文档文本内容
1.3 等式性质与不等式性质
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、两个实数比较大小的方法................................................................................................3
知识点二、等式的性质........................................................................................................................3
知识点三、不等式的性质....................................................................................................................3
知识点四、常用二级结论....................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................8
题型一：数与代数式大小比较（必考基础）....................................................................................8
题型二：不等式性质的应用（必考基础）......................................................................................10
题型三：不等式证明..........................................................................................................................12
题型四：由不等式条件求范围（高频考点）..................................................................................15
题型五：不等式综合应用（压轴小题）..........................................................................................17
题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型）..........................................................................19
05 课后拓展精练................................................................................................................................23
知识点一、两个实数比较大小的方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
知识点二、等式的性质
性质1 对称性：如果
，那么
；
性质2 传递性：如果
，
，那么
；
性质3 可加(减)性：如果
，那么
；
性质4 可乘性：如果
，那么
；
性质5 可除性：如果
，
，那么
.
知识点三、不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a ；
性质2 传递性：a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c ；
性质3 可加性：a>b⇔a+c>b>c ；
性质4 可乘性：a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ；
性质5 同向可加性：a>c ，c>d⇒a+c>b+d ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd ；
性质7 同正可乘方性：
.
知识点四、常用二级结论
1、浓度不等式
(1) 浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
通俗的理解：
克的不饱和糖水里含有
克糖，往糖水里面加入
克糖，则糖水更甜
(2) 浓度不等式的倒数形式：设
，
，则有
>
.
1．（2024 年上海春季高考试题）
，
，
，
，下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．│a│>│b│
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不
等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））
，
，则
的最小值是
___________.
7．（2010 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知
且
，则
的取值范围是 _______ （答案用区间表示）
题型一：数与代数式大小比较（必考基础）
【解题妙招】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
例1．（2026·高三·北京·阶段检测）已知
且
，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2026·高三·北京·阶段检测）已知
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2026·天津河东·二模）明数理数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提
“
”
供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价
，第二次提价
；方案乙：第一次提价
，第二次提价
；
方案丙：第一次和第二次均提价
；
方案丁：第一次提价
，第二次降价
；
其中
，则四个方案中提价最多的方案为（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
题型二：不等式性质的应用（必考基础）
【解题妙招】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
例4．（2026·浙江·一模）对实数
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例5．（2026·高三·江苏常州·期末）已知实数
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例6．已知
，且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2026·高三·山西大同·阶段检测）在
四个数中（ ）
A．任意三个数不能同时等于0
B．任意两个数之和不等于另两个数之和
C．至少有一个数不大于3
D．至少有一个数不小于1
变式4．已知a，b，c 满足
且
，则下列选项中不一定能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：不等式证明
【解题妙招】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
例7．已知
，
(1)求
的取值范围；
(2)比较两个代数式的大小：
与
．
例8．已知
，
，
，判断M，N 的关系?
例9．（1）比较大小：
与
；
（2）设
，比较
与
的大小.
变式5．加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，
每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式
更经济，请回答以下问题：
(1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？
A．多次加油的钱数总和；
B．多次加油的油量总量；
C．多次加油的平均单价.
(2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为
元/升和
元/升，如果两次加油都
采用第一种策略，设每次加油
升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油
元，请用上面你选择
的标准比较哪种策略更经济；
(3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济；
(4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明）
变式6．已知
，
，对任意的实数
，求证：
(1)
；
(2)
．
题型四：由不等式条件求范围（高频考点）
【解题妙招】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可
能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若
分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式
进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
例10．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．（2026·高三·全国·二轮复习）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．（2026·高三·广东汕头·期末）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8．已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：不等式综合应用（压轴小题）
【解题妙招】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
例13．（2026·高三·陕西西安·自主招生）设实数
，
，，
，满足
，且任意两数之和
共10 个数中最小的三个数是
，最大的两个数是
.则
________.
例14．已知
表示
中的最大者，若
，
，则
的最小值为_____.
例15．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z 满足
或
，记
（M 为x，y，z 中最大者），则M 的最小值为______．
变式9．设
表示
，
，中最大的数，设
，且
，则
的最小值为__________．
变式10．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知
，且
，则
的最
小值是_________.
题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型）
【解题妙招】
浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
例16．（1）已知
糖水中含有
糖（
），若再添加
糖完全溶解在其中，则糖水变得
更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则
__________
.（填“>，<，=，，
之一）
≥
≤”
.
（2）
，
，则M________N（填“>，<，=，，
之一）
≥
≤”
.
例17．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量
分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等
式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
___________
(用“
或
”
“
填空
”
)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
例18．
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添
加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，
这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11．（多选题）生活经验告诉我们：
克糖水中有
克糖（
，
，且
），若再添加
克
糖（
）后，糖水会更甜，于是得出糖水不等式：
“
”
.根据糖水不等式等知识判断，下列命
“
”
题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
且
，则
C．若
，
，为
三条边长，则
D．若
，
，为
三条边长，则
变式12．（多选题）生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖
且
，若再添加c 克糖
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：
趣称之为糖水不等式．根据生活经验和不等式的性质
“
”
判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
的大小关系随m 的变化而变化
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则一定有
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
，且
，
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·云南昆明·模拟预测）设
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
，下列不等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·浙江·二模）已知
且
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·河北雄安·三模）若实数
，
满足
，对于以下各式：①
；②
；
③
；④
，其中不可能成立的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2026·江苏南通·三模）已知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差为6，则中间
的数为（ ）
A．9
B．11
C．13
D．15
7．（2026·北京昌平·二模）设
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）（2026·湖北黄冈·三模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2026·青海西宁·模拟预测）下列不等式中成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（多选题）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
12．已知函数
，若正实数
满足
，则
的取值范围是_____.
13．（2026·高三·全国·一轮复习）（1）已知
，
，则
的取值范围是________．
（2）已知
，
，则
的取值范围是________．
14．（2026·高三·浙江杭州·期中）已知实数a，b 满足
，则
的取值范围为
________．
