，然后利用基本不等式求最大值．
【详解】因为0<a<❑√2，所以2-a
2>0，
所以a
❑√2-a
2=
❑√a
2(2-a
2)≤a
2+(2-a
2)
2
=1，当且仅当a
2=2-a
2即a=1时取等号，
所以a
❑√2-a
2的最大值为1.
故选：C.
14．已知0< x< 1
3，则函数y = x(1-3 x)的最大值为（ ）
A．1
12
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【答案】A
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】当0< x< 1
3时，
y = x(1-3 x)= 1
3 ⋅3 x⋅(1-3 x)≤1
3 ⋅(
3 x +1-3 x
2
)
2
= 1
12，
当且仅当3 x =1-3 x，即x = 1
6时等号成立，
所以0< x< 1
3时，y = x(1-3 x)的最大值为1
12，
故选：A.
15．已知0< x<2，求❑√
x(1- x
2)的最大值为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．1
4
D．
❑√2
4
【答案】B
【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解.
【详解】因为0< x<2，所以x>0,1- x
2 >0，
所以❑√
x(1- x
2)= ❑√
2× x
2 ×(1- x
2)= ❑√2×❑√
x
2(1- x
2)≤❑√2×
x
2 +(1- x
2)
2
=
❑√2
2
，
当且仅当x
2 =1- x
2，即x =1时等号成立，
因此
❑√
x(1- x
2)取到最大值
❑√2
2 ．
故选：B.
7 题型五、“1”的替换
1．若正数x、y满足x + y =1，则1
x + 1
y 的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】将代数式x + y与1
x + 1
y 相乘，展开后利用基本不等式可求得1
x + 1
y 的
最小值.
【详解】因为正数x、y满足x + y =1，
则1
x + 1
y =(x + y)(
1
x + 1
y)=2+ x
y + y
x ≥2+2❑√
x
y ⋅y
x = 4，
当且仅当¿时，即当x = y = 1
2时，等号成立，
因此，1
x + 1
y 的最小值为4.
故选：B.
2．已知实数a>0,b>0，且a+b=1，则1
2b + 2
a - 1
2的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．2❑√2
D．2
【答案】A
【分析】根据基本不等式的“1”的妙用求解.
【详解】1
2b + 2
a =(
1
2b + 2
a)(a+b)=2+ 1
2 + 2b
a + a
2b = 5
2 + 2b
a + a
2b，
于是1
2b + 2
a - 1
2 =2+ 2b
a + a
2b ≥2+2❑√
2b
a × a
2b = 4，
当2b
a = a
2b，即a=2b时取等号，
结合a+b=1，即a= 2
3 ,b= 1
3时，1
2b + 2
a - 1
2的最小值是4.
故选：A
3．已知m>0,n>0,2m+n=1，则1
4 m + 2
n的最小值为（ ）
A．4
B．2❑√2
C．9
2
D．16
【答案】C
【分析】根据1
4 m + 2
n =(
1
4 m + 2
n)(2m+n)，配凑出符合基本不等式的形式，
利用基本不等式可求得最小值.
【详解】因为m>0,n>0,2m+n=1，
所以1
4 m + 2
n =(
1
4 m + 2
n)(2m+n)= 1
2 +2+ n
4 m + 4 m
n ≥5
2 +2❑√
n
4 m × 4 m
n = 9
2，
当且仅当n
4 m = 4 m
n ，即n= 2
3 ,m= 1
6时等号成立，
所以1
4 m + 2
n的最小值为9
2.
故选：C.
4．已知任意正实数x，y 满足1
x + 4
y =1，则x + y
2 的最小值是（ ）
A．3+2❑√2
B．4 ❑√2
C．5
D．3+ ❑√2
【答案】A
【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式即可求最值.
【详解】因为1
x + 4
y =1，所以x + y
2 =(x + y
2)(
1
x + 4
y)=1+ 4 x
y + y
2 x +2，
又x>0, y >0，所以4 x
y >0, y
2 x >0，则由基本不等式可得：
x + y
2 = 4 x
y + y
2 x +3≥2❑√
4 x
y × y
2 x +3=3+2❑√2，
当且仅当4 x
y = y
2 x ，即x = ❑√2+1, y = 4 +2❑√2时，等号成立.
因此，x + y
2 的最小值是3+2❑√2.
故选：A.
5．已知正实数x , y满足3 x + y =2 xy，则x +3 y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】将已知变形为3
y + 1
x =2，再利用基本不等式乘“1”的方法求最值.
【详解】∵3 x + y =2 xy ,∴3
y + 1
x =2．
∴x +3 y = 1
2
(x +3 y)(
1
x + 3
y)= 1
2(10+ 3 x
y + 3 y
x )≥1
2 (10+2❑√9)=8．
当且仅当3 x
y = 3 y
x ，即x = y =2时，等号成立．
故选：C．
6．设x>0，y >0，1
x +2 y =2，则2 x + 1
y 的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．4
C．3 ❑√2
D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】由题可得：1
2 x + y =1，x>0，y >0，
所以2 x + 1
y =(2 x + 1
y)(
1
2 x + y)=1+2 xy + 1
2 xy +1≥2+2❑√2 xy × 1
2 xy = 4，
当且仅当¿即¿时取等号，故2 x + 1
y 的最小值为4.
故选：B.
7．已知x∈(0,5)，则1
x + 16
5- x 的最小值为（ ）
A．25
B．6
C．10
D．5
【答案】D
【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值.
【详解】由题意得5- x>0，
则1
x + 16
5- x = 1
5(
1
x + 16
5- x)(x +5- x)
= 1
5(
5- x
x
+ 16 x
5- x +17)≥ 1
5(2❑√
5- x
x
⋅16 x
5- x +17)=5，
当且仅当5- x
x
= 16 x
5- x ，即x =1时，等号成立．
故1
x + 16
5- x 的最小值为5．
故选：D
8．已知x>0, y >0, x +2 y =1，则1- y
xy 的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．6
C．4+2❑√2
D．3+2❑√2
【答案】D
【分析】化简1- y
xy ，然后利用“1的代换”的方法求最值.
【详解】1- y
xy = x +2 y - y
xy
= x + y
xy = 1
x + 1
y
=(
1
x + 1
y)(x +2 y)=3+ 2 y
x + x
y ≥3+2❑√
2 y
x ⋅x
y =3+2❑√2，
当且仅当2 y
x = x
y , x = ❑√2 y = ❑√2-1时等号成立.
故选：D
9．设a>0，b>0，若a+b= 4，则9
a + 1
b的最小值为（ ）
A．4
B．9
4
C．25
4
D．8
【答案】A
【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解.
【详解】∵a>0,b>0，a+b= 4，
∴9
a + 1
b = 1
4
(a+b)(
9
a + 1
b)= 1
4(10+ 9b
a + a
b)≥1
4(10+2❑√
9b
a × a
b)= 4，
当且仅当9b
a = a
b，即a=3,b=1时等号成立，
所以9
a + 1
b的最小值为4.
故选：A.
10．已知m>0，n>0，且m+n=mn，则4 m+n的最小值为（ ）．
A．9
B．8
C．6
D．5
【答案】A
【分析】依题意可得1
m + 1
n =1，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为m>0，n>0，且m+n=mn，
所以1
m + 1
n =1，
所以4 m+n=(4 m+n)(
1
m + 1
n)= n
m + 4 m
n +5≥2❑√
n
m ⋅4 m
n +5=9，
当且仅当n
m = 4 m
n ，即m= 3
2，n=3时取等号.
故选：A
11．已知正数x , y，满足1
x + 2
y =1，则2 x + y的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解.
【详解】因为正数x , y满足1
x + 2
y =1，
则2 x + y =(2 x + y)(
1
x + 2
y)=2+ 4 x
y + y
x +2≥2❑√
4 x
y × y
x + 4 =8，
当且仅当y
x = 4 x
y 即x =2, y = 4时取等号，
所以2 x + y的最小值是8.
故选：A.
12．已知x>0, y >0, x + y =1，则1
x + x
y 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．1
D．3
【答案】D
【分析】利用“1”代换及基本不等式计算可得.
【详解】因为x>0, y >0, x + y =1，
所以1
x + x
y = x + y
x
+ x
y =1+ y
x + x
y ≥1+2❑√
y
x ⋅x
y =3，
当且仅当y
x = x
y ，即x = y = 1
2时取等号.
故选：D
13．已知正数a，b，满足a+b=1，则9a+b
ab
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．16
D．25
【答案】C
【分析】将分式化简，根据“1”的妙用可求出最值.
【详解】因为9a+b
ab
= 9
b + 1
a，a+b=1，
所以(
9
b + 1
a)×1=(
9
b + 1
a)(a+b)= 9a
b + b
a +10，
因为a，b 均为正数，所以9a
b ，b
a也为正数，
则9a
b + b
a +10≥2❑√
9a
b ⋅b
a +10=16，
当且仅当9a
b = b
a即a= 1
4 ,b= 3
4时，等号成立，此时9a+b
ab
的最小值为16.
故选：C.
14．已知a>b>0且a
2 + 3b
2 =1，则1
a + 1
b的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．2+ ❑√3
D．4+2❑√3
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由题意可得a>b>0且a
2 + 3b
2 =1，
所以1
a + 1
b =(
1
a + 1
b)(
a
2 + 3b
2 )=2+ 3b
2a + a
2b ≥2+2❑√
3b
2a ⋅a
2b =2+ ❑√3，
当且仅当3b
2a = a
2b，即a= ❑√3b时,即¿时等号成立.
故选：C
15．已知实数x>0, y >0，且2 x + y =1，则1
x + 2
y 的最小值为（ ）
A．4+ 4 ❑√2B．8 ❑√2
C．8
D．12
【答案】C
【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值．
【详解】由x>0, y >0，2 x + y =1，
则1
x + 2
y =(
1
x + 2
y)(2 x + y)= 4 + y
x + 4 x
y ≥4 +2❑√
y
x ⋅4 x
y =8，
当且仅当y
x = 4 x
y ，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成立，
所以1
x + 2
y 的最小值为8.
故选：C.
8 题型六、换元法求最值
1．若x>-1，则2 x
2+ 4 x + 4
x +1
的最小值为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值．
【详解】解：由题意得，y = 2 x
2+ 4 x + 4
x +1
= 2( x +1)
2+2
x +1
=2( x +1)+
2
x +1，
∵x>-1, x +1>0，
∴2( x +1)+
2
x +1 ≥2❑√2( x +1)⋅
2
x +1 = 4，当且仅当2( x +1)=
2
x +1时取等号，
即x =0，
则函数的最小值是4，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定
值，注意三个条件的验证，属于基础题．
2．若x⩾7
2，则f ( x)= x
2-6 x +10
x -3
有（ ）
A．最大值5
2
B．最小值5
2
C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【分析】构造基本不等式f ( x)=(x -3)+
1
x -3即可得结果.
【详解】∵x ≥7
2，∴x -3>0，
∴f ( x)= x
2-6 x +10
x -3
= (x -3)
2+1
x -3
=(x -3)+
1
x -3 ≥2❑√
(x -3)×
1
x -3 =2，
当且仅当x -3=
1
x -3，即x = 4时，等号成立，即f (x)有最小值2.
故选：D.
【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
3．若函数f (x)= x
2-2 x + 4
x -2
(x>2)在x =a处取最小值，则a=（ ）
A．1+ ❑√5
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】由x -2>0，而f (x)= x -2+
4
x -2 +2，利用基本不等式可求出最小值，
结合等号取得的条件可求出a的值.
【详解】由题意，x -2>0，而
f (x)= x
2-2 x + 4
x -2
= (x -2)
2+2(x -2)+ 4
x -2
= x -2+
4
x -2 +2 ≥2❑√
(x -2)×
4
x -2 +2=6，当
且仅当x -2=
4
x -2，即x = 4时，等号成立，
所以a= 4.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基
础题.
4．函数y = x
2+3 x +3
x +1
( x<-1)的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1
【答案】D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
∵ y = x
2+3 x +3
x +1
= ( x +1)
2+( x +1)+1
x +1
=-[-( x +1)+
1
-( x +1) ]+1
≤-2❑√[-( x +1)](-
1
x +1 )+1=-1，
当且仅当x +1=
1
x +1 =-1,即x =-2等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等
号成立的条件.
5．函数f ( x)= x
2+ x +1
x -1
（x>1）的最小值为（ ）
A．2❑√3
B．3+2❑√3
C．2+2❑√2
D．5
【答案】B
【分析】将函数化简变形为
f ( x)= x
2+ x +1
x -1
= ( x -1)
2+3( x -1)+3
x -1
=( x -1)+
3
x -1 +3，然后利用基本不等式求
解即可
【详解】解：因为x>1，所以x -1>0，
所以
f ( x)= x
2+ x +1
x -1
= ( x -1)
2+3( x -1)+3
x -1
=( x -1)+
3
x -1 +3≥2❑√( x -1)⋅
3
x -1 +3=2❑√3+3，
当且仅当x -1=
3
x -1，即x = ❑√3+1时取等号，
所以函数f ( x)= x
2+ x +1
x -1
（x>1）的最小值为3+2❑√3，
故选：B
6．若-1< x<1 ，则y = x
2-2 x +2
2 x -2
有（ ）
A．最大值-1
B．最小值-1
C．最大值1
D．最小值1
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因-1< x<1，则0<1- x<2，
于是得y =- 1
2 ⋅(1- x)
2+1
1- x
=- 1
2 [(1- x)+
1
1- x ]≤- 1
2 ⋅2❑√(1- x)⋅
1
1- x =-1，
当且仅当1- x =
1
1- x ，即x =0时取“=”，
所以当x =0时，y = x
2-2 x +2
2 x -2
有最大值-1.
故选：A
7．已知正实数x，则y =-2 x
2+ x - 4
x
的最大值是（ ）
A．1
B．4 ❑√2
C．- 4 ❑√2
D．1- 4 ❑√2
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求2 x + 4
x ≥2❑√2 x⋅4
x = 4 ❑√2，当且仅当x = ❑√2时
等号成立，化简已知即可求解.
【详解】解：因为y =-2 x
2+ x - 4
x
=-(2 x + 4
x)+1，
又因为x>0，所以4
x >0，
所以2 x + 4
x ≥2❑√2 x⋅4
x = 4 ❑√2，当且仅当2 x = 4
x 时，即x = ❑√2时等号成立，
所以y =-2 x
2+ x - 4
x
=-(2 x + 4
x)+1≤- 4 ❑√2+1，
即y 的最大值是1- 4 ❑√2.
故选：D.
8．函数 f ( x)= x
2-5 x +3
x +1
( x⩾0) 的最小值是（ ）
A．-1
B．3
C．6
D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，
【详解】f ( x)= x
2-5 x +3
x +1
=( x +1)+
9
x +1 -7( x⩾0).
因为 x⩾0，所以 x +1+
9
x +1 ⩾2❑√9=6， (当且仅当 x +1=3， 即 x =2
时，等号成立 ).
故f ( x )最小值为-1，
故选：A
9．函数y = x
2+ x -5
x -2
( x>2) 的最小值为 ．
【答案】7
【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.
【详解】令x－2=t，t >0；则
x
2+ x -5
x -2
= (t +2)
2+t +2-5
t
= t
2+5t +1
t
=t + 1
t +5≥7
(当且仅当t =1，即x =3时，等号成立)，
故函数f ( x)= x
2+ x -5
x -2
，x∈(2，+∞)的最小值为7
故答案为：7
10．若x>0，则2 x
2-3 x +1
x
的最小值是 .
【答案】2❑√2-3/-3+2❑√2
【分析】依题意利用基本不等式计算可得.
【详解】因为 x>0 ，
所以 2 x
2-3 x +1
x
=2 x + 1
x -3≥2❑√2 x⋅1
x -3=2❑√2-3 ，
当且仅当 2 x = 1
x ，即 x =
❑√2
2 时取等号，
故答案为： 2❑√2-3
11．函数f (x)= x
2+8
x -1 ( x>1)的最小值为 ．
【答案】8
【分析】令t = x -1>0，则x =t +1，化简得到f (t )=t + 9
t +2，集合基本不等式，
即可求解.
【详解】因为x>1，令t = x -1>0，则x =t +1，
又因为f (x)= x
2+8
x -1 ( x>1)，可得f (t )= (t +1)
2+8
t
= t
2+2t +9
t
=t + 9
t +2，
因为t + 9
t ≥2❑√t × 9
t =6，当且仅当t = 9
t 时，即t =3，即x = 4时，等号成立，
所以f (t )min=8，即f (x)的最小值为8.
故答案为：8.
12．函数f ( x )=
3 x -3
2 x
2- x +1在(1,+∞)上的最大值为 ．
【答案】3
7
【分析】令x -1=t，则t >0，则f (t )=
3
2t +3+ 2
t
，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为f ( x )=
3 x -3
2 x
2- x +1，x∈(1,+ ∞)，令x -1=t，则t >0，
则
f (t )=
3t
2(t +1)
2-(t +1)+1
=
3t
2t
2+3t +2
=
3
2t +3+ 2
t
≤
3
2❑√2t ⋅2
t +3
= 3
7，
当且仅当2t = 2
t ，t =1即x =2时，等号成立．
故f ( x )的最大值为3
7．
故答案为：3
7
13．函数y = x
2+ x +3
x -2
(x>2)的最小值为 ．
【答案】11
【分析】将函数化为y = x -2+
9
x -2 +5，利用基本不等式求其最小值，注意
取值条件即可.
【详解】由y = ( x -2)
2+5( x -2)+9
x -2
= x -2+
9
x -2 +5，又x -2>0，
所以y ≥2❑√( x -2)⋅
9
x -2 +5=11，当且仅当x -2=
9
x -2，即x =5时等号成立，
所以原函数的最小值为11.
故答案为：11
14．若x>-1，则2 x
2+ 4 x + 4
x +1
的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解.
【详解】当x>-1时，x +1>0，
则2 x
2+ 4 x + 4
x +1
= 2( x +1)
2+2
x +1
=2(x +1)+
2
x +1 ≥2❑√2( x +1)⋅
2
x +1 = 4，
当且仅当2(x +1)=
2
x +1，即x =0时取等号，
所以2 x
2+ 4 x + 4
x +1
的最小值为4.
故答案为：4
