专题1.3 不等式与基本不等式
1.3.1 不等式的基本性质的运用
知识点梳理
1.不等式的性质
2.比较数（式）的大小
典
型
例题
例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则1
a > 1
b
C．若a<b<0，则b
a > a
b D．若a>b，1
a > 1
b ，则a>0，b<0
解：方法一：∵c2≥0，∴c＝0 时，有ac2＝bc2，故A 为假命题；
由a>b>0，有ab>0⇒a
ab > b
ab⇒1
b > 1
a，故B 为假命题；
别名
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
不可逆
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，c<0⇒ac<bc
c 的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
关系
方法
做差法与0 比较
做商法与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a,b>0)
或
a
b <1(a,b<0)
a=b
a−b=0
a
b =1(b≠0)
a<b
a−b<0
a
b <1(a,b>0)或a
b >1(a,b<0
{
a<b<0⇒−a>−b>0⇒−1
b >−1
a >0
a<b<0⇒−a>−b>0
⇒a
b > b
a,故C 为假命题；
{
a>b⇒b−a<0
1
a > 1
b ⇒1
a −1
b >0⇒b−a
ab >0 ⇒ab>0.∵a>b，∴a>0 且b<0，故D 为真命题．
方法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A 错．
取a＝2，b＝1，则1
a = 1
2，1
b =1.有1
a < 1
b ，故B 错．
取a＝－2，b＝－1，则b
a = 1
2，a
b =2，有b
a < a
b ，故C 错．故选:D.
例2.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．
解：(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
例3.已知1<
−
x+y<4且2<x−y<3,则z=2x
3
−y的取值范围是 .
解：设z=2x
3
−y= m (x+y)+n(x−y), 即2x
3
−y=( m +n)x+( m −n)y. 所以
{
m +n=2
m −n= 3
−), 得{
m =−1
2
n=5
2 )
.
∴2x
3
−y=−1
2 (x+y)+5
2 (x−y).∴1<
−
x+y<4,且2<x−y<3.
∴
2<
−
−
1
2 (x+y)<1
2 ,5<5
2 (x−y)<15
2
.
由不等式同向可加性得:3<−1
2 (x+y)+5
2 (x−y)<8.即3<z<8.
随堂演练
1.若a>b,则( )
A. ln(a−b)>0 B. 3
a<3
b C. a
3−b
3>0 D. |a|>|b|
解：取a=2,b=1.5,满足a>b,但ln(a−b)= ln 0.5<0,排除A;由y =3
x在R上单调递增可知
3
a>3
b,排除B;由y = x
3在R上是增函数可知a
3>b
3,即a
3−b
3>0,C 正确;取a=2,b=−3,满足
a>b,但|a|<|b|,排除D.
故选C.
2.已知实数a,b,c,d满足:a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是( )
A.a+d>b+c B.ad>bc C.a+c>b+d D.ac>bd
解：对于A 、B 、D, 取a =2,b=1,c= 2,
−
d = 4
−, 满足a>b>0>c>d. 显然
a+d =
2< 1=
−
−
b+c, ad =
8<
−
−
bc, ac= 4=
−
bd. A、B、D 错误;对于C, a>b>0>c>d
,则a+c>b+d. C 正确.
故选C.
3.(多选)下列不等式中，推理正确的是( )
A.若x>y>z,则|xy|>|yz| B.若1
a <1
b <0,则ab>b
2
C.若a
2x>a
2y, 则x>y D.若a>b>0,c>0,则a−c>b−c
解：A 中,例如1>−
,此时|1×(
2)|<|(
−
−,所以A 不正确; B 中,若
1
a <1
b <0,则b<a<0,
则ab<b
2,所以B 不正确;C 中,若a
2x>a
2y,则a
2(x−y)>0,则x−y>0,
即x>y,所以C 正确;D 中,
若a>b>0,c>0,则a−c>b−c,由不等式的性质知D 正确.
故选：CD.
4.P=a
2+a+1,Q=1
a
2−a+1
,(a∈R),则P,Q的大小关系为 .
解: a
2+a+1=(a+1
2)
2
+3
4 >0,∴P>0，a
2−a+1=(a−1
2)
2
+3
4 >0,∴Q>0，
P
Q =(a
2+a+1)(a
2−a+1)=a
4+a
2+1≥1，∴P≥Q.故答案为: P≥Q.
5. 已知a>0且a≠1,P=loga(a
3+1),Q=loga(a
2+1),
则P与Q的大小关系为
.
解：当 0<a<1 时, a
3<a
2, 则 a
3+1<a
2+1. 因为此时 y = loga x 在 (0,+∞) 上单调递
减, 所以 loga(a
3+1)>loga(a
2+1).
当 a>1 时, a
3>a
2, 则 a
3+1>a
2+1. 因为此时 y = loga x 在 (0,+∞) 上单调递增, 所
以 loga(a
3+1)>loga(a
2+1).故答案为：P>Q.
6.设实数x,y满足3≤xy
2≤8,4≤x
2
y ≤9,则x
3
y
4 的最大值是 .
解：因为实数x , y满足3≤x y
2≤8,4≤x
2
y ≤9，
则有：(
x
2
y )
2
∈[16,81], 1
x y
2 ∈[
1
8 , 1
3).再根据x
3
y
4 =(
x
2
y )
2
⋅1
x y
2 ∈[2,27]，即当且仅
当x =3, y =1取得等号，即有x
3
y
4 的最大值是27.故答案为：27.
7.已知:a>b>c>0,A =ab+ bc,B=ac+ b
2,C=a
2+ b
2,则A,B,C大小关系是 .
解：由a>b>c>0，得a
2>ab，b
2>bc，因此C =a
2+b
2>ab+bc = A。
显然A −B =(ab+bc)−(ac +b
2)=(a−b)(b−c)>0，则A >B。
所以A、B、C大小关系是C > A >B。故答案：C > A >B
8.若0<x<1,则x,1
x ,❑√x,x
2中最小的是 .
解: 因为0<x<1,所以1
x >1, 0<❑√x<1, 0<x
2<1.
因为x
❑√x = ❑√x<1,x
2
x =x<1,所以x<❑√x, x
2<x,所以x
2<x<❑√x<1
x .
9.已知－<β<α<，求2α－β 的取值范围．
解：∵－<α<，－<β<，∴－<－β<.∴－π<α－β<π.
又∵α>β，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π.
10.已知a,b为正实数.求证:a
2
b + b
2
a >a+ b.
证明：a
2
b + b
2
a
(
−a+ b)=a
3+ b
3
ab
(
−a+ b)=a
3+ b
3−ab(a+ b)
ab
=(a+ b)(a−b)
2
ab
，
因为a,b为正实数，所以a+ b>0,ab>0,(a−b)
2≥0，当且仅当a =b时取等号。所以
(a+ b)(a−b)
2
ab
≥0，即a
2
b + b
2
a
(
−a+ b)≥0，当且仅当a =b时取等号。
所以a
2
b + b
2
a ≥a+ b，当且仅当a = b时取等号。
因为a,b为正实数且a≠b，所以a
2
b + b
2
a >a+ b。
1.3.2 基本不等式
知识点梳理
1.基本不等式
（1）a
2+b
2≥2ab (a，b∈R，当且仅当a=b时等号成立)；
a
2+b
2≥−2ab (a，b∈R，当且仅当a=−b时等号成立)；
拓
展
：
a
2+b
2≥2|ab |⇔−a
2+b
2
2
≤ab≤a
2+b
2
2
(a，b∈R，当且仅当a=b时等号成立)
.
（2）a+b≥2❑√ab (a,b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立)；
❑√ab≤a+b
2
(a,b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立)；
ab≤(
a+b
2 )
2
(a,b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立).
口诀：“一正二定三相等”.
（3）均值不等式：两个正数a,b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均
数之间的关系:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
则
2
1
a + 1
b
= 2ab
a+b ≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a，b∈R
+，当且仅当a=b时等号成立).
（4）a
2+b
2+c
2≥ab+bc +ac (a，b∈R，当且仅当a=b=c 时等号成立)；
（
5
）
a
3+b
3+c
3≥3abc ⇒a+b+c≥3
3√abc(a≥0,b≥0,c≥0，当且仅当a=b= c 时等号成立)
.
典型例题
例1.若实数x,y满足xy =1,则x
2+2y
2的最小值 .
解: 因为xy=1,所以x
2+2y
2≥2
❑√x
2×2y
2=2
❑√2x
2y
2=2
❑√2(xy)
2=2
❑√2(1)
2=2❑√2.当且
仅当x
2=2y
2时等号成立.故x
2+2y
2的最小值为2❑√2.故答案为：2❑√2.
例2.已知t>0,则3t+3
2t+1 +t的最小值为 .
解
:
因
为
t>0,
所
以
3t+3
2t+1 +t=
3
2 (2t+1)+3
2
2t+1
+t=1+3
2(2t+1) +(2t+1)
2
≥1+2❑√
3
2(2t+1) ⋅(2t+1)
2
=1+ ❑√3
,
当且仅当3
2(2t+1) =(2t+1)
2
,即t=
❑√3
1
−
2
时,等号成立.所以3t+3
2t+1 +t的最小值为❑√3+1.
例3.设x,y为实数,若4x
2+y
2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
解：解法一：因为4x
2+y
2+xy=1, 所以(2x+y)
2
3
−xy=1.
即(2x+y)
2−3
2 ⋅2xy=1.所以(2x+y)
2−3
2(
2x+y
2
)
2
≤1, (2x+y)
2≤8
5 .
即−2❑√10
5
≤2x+y≤2❑√10
5
.
当{
x=
❑√10
10
y=
❑√10
5 )
时, 2x+y=2❑√10
5
. 故2x+y的最大值是
2❑√10
5
.
解法二：因为4x
2+y
2≥4xy,所以4xy+xy≤4x
2+y
2+xy=1,
即xy≤1
5 .又因为(2x+y)
2=1+3xy≤1+3⋅1
5 =8
5 ,
所以−2❑√10
5
≤2x+y≤2❑√10
5
. 当{
x=
❑√10
10
y=
❑√10
5 )
时, 2x+y=2❑√10
5
. 故2x+y的最大值是
2❑√10
5
.
解法三：因为(2x+y)
2=(2x+y)
2
4x
2+y
2+xy
=4x
2+y
2+4xy
4x
2+y
2+xy
=1+3xy
4x
2+y
2+xy
.
当xy≠0时
,
3xy
4x
2+y
2+xy
=3
4x
y +y
x +1
≤3
5 .
所
以(2x+y)
2≤1+3
5 =8
5 ,
即
−2❑√10
5
≤2x+y≤2❑√10
5
.
当{
x=
❑√10
10
y=
❑√10
5 )
时, 2x+y=2❑√10
5
;当xy=0时, (2x+y)
2=1.故2x+y的最大值是2❑√10
5
.
解法四：设2x+y=t，则y=t
2
−x，将其代入4x
2+y
2+xy=1得6x
2
3
−tx+t
2
1=0
−
.
由题意知方程有解, 所以Δ=( 3
−t)
2
4(
−
t
2
1)≥0
−
,即−2❑√10
5
≤2x+y≤2❑√10
5
,
当t=2❑√10
5
时,{
x=
❑√10
10
y=
❑√10
5
,故2x+y的最大值是2❑√10
5
.
解法五：设2x=a+ b,y=a−b,则(a+ b)
2+(a−b)
2+(a+ b)
2
(a−b)=1,即a
2
5 + b
2
3 =1,
故a
2≤2
5 ,所以a≤
❑√10
5
,
所以2x+y=2a≤2❑√10
5
, 当{
x=
❑√10
10
y=
❑√10
5
,时取等号.故2x+y
的最大值是2❑√10
5
.
解法六：因为4x
2+y
2+xy=(
1
4 x
2+xy+y
2)+15
4 x
2=(
1
2 x+y)
2
+15
4
x
2=1,
所以设a =(
1
2 x+y,
❑√15
2
x),b=(1,
❑√15
5
).
则a⋅b=(
1
2 x+y) 1+
⋅
❑√15
2
x⋅
❑√15
5
=2x+y.
由a⋅b≤|a|⋅|b| 得,2x+y≤
❑√(
1
2 x+y)
2
+(
❑√15
2
x)
2
⋅
❑√1+(
❑√15
5
)
2
=2❑√10
5
.
当y=2x=
❑√10
5
时取等号, 故2x+y的最大值是2❑√10
5
.
例4.若x,y满足x
2+y
2−xy=1,则（ ）
A.x
2+y
2≥2
3 B.x
2+y
2≤2 C.x+y≥2
− D.x+y≤1
解：(x+y)
2≥0, x
2+y
2≥2
−xy, xy≥−x
2+y
2
2
(x=−y时等号成立),
且xy≤x
2+y
2
2
对于A,
由x
2+y
2−xy=1得x
2+y
2≥1+xy≥1−x
2+y
2
2
,
解得x
2+y
2≥2
3 ,当且仅当x=−y=±
❑√3
3
时取等号,故A 正确;
对于B,由x
2+y
2−xy=1得x
2+y
2=1+xy≤1+x
2+y
2
2
,
解得x
2+y
2≤2,
当且仅当x=y=±1时取等号,故B 正确;
对于C, D,由x
2+y
2−xy=1得(x+y)
2
3
−xy=1,即(x+y)
2=3xy+1≤3(
x+y
2
)
2
+1,
解得2≤
−
x+y≤2,当且仅当x=y= 1
−时,x+y= 2
−,
当且仅当x=y=1时,x+y=2,故C 正确, D 错误.故选: ABC.
例5.已知不等式(x+y)(
1
x +a
y )≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（
）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解：∵( x + y)(
1
x + a
y)≥9对任意正实数x , y恒成立,
∴( x + y)(
1
x + a
y)=1+a+ ax
y + y
x ≥1+a+2❑√
ax
y ⋅y
x =1+a+2❑√a,
∴1+a+2❑√a≥9.解得a≥4.故答案为：4.
随堂演练
1.若实数a,b满足a+ b=2，则3
a+3
b的最小值是 ( )
A. 18 B. 6 C. 2❑√3 D. 2❑√3
解：实数a,b满足a+ b=2，则3
a+3
b≥2
❑√3
a⋅3
b=2
❑√3
a+ b=2
❑√3
2=6，
当且仅当a = b=1时，取得等号，即3
a+3
b的最小值是6.故选：B.
2.设a,b∈R,且a
2+2b
2=6,则a+ b的最小值是 ( )
A.
2
−
❑√2 B. −5❑√3
3
C.
3
− D. −7
2
解：方法一：因为a,b∈R,a
2+2b
2=6
故可设{
a = ❑√6cosθ
b= ❑√3sinθ),θ∈R，则: a+ b= ❑√6cosθ+ ❑√3sinθ=3sin(
θ
2
+a),
再根据三角函数最值的求法可直接得到a+ b的最小值是3
−.
方法二：由a
2+2b
2=6,可得(a
2+2b
2)[1
2+(
❑√2
2 )
2)≥(a+ b)
2,
即有(a+ b)
2≤6×3
2 =9,当且仅当a =2b时,取得等号,
则3≤
−
a+ b≤3,得到a+ b的最小值是3
−.
故选: C.
3.若a,b,c均为正实数,则ab+ bc
a
2+2b
2+c
2 的最大值为 ( )
A. 1
2 B. 1
4 C.
❑√2
2
D.
❑√3
2
解
：
因
为
a,b,c均
为
正
实
数
,
则
ab+ bc
a
2+2b
2+c
2 =b(a+c)
a
2+c
2+2b
2 =a+c
a
2+c
2
b
+2b
≤a+c
2❑√
a
2+c
2
b
×2b
=
a+c
2
❑√2(a
2+c
2)
=1
2
❑√
(a+c)
2
2(a
2+c
2)
=1
2
❑√
a
2+2ac+c
2
2(a
2+c
2)
=1
2
❑√
1
2 +ac
a
2+c
2 ≤1
2
❑√
1
2 +ac
2
❑√a
2c
2 =1
2 ,
当且仅当a
2+c
2
b
=2b且a =c,即a = b=c时取等号,则ab+ bc
a
2+2b
2+c
2 的最大值为1
2 .故选：A.
4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 9
2 D. 11
2
解
：
由
基
本
不
等
式
x+2y=8−x⋅(2y)≥8−(
x+2y
2
)
2
,整
理
得
(x+2y)
2+4(x+2y) 32≥0
−
，
即(x+2y
4)(
−
x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4.故选: B.
5.设a,b∈R，若4a
2+ b
2+2ab=6，则3a
2+2b
2的最小值为 ( )
A. 6 B. 3❑√3 C. 2❑√6 D. 4
解:设t>0, 4a
2+ b
2+2ab=4a
2+ b
2+2⋅a
t ∙tb≤(4+1
t
2)a
2+(1+t
2)b
2,
令4+1
t
2
1+t
2 =3
2
,解得t= ❑√2,所以9
2 a
2+3b
2≥6,即3a
2+2b
2≥4,当且仅当a
2=8
7 ,b
2=2
7 时,等号
成立.故选: D.
6.已知x,y∈R
+,且满足x
3 +y
4 =1,则xy的最大值为 .
解：由基本不等式可知, x
3 + y
4 ≥2❑√
xy
12 = ❑√
xy
3 ,又x
3 + y
4 =1,
∴❑√
xy
3 ≤1,解得0< xy ≤3,∴xy的最大值为3,故选：A。
7.已知实数x,y满足4x
2+y
2+xy=1，则2x+y的最大值为 .
解: ∵4x
2+y
2+xy=1,∴(2x+y)
2=3xy+1=3
2 ⋅2x⋅y+1≤3
2 ⋅(2x+y)
2
4
+1,
∴5
8 (2x+y)
2≤1,解得−2❑√10
5
≤2x+y≤2❑√10
5
,
∴2x+y的最大值为2❑√10
5
,当且仅当2x=y,即x=
❑√10
10
, y=
❑√10
5
时,等号成立.故答案为:
2❑√10
5
.
8.已知x>0,y>0,且满足4x
2+9y
2+6xy
3=0
−
,则2x+3y的最大值为 .
解：方法1：由4x
2+9y
2+6xy
3=0
−
，可得4x
2+9y
2+12xy=3+6xy,
由基本不等式得(2x+3y)
2=3+2⋅2x⋅3y≤3+(
2x+3y
2
)
2
，可得3
4 (2x+3y)
2≤3,
所以2x+3y≤2，当且仅当2x=3y时取等号,
联立方程组{
2x=3y
4x
2+9y
2+6xy
3=0
−
)，解得x=1
2 ，y=1
3 ，故2x+3y的最大值为2.
方法2：由4x
2+9y
2+6xy
3=0
−
，可得(x
2+9y
2+6xy)+3x
2=3,
因为x>0,y>0，由权方和不等式得
(x+3y)
2
1
+x
2
1
3
≥(x+3y+x)
2
1+1
3
，即4≥(2x+3y)
2,
所以2x+3y≤2，当且仅当
x+3y
1
=x
1
3
，即2x=3y时取等号,
联立方程组{
2x=3y
4x
2+9y
2+6xy
3=0
−
)，解得x=1
2 ，y=1
3 ，故2x+3y的最大值为2.故答案为:
2.
9.x,y,z为正整数,求10x
2+10y
2+z
2
xy+yz+xz
的最小值为 .
解：引入参数k值，使之满足
10x
2+10y
2+z
2=kx
2+ky
2+(10−k)x
2+z
2
2 +(10−k)y
2+1
2 z
2≥2kxy+ ❑√2(10−k) (
⋅yz+xz)
，
依据取等号的条件，有：2k = ❑√2(10−k )=t ,整理得：t = 4，
故10 x
2+10 y
2+ z
2
xy + yz + xz
的最小值为4.故答案为：4.
10.设x> 1,
−
y> 2
−,且x+y=4,则x
2
x+1 +y
2
y+2 的最小值是 .
解：令x+1=s,y+2=t (s>1,t>2)，则x=s
1,
−
y=t
2,
−
即有s+t=7,
可得x
2
x+1 +y
2
y+2 =(s
1
−)
2
s
+(t
2
−)
2
t
=s+1
s
2+
−
t+4
t
4
−
=7 6+
−
1
s +4
t =1+1
7 (s+t)(
1
s +4
t )=1+1
7(1+4+t
s +4s
t )
≥1+1
7(5+2❑√
t
s ⋅4s
t )=16
7
.
当且仅当t=2s，即s=7
3 ,t=14
3
时取得等号,则x
2
x+1 +y
2
y+2
的最小值是16
7
.
故答案为：16
7
.
11. 已知非负实数x,y满足2x
2+4xy+2y
2+x
2y
2=9, 则2❑√2(x+y)+xy的最大值为
.
解：9=2 x
2+ 4 xy +2 y
2+ x
2 y
2=(❑√2 x + ❑√2 y)
2+( xy )
2,令a= ❑√2( x + y)>0,b= xy ≥0.
则a
2+b
2=9,可令x + y = 3
❑√2 sinθ , xy =3cosθ ,
由x + y ≥2❑√xy,可得sin
2θ≥8
3 cosθ ,解得0≤cosθ≤1
3 , 2❑√2
3
≤sinθ≤1,
则2❑√2( x + y)+ xy =2a+b=6sinθ+3cosθ =3 ❑√5sin(θ+φ),
sin φ =
❑√5
5 ,cosθ = 1
3 <
❑√5
5 ,当cosθ = 1
3 ,sinθ = 2❑√2
3
时,
∴2❑√2( x + y)+ xy ≤1+ 4 ❑√2.故答案为: 1+ 4 ❑√2.
12.已知sin
2α+sin
2β+sin
2γ=1(α,β,γ 均为锐角), 那么cosαcosβcosγ的
最大值等于 .
解：∵sin
2α+sin
2β+sin
2γ=1,∴3 (
−
cos
2α+cos
2β+cos
2γ)=1,
∴cos
2α+cos
2β+cos
2γ=2≥3
3√cos
2αcos
2βcos
2γ,
∴cos
2αcos
2βcos
2γ≤(
2
3)
3
.
∴cosαcosβcosγ≤❑√(
2
3)
3
=2
3
❑√
2
3 =2❑√6
9
.答案：2❑√6
9
.
13.已知x>0,y>0且x
2+3y
2+4xy=8,则3x+5y的最小值为 .
解: 由 x
2+3 y
2+ 4 xy =8, 得 x
2+ 4 xy + 4 y
2−y
2=8,
即 ( x +2 y)
2−y
2=8, 所以 ( x +3 y)( x + y)=8,
令{
a= x + y
b= x +3 y),得{
x = 3a−b
2
y = b−a
2 )
,
所以 ab=8, 3 x +5 y =2a+b≥2❑√2ab=8,
当且仅当 2a=b, 即 x = y =1 时, 等号成立.故答案为: 8.
1.3.3 解一元二次不等式及不等式恒成立问题
知识点梳理
1.二次函数与一元二次方程、不等式解对应关系：
2.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）：
a x
2+bx +c>0
恒成立
⇔{
a>0
∆<0
；a x
2+bx +c<0恒成立⇔{
a<0
∆<0
；
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实
数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数
根x1＝x2＝−b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠−b
2a}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
a x
2+bx +c≥0
恒成立
⇔{
a>0
∆≤0
；a x
2+bx +c≤0
恒成立⇔{
a<0
∆≤0
.
3.不等式恒成立、存在成立问题
a<f ( x)恒成立⇔a<f ( x)min；a<f ( x)有解⇔a<f ( x)max；
a>f ( x)恒成立⇔a>f ( x)max；a>f ( x)有解⇔a>f ( x)min；
a≤f ( x)恒成立⇔a≤f ( x)min；a≤f ( x)有解⇔a≤f ( x)max；
a≥f ( x)恒成立⇔a≥f ( x)max；a≥f ( x)有解⇔a≥f ( x)min.
典型例题
例1.已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2．
（1）y＜3
2
﹣x 对任意x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）求不等式y≥0 的解集．
解：函数y＝ax2﹣（a+2）x+2，
（1）由题有ax2﹣（a+2）x+2＜3
2
﹣x 恒成立，即ax2﹣ax
1
﹣＜0 恒成立，
当a≠0 时，则{
a＜0
Δ=a
2+ 4 a＜0)，解得﹣4＜a＜0，
当a＝0 时，﹣1＜0 恒成立，符合题意；
综上可得，a 的取值范围是{a|
4
﹣＜a≤0}；
（2）由题ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax
2
﹣）（x
1
﹣）≥0，
当a＝0 时，则﹣2x+2≥0，即x≤1，所以不等式的解集为{x|x≤1}；
当a＞0 时，令( x−2
a )( x−1)=0，解得x = 2
a或x＝1，
①当0＜a＜2 时，2
a ＞1，不等式的解集为{x| x ≤1
x
或≥2
a }；
②当a＝2 时，不等式的解集为R，
③当a＞2 时，2
a ＜1，不等式的解集为{x| x ≤2
a
x
或≥1}；
当a＜0 时，则2
a ＜1，不等式的解集为{x| 2
a ≤x ≤1}，
综上可得：当a＜0 时，不等式的解集为{x| 2
a ≤x ≤1}；
当a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤1}；
当0＜a＜2 时，不等式的解集为{x| x ≤1
x
或≥2
a }；
当a＝2 时，不等式的解集为R；
当a＞2 时，不等式的解集为{x| x ≤2
a
x
或≥1}．
例2.已知2x+5y＝8．
（1）当x＞0，y＞0 时，求xy 的最大值；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2 时，若不等式10
x +1 +
1
y +2 ≥m
2+ 4 m恒成立，求实数m 的取值
范围．
解：（1 ）因为2x+5y ＝8 ，当x ＞0 ，y ＞0 时，xy= 1
10（2x•5y ）≤1
10•
( 2 x +5 y
2
)
2
= 1
10 ×( 8
2 )
2
=1.6，
当且仅当2x＝5y，即x＝2，y= 4
5 时取“＝”，所以xy 的最大值是1.6；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2 时，因为2x+5y＝8，所以2（x+1）+5（y+2）＝20，
所以
10
x +1 +
1
y +2 = 1
20 ×（
10
x +1 +
1
y +2）×[2 （x+1 ）+5 （y+2 ）]= 1
20 ×[20+5
+ 50( y +2)
x +1
+ 2( x +1)
y +2
]≥1
20 ×[25+2❑√
50( y +2)
x +1
⋅2( x +1)
y +2
]= 1
20 ×（25+20）= 9
4 ，
当且仅当50( y +2)
x +1
= 2( x +1)
y +2
，即x= 17
3 ，y=−2
3时取“＝”，
所以10
x +1 +
1
y +2 ≥m
2+ 4 m恒成立，等价于9
4 ≥m2+4m，化简得4m2+16m
9≤0
﹣
，即
（2m+9）（2m
1
﹣）≤0，解得−9
2 ≤m≤1
2，所以实数m 的取值范围是[−9
2，1
2]．
例3.若关于x 的不等式（1﹣a）x2
4
﹣x+6＞0 的解集是{x|
3
﹣＜x＜1}．
（1）解关于x 的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；
（2）若关于x 的不等式bx2+abx+3＞0 的解集为R，求实数b 的取值范围．
解：（1）由题意知，﹣3，1 是方程（1﹣a）x2
4
﹣x+6＝0 的两个根，
则{
−3+1=−−4
1−a
−3×1=
6
1−a )
，则a＝3，
则不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0 为2x2﹣x
3
﹣＞0，解得x＜﹣1 或x＞3
2，
所以解集为（﹣∞，﹣1）∪（3
2，+∞）；
（2）因为关于x 的不等式bx2+abx+3＞0 的解集为R，由（1）a＝3，
所以关于x 的不等式bx2+3bx+3＞0 的解集为R，
所以当b＝0 时，3＞0 解集为R，符合题意；
当b≠0 时，{
b＞0
Δ=(3b)
2−4 b×3＜0)
¿
，所以0＜b＜4
3 ；
所以实数b 的取值范围是[0，4
3 )．
随堂演练
1.已知不等式x2
2
﹣x
3
﹣＜0 的解集为A，不等式ax2+ax
6
﹣＜0 的解集为B．
（1）若a＝1，不等式x2+mx+n＜0 的解集为A∩B，求不等式mx2+x+n＜0 的解集；
（2）∀x∈R，ax2+ax
6
﹣＜0，求a 的取值范围．
解：（1）A＝{x|
1
﹣＜x＜3}，当a＝1 时，B＝{x|
3
﹣＜x＜2}，∴A∩B＝{x|
1
﹣＜x＜2}，
∵不等式x2+mx+n＜0 的解集为A∩B，∴﹣1，2 是方程x2+mx+n＝0 的两个根，
∴{
−1+2=−m
−1×2=n )，解得m＝﹣1，n＝﹣2，
∴﹣x2+x
2
﹣＜0，∴x2﹣x+2＞0，∴x∈R，
即不等式mx2+x+n＜0 的解集为R．
（2）当a＝0 时，﹣6＜0 恒成立，符合题意；
当a≠0 时，{
a＜0
Δ＜0)，∴{
a＜0
a
2+24 a＜0)，解得﹣24＜a＜0，
综上，a 的取值范围是（﹣24，0]．
2.已知不等式ax2
3
﹣x+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}．
（1）求a，b 的值；
（2）若不等式mx2+mx+3a≥0 对于x∈R 均成立，求实数m 取值范围．
解：（1）因为不等式ax2
3
﹣x+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，
所以1 和2 是对应方程的两根，
由根与系数的关系知，{
1+2= 3
a
1×2= b
a)
，解得a＝1，b＝2；
（2）由（1）知，不等式mx2+mx+3≥0 对于x∈R 均成立，
m＝0 时，不等式为3≥0 恒成立，
m≠0 时，应满足{
m＞0
m
2−12m≤0)，解得0＜m≤12，
综上，实数m 的取值范围是[0，12]．
3.已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m
1
﹣（m∈R）．
（1）当m＞﹣2 时，解关于x 的不等式f（x）≥m；
（2）若不等式f（x）≥0 对于任意x∈[
2
﹣，1]恒成立，求m 的取值范围．
解：（1）不等式f（x）≥m，化简得：[（m+1）x+1]（x
1
﹣）≥0，
①m+1＝0 时，即m＝﹣1 时，解集为{x|x≥1}，
②m+1＞0 时，即m＞﹣1 时，( x +
1
m+1 )( x−1)≥0，
解集为{x| x ≤−
1
m+1
x
或≥1}，
③m+1＜0 时，即﹣2＜m＜﹣1 时，( x +
1
m+1 )( x−1)≤0，
则﹣1＜m+1＜0，即−
1
m+1 ＞1，
所以解集为{x|1≤x ≤−
1
m+1 }，
综上所述，m＝﹣1 时，解集为{x|x≥1}；
m＞﹣1 时，解集为{x| x ≤−
1
m+1
x
或≥1}；
2
﹣＜m＜﹣1 时，解集为{x|1≤x ≤−
1
m+1 }；
（2）由题意得，（m+1）x2﹣mx+m
1≥0
﹣
对于任意x∈[
2
﹣，1]恒成立，
整理得：m（x2﹣x+1）≥1﹣x2，
因为x
2−x +1=( x−1
2 )
2
+ 3
4 ＞0恒成立，
所以m≥−x
2+1
x
2−x +1
=−1+
2−x
x
2−x +1
对于任意x∈[
1
﹣，1]恒成立，
设t＝2﹣x，t∈[1，4]，则x＝2﹣t，
所以
2−x
x
2−x +1
=
t
(2−t )
2−(2−t )+1
=
t
t
2−3t +3
=
1
t + 3
t −3
≤
1
2❑√3−3 = 2❑√3+3
3
，
当且仅当t = 3
t ，即t = ❑√3，x =2−❑√3时取等号，
此时−1+
2−x
x
2−x +1
≤2❑√3
3
，
因为m⩾−1+
2−x
x
2−x +1对于任意x∈[
1
﹣，1]恒成立，
所以m 的取值范围是[2❑√3
3
，+∞）．
4.已知关于x 的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0 的解集为{x|x＜1 或x＞4}．
（1）求实数m、n 的值；
（2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且5
a + 1
b ≥3k
2−4 k恒成立，求实数k 的取值范围．
解：（1）根据不等式mx2﹣nx+4＞0 的解集为{x|x＜1 或x＞4}，所以1 和4 是对应方程
的解，
由根与系数的关系知，{
1+ 4 = n
m
1×4 = 4
m)
，解得m＝1、n＝5；
（2）由a＞0，b＞0，a+5b＝1，所以5
a + 1
b =（5
a + 1
b）（a+5b）＝10+ 25b
a + a
b ≥10+2
❑√
25b
a ⋅a
b =20，
当且仅当25b
a
= a
b且a+5b＝1，即a= 1
2且b= 1
10时取等号，
所以不等式5
a + 1
b ≥3k2
4
﹣k 恒成立，即20≥3k2
4
﹣k，
所以3k2
4
﹣k
20≤0
﹣
，解得﹣2≤k≤10
3 ，
所以实数k 的取值范围是{k|
2≤
﹣
k≤10
3 }．
5.设二次函数y＝x2+mx．
（1）若对任意实数m∈[0，1]，y＞0 恒成立，求实数x 的取值范围；
（2）若存在x0∈[﹣4，0），使得函数值y0≤﹣4 成立，求实数m 的取值范围．
解：（1）对任意实数m∈[0，1]，f（x）＞0 恒成立，
即g（m）＝xm+x2＞0 对任意实数m∈[0，1]恒成立，
因为g（m）＝xm+x2是关于m 的一次函数，
所以{
g(0)= x
2＞0
g(1)= x + x
2＞0)，
解得{
x≠0
x＞0
x
或＜−1)，
所以实数x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）；
（2）存在x0∈[﹣3，0），使得f（x0）≤﹣4 成立，即x0
2+ 4≤−m x0，
只需(−x0)+ 4
−x0
⩽m成立，即需(−x0+ 4
−x0
)
min
⩽m成立，
因为﹣x0∈（0，4]，
所以−x0+ 4
−x0
⩾2❑√
−x0⋅4
−x0
= 4，当且仅当x0＝﹣2 时等号成立，
所以(−x0+ 4
−x0
)
min
= 4⩽m，
所以m≥4．
综上知实数m 的取值范围是[4，+∞）．
6.已知命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0 成立．
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0 有解，如果p 是假命题，q 是真命题，
求实数a 的取值范围．
解：（1）因为命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0 成立，
所以Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2 或a≥2，
故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；
（2）因为命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0 有解，
即a≤x
2+1
x +1 在x∈[0，3]上能成立，令t＝x+1，则x＝t﹣1，t∈[1，4]
则x
2+1
x +1 = (t −1)
2+1
t
=t + 2
t −2，
因为对勾函数y =t + 2
t −2在[1，❑√2)上单调递减，在(❑√2，4 ]上单调递增，
所以ymax= 4+ 2
4 −2= 5
2，则a≤5
2，
如果p 是假命题，则﹣2＜a＜2；如果q 是真命题，则a≤5
2；
所以﹣2＜a＜2，即实数a 的取值范围（﹣2，2）．
7.（1）若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a 的取值范围；
（2）若∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，求实数x 的取值范围．
解：（1）因为∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，
①当a＝0 时，不等式1＞0 对∀x∈R 成立，符合题意．
②当a≠0 时，若不等式ax2﹣ax+1＞0 对∀x∈R 恒成立，
则{
a＞0
Δ=a
2−4 a＜0)，解得0＜a＜4，
综上，实数a 的取值范围[0，4）．
（2）∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，
即∃a∈[﹣2，﹣1]，x
2−x＜−1
a，
所以x
2−x＜(−1
a )
max
，而y =−1
x 在x∈[﹣2，﹣1]上单调递增，
所以x2﹣x＜1，解得1−❑√5
2
＜x＜1+ ❑√5
2
，
故实数x 的取值范围( 1−❑√5
2
，1+ ❑√5
2
)．
