文档内容
第 3 讲 等式性质与不等式性质
知识点目录
【知识点1】数(式)的大小比较....................................................2
【知识点2】不等式的基本性质....................................................5
【知识点3】不等式性质的综合应用................................................8
基础知识
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔ b < a；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ a > c；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ a c > b c；a>b，c<0⇒ a c < b c；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ a c > b d；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
不等式的两类常用性质
第1页 共12页(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒<；
②a；
③a>b>0,0；
④0b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；
②假分数的性质
>，<(b－m>0)．
知识点1
知识点
【知识点1】数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
典型例题
例1：
【例1】（2025春•秦淮区校级月考）已知 ， 是非零实数，且 ， 是任意实数，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】应用特殊值法判断 、 、 ，作差法判断 即可．
【解答】解：当 时，不等式不成立， 错误．
第2页 共12页当 ， 时，满足 ，但 ， 错误．
因为 ，而 ，所以 ，则 ， 正确．
当 ， ， 时，满足 ，但 ， 错误．
故选： ．
【例2】（2025•房山区一模）已知 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】举反例即可说明选项 都错误，根据 是增函数即可判断 的正误．
【解答】解： ， ，满足 ， 不存在， 错误； ， 错误； ，
错误．
， 是增函数， ．
故选： ．
【例3】（2024秋•西城区期末）已知 ， ，且 ，下列不等式中一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】举出反例检验选项 ，结合不等式性质检验选项 ．
【解答】解：当 ， 时， 显然错误；
当 ， 时， 显然错误；
当 ， 时， 显然错误；
由 可得 正确．
故选： ．
第3页 共12页【例4】（2024秋•固始县期末）已知 ， ，则
A． B．
C． D． ， 的大小与 有关
【答案】
【分析】利用作差法比较大小即可．
【解答】解：由题意可得 ，
当 即 或 时， ，当 即 时， ，
当 即 时， ，故 、 的大小与 有关．
故选： ．
【例5】（2024秋•辽宁期末）已知 ， 均为正实数，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】采用作差方法 化简变形，利用题中条件比较出差值大小即可．
【解答】解： ， ，
由 ， 均为正实数，有 ，当且仅当 时取等号，
第4页 共12页所以 ．
故选： ．
知识点2
知识点
【知识点2】不等式的基本性质
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
典型例题
例1：
【例6】（2025春•皇姑区校级期中）已知 ， ， ，则下列不等式中一定成立的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】
【分析】利用特殊值法可判断 错误，利用作差法计算可得 正确，再由不等式性质可得
错误．
【解答】解：对于 ，当 时，可知 不成立，故 错误；
对于 ，因为 ，可得 ；
所以 ，故 正确；
第5页 共12页对于 ，由 ，可得 ，故 错误；
对于 ， ，当 时， ，故 错误．
故选： ．
【例7】（2025春•杨浦区校级月考）如果 ，那么下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可．
【解答】解：对于 ：因为 ，所以 ， ，故 错误， 正确；
对于 ：因为 ，所以 ，所以 ，故 错误；
对于 ：因为 ，所以 ，故 错误．
故选： ．
【例 8】（2025 春•琼山区校级月考）已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖
，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式
A． B． C． D．
【答案】
【分析】加糖前糖的浓度 ，加入 克糖之后糖的浓度 ，糖水变甜，表示糖的浓度变大，
即 ．
【解答】解：这一事实表示为一个不等式为 ．
下面证明不等式成立：
第6页 共12页又 ， ，
， 即 ，
即 ．
故选： ．
【例9】（2025•开封二模）设 ， ，则 的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可．
【解答】解：对于 ，当 ， 时，满足 ，但是不符合 ，故充分性不成立，
故 错误；
对于 ， ，即 ，即 ，所以 是 的必要不充分条件，故
错误；
对于 ， ，即 ，故 是 的充要条件，故 错误；
对于 ， ，即 ， ，故 是 的一个充分不必要条件，故
正确．
故选： ．
【例10】（2025•河北模拟）已知 ， ，则 的取值范围
A． ， B． C． ， D．
第7页 共12页【答案】
【分析】由不等式的同向可加性得到结果．
【解答】解：因为 ， 得 ， ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
故选： ．
知识点3
知识点
【知识点3】不等式性质的综合应用
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质．
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整
体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
典型例题
例1：
【例11】（2025•临汾二模）若 ， ，则 的范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【解答】解：由题意可知， ， ，
故由不等式可加性可知， ．
故选： ．
【例12】（2025•玉溪二模）已知 ， ， ，则
第8页 共12页A． B． C． D．
【答案】
【分析】易得 ，再结合已知可得 ，由 ，得 ，
即可比较 ， ，利用作差法即可比较 ， ，即可得解．
【解答】解：由 ，得 ，
，当且仅当 时取等号，
，且 ，
，
当 时， ，此时 ，与 矛盾， ，
由 ，得 ，
，当且仅当 时取等号，
由 知，等号取不到，
，
由 ，可得 ，
，所以 ，
，
， ， ， ， ，
由 ，得 ，
则 ，
， ，
第9页 共12页，
又 ， ， ， ，
综上所述， ．
故选： ．
【例13】（2025•德州模拟）若实数 ， ， 满足 ，且 ，则 的取
值范围为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将 换成用 ， 表示，从而将 平方表示成 ，由 ，
求出 ，进而求出范围．
【解答】解：因为 ， ，
所以 且 ，
故 且 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
第10页 共12页所以 ．
故选： ．
【例14】（2025•南宁模拟）若 ， ， ，则下列说法正确的是
A．若 ，且 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 且 ，则
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质判断 ，利用举实例法判断 ．
【解答】解： ，当 ， 时，满足 ，但 ， 错误，
， ， ， ， 正确，
， ， ， 正确，
， 且 ， ， ， ，当 时，则 ， 错误，
故选： ．
【例15】（2024•岳麓区校级模拟）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一顾客到
店购买黄金 ，售货员先将 砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；
再将 砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金
交给顾客．你认为顾客购得的黄金
A．小于 B．等于
第11页 共12页C．大于 D．与左右臂的长度有关
【答案】
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：设天平左、右两边的臂长分别为 ， ，
设售货员第一次称得黄金的质量为 克，
第二次称得黄金的质量为 个，
由题意可知， 且 ，解得 且 ，
故顾客购得的黄金为 ，
当且仅当 时，等号成立，
由题意可知， ，
则 ．
故选： ．
第12页 共12页
