文档文本内容
1.5 一元二次方程、不等式
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、一元二次不等式................................................................................................................3
知识点二、高次不等式........................................................................................................................3
知识点三、分式不等式........................................................................................................................3
知识点四、无理不等式........................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................6
题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点）............................................6
题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点）................................6
题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点）........................7
题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点）............................8
题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点）....................................9
题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点）....................................................9
题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点）......................................10
题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点）..........................10
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点）..............................................11
题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点）..........................................11
05 课后拓展精练................................................................................................................................13
知识点一、一元二次不等式
一元二次不等式
或
的解法：
对于一元二次方程
，设
，（当
时，方程两根为
）
的图象
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
R
的解集
知识点二、高次不等式
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为
(或
)的形式，然后用穿针引
线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负
出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
知识点三、分式不等式
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于
与
均意味a，b 同号，故
与
等价的；
与
均意味a，b 异号，故
与
等价的；
①
，
且
.
②
，
且
.
知识点四、无理不等式
⑴
或
⑵
⑶
常用二级结论
1、一元二次不等式恒成立常用结论：
⑴
的解集为R，则一定满足
⑵
的解集为
，则一定满足
⑶
的解集为R，则一定满足
⑷
的解集为
，则一定满足
⑸
在
上恒成立，则
⑹
在
上恒成立，则
1．（2025 年高考天津卷数学真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为_______
2．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））不等式
的解集为_________．
3．（2025 年上海春季高考练习数学试题）不等式
的解集为_____．
4．（2024 年上海春季高考练习数学试题）已知
，求
的
的取值
范围_______.
5．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
则不等式
的解集为______．
6．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是______.
7．（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设
，使不等式
成立的
的取值范围为
__________.
题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点）
【解题妙招】
解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直
观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，
从而得出最终答案。
例1．求函数
的解集__________.
例2．不等式
的解集是____.
例3．（2026·陕西渭南·二模）不等式
的解集为______．
变式1．（2026·上海闵行·二模）设
，不等式
的解集是______.
题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点）
【解题妙招】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
例4．已知关于
的不等式
．
(1)若不等式的解集为
，求a，b 的值；
(2)若
，求已知关于
的不等式的解集．
例5．解关于
的不等式
．
例6．解答下列各题.
(1)若
，求
的最小值；
(2)若正数
满足
，求
的最小值；
(3)解关于
的不等式:
．
变式2．设
．
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
．
题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点）
【解题妙招】
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出
相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
例7．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知
，若关于
的方程
有
两个不相等的实数根
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的最小值为4
C．关于
的不等式
的解集为
D．
是关于
的不等式
的一个解
例8．（多选题）（2026·西藏林芝·二模）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
例9．（多选题）已知不等式
的解集是
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
变式3．（多选题）已知关于
的不等式组
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，不等式组的解集为
B．当
时，不等式组的解集可以为
的形式
C．不等式组的解集恰好为
，那么
D．不等式组解集恰好为
，那么
题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点）
【解题妙招】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判
别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
例10．（2026·河南·一模）已知函数
，若
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．（2026·高三·天津宝坻·阶段检测）已知函数
满足
，且
时
.若对
任意实数
，有不等式
恒成立，则非零实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2026·高三·广东·期末）已知函数
满足对任意
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点）
【解题妙招】
穿根法
例13．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．（2026·高三·河南南阳·阶段检测）不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
变式5．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点）
【解题妙招】
一般的，
与
或
同解；
与
同解．
一般的，
，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，
那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
例16．（2026·上海静安·模拟预测）不等式
解集为_________ ．
例17．（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为
__________．
例18．（2026·上海·一模）若不等式
对于任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为
______．
变式6．（2026·高三·辽宁·期末）
的解集为_____
题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点）
【解题妙招】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处
函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2026·高三·全国·一轮复习）若关于
的方程
的两个不相等的实数根均小于，则实数
的取值范围为________．
例20．（2026·河北石家庄·一模）已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则
实数
的取值范围是__________.
例21．（2026·高三·北京·阶段检测）已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，
则实数
的范围是____________.
变式7．若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实根
，且
．则实
数a 的取值范围为________．
题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点）
【解题妙招】
对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值
符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则
借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。
例22．函数
的最小值为_____.
例23．（2026·江西宜春·模拟预测）若函数
的最小值为，则
_____．
例24．（2026·上海杨浦·二模）不等式
对一切实数
恒成立，则实数
的取值范围为
__________.
变式8．若对于任意
，总存在
使得
，则实数
的取值范围是
_______________.
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点）
【解题妙招】
在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分
类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而
确定参数的合适值。
例25．（2026·高三·山东青岛·期中）若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，
则
的范围是______；
例26．（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知集合
，集合
，若集合
内恰有两个整数，则实数
的取值范围是__________.
例27．若关于
的不等式
的解集中恰好含有2025 个整数，则实数
的取值集合是
______
变式9．若关于x 的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数m 的取值范围是
___________.
题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点）
【解题妙招】
在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）
的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范
围。
例28．已知关于x 的不等式组
仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例29．关于
的不等式组
的整数解的集合为
，求实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
例30．已知关于
的不等式组
仅有一个整数解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10．设集合
，集合
为关于
的不等式组
的解集，若
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11．（2026·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组
的解集是关于
的不等式
的解集的子集，则实数a 的取值范围为（ ）
A．a≤0
B．a<0
C．a≤-1
D．a<-2
1．（2026·宁夏·一模）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·高三·全国·一轮复习）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·吉林·三模）若
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数
，
满足
.若不等式
恒成
立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
10．（多选题）（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
11．（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集是
D．不等式
的解集为
12．（2026·上海普陀·二模）设
，若关于x 的不等式
的解集是
，则a 的值为
______.
13．（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）设函数
， 若
恒成立，则实
数
的取值范围____
14．（2026·广东汕头·模拟预测）已知
，对任意实数x 恒成立．若
，则t 的取值范围是_______________．
15．解不等式
．
16．（2026·云南·模拟预测）已知二次函数
，且
的解集为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
，求
在区间
上的值域．
