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专题 03 等式性质与不等式性质
目录
题型一： 不等式的性质...................................................................................................................4
题型二： 比较大小...........................................................................................................................8
题型三： 不等式范围求解.............................................................................................................10
知识点总结
知识点一、比较实数a，b大小的基本事实
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
⇔
②a－b＝0 a＝b；
⇔
③a－b<0 a<b.
⇔
(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
⇔
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
⇔
③<1(a∈R，b>0) a<b(a∈R，b>0)．
⇔
知识点二、等式的基本性质
(1)对称性：a＝b b ＝ a ；
⇔
(2)传递性：a＝b，b＝c a ＝ c ；
⇒(3)可加性：a＝b a ± c ＝ b ± c ；
⇔
(4)可乘性：a＝b ac ＝ bc ；
⇒
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝ .
⇒
知识点三、不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b b < a ；a<b b > a 可逆
⇔ ⇔
传递性 a>b，b>c a > c ；a<b，b<c a < c 同向
⇒ ⇒
可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
⇔
可乘性 a>b，c>0 ac > bc ；a>b，c<0 ac < bc c的符号
⇒ ⇒
同向可加性 a>b，c>d a ＋ c > b ＋ d 同向
⇒
同向同正
a>b>0，c>d>0 ac > bd 同向，同正
可乘性
⇒
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
⇒
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
⇒
【常用结论与知识拓展】
1.不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
⇒
②a＜0＜b ＜；
⇒③a>b>0，d>c>0 >；
⇒
④0<a<x<b或a<x<b<0 <<.
⇒
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；
②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．
2.若a<x<b，c<y<d，则a－d<x－y<b－c.
3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
例题精讲
题型一：不等式的性质
【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差(商)法;
(4)构造函数,利用函数的单调性;
(5)利用基本不等式.
【例1】（2022•西城区校级三模）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
【解答】解： ， ，且 ，则 ， 与 的大小关系不确定，，即 ， 与0的大小关系不确定．
故选： ．
【变式训练1】（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 选项， ，故 ， ，所以 ， 两边同乘以 得，
， 正确；
选项，因为 ，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故 正确；
选项，因为 ，所以 ，
故 ，
所以 ， 正确；
选项，不妨取 ， ，满足 ，此时 ，故 错误．
故选： ．
【变式训练2】（2023•阿拉善盟一模）已知 ，则下列不等式不成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 ，在 上单调递增，
当 时， ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•广陵区校级模拟）已知 ， ，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ， ，
由不等式的基本性质，知 和 都正确；
取 ， ，则 ， ，故 错误；
幂函数 ，在 上是增函数，
当 时， ，故 正确．
故选： ．
【变式训练4】（2023•惠州模拟）已知实数 ，则下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 选项中，因为 ，所以 ，故 选项正确；
选项中，因为函数 在 上单调递减且 ，所以 ，故 选项错误：
选项中，因为 ，则 ，故 选项错误；
选项中，若 ， ，满足 ，但 ，故 选项错误．
故选： ．
【例2】（2023•大同二模）已知 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可知，不妨取 ， ，则 ， ，此时不满足 ，即 错误；
易得 ，此时 ，所以 错误；
对于 ， 无意义，所以 错误，
由指数函数单调性可得，当 时， ，即 正确．
故选： ．
【变式训练1】（ 2023• 临 高 县 模 拟 ） 给 定 下 列 四 个 命 题 ： 命 题 ① ，
；命题②： ；命题③： ；
命题④： ．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于命题①： ， ， ，
故 ， 错误；
对于命题②： 在 递减，故 正确；
对于命题③： ， ， ， ，
故 正确；
对于命题④： ， ， ，
， ，故 正确；
其中真命题的个数是3个，
故选： ．
【变式训练2】（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，且 ，则
【解答】解：对于 ，若 ，当 时， 与 的大小关系无法确定，故 错误，
对于 ，取 ， ， ，则满足 ，但不满足 ，故 错误；
对于 ，取 ， ， ，则满足 ， ，但不满足 ，故 错误；
对于 ，若 ， ， ，且 ，则 ，
所以 ，即 ，故 正确．
故选： ．
【例3】（2023•盱眙县校级四模）已知 ，给出下列不等式：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的有
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：对于①： ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，故①正确，
对于②： ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，故②正确，
对于③：当 ， 时， ， ，所以 ，故③错误，
对于④： ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故选： ．
【变式训练1】（2021秋•莒南县校级月考）已知 糖水中含有 糖 ，若再添
加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，
下列不等式中一定成立的有
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意， 糖水中含有 糖，此时糖水中含糖浓度为 ，
若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水中含糖浓度为 ，
因为糖水变得更甜了，
所以 ，故 正确， 错误，
又因为 ，所以 ，故 正确，
由 可得 ，进而可得 ，故 错误，
故选： ．
题型二：比较大小
【要点讲解】（1）做差法（2）做商法【例4】已知 ， ， ，则 ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：
．
．
故选： ．
【变式训练1】已知 ， ，其中 ，则 ， 的大小关
系为
A． B． C． D．大小不确定
【解答】解： ， ， ，
而 ，
．
故选： ．
【变式训练2】（2021秋•舒城县）已知 ， 比较下列各题中两个代数式值的
大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
【解答】解：（1） ，
；（2） ，
，
， ， ， ，
，
．
【变式训练3】（2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：
（1） 与 ，其中 ；
（2） 与 ，其中 ．
【解答】解：（1）由题意可得 ，
，
因为 ，
所以 ．
（ 2 ）
，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，
即 ．题型三：不等式范围求解
【要点讲解】1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的
取值范围;
a 1
2.求形如 的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出 的取值范围,再与a遵循“同向同
b b
a
正可乘性”的原则求出 的取值范围;
b
3.已知M<f(a,b)<N ,M<f(a,b)<N ,求g(a,b)的取值范围步骤:
1 1 1 2 2 2
(1)设g(a,b)=pf(a,b)+qf(a,b);
1 2
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.
【例5】（2022秋•魏县校级期中）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，因为 ， ，所以 ， ，故 正
确；
对于 ，因为 ，所以 ，故 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，故 正确；
对于 ，因为 ， ，所以 ，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】（2021•鸡冠区校级三模）已知 ， ，则 的取
值范围是 ， ．
【解答】解： ， ，
，
，的取值范围是： ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练2】（2022秋•南关区校级期末）若 ， ，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，
则 ，解得 ，
， ，
由不等式的可加性可得， ，
故 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•西山区校级模拟）已知 ， ，则
A． 的取值范围为 ， B． 的取值范围为 ，
C． 的取值范围为 ， D． 的取值范围为
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ， 正确， 正确；
因为 ，
所以 ， 错误；
因为 ，所以 ，
所以 ， 错误．
故选： ．
【变式训练4】（2023•重庆模拟）已知 ， ，则下列不等式不正确
的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于选项 ， ， ， ，
， ，故 正确；
对于选项 ， ， ， ， ，
， ， ，故 不正确；
对于选项 ，设 ，则 ，
， ，
，
， ，
， ，
，故 正确、 错误；
故选： ．
【变式训练5】（2022秋•广东期末）已知 ， ，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解： ， ，
所以 ， ，
则 ， ．
故选： ．
【变式训练6】（2022秋•金山区校级期末）已知实数 、 满足 ， ，则
的取值范围为 ， ．
【解答】解：因为实数 、 满足 ， ，则 ，则 ，
则 ，
故答案为： ， ．
课后练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•怀仁市校级月考）设 ， ，那 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： ，解得 ， ，
则 是 的必要不充分条件．
故选： ．
2．（2023•重庆一模）设 ， ，且 ，则
A． B． C． D．【解答】解：令 ， 则 ， ，故选 错误；
令 ， ，则 ，故选项 错误；
选项 ， ， ，故 ，故选 正
确，
故选： ．
3．（2022秋•眉山期末）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由于 ，
对于选项 ，故选项 正确．
对于选项 ：当 ， 时， ，故选项 错误．
对于选项 ：当 时， ，故选项 错误．
对于选项 ：由于 ，由于 为单调增函数，所以 ，故选项 错误．
故选： ．
4．（2022•杭州模拟）下列结论正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， 则 D．若 ，则
【解答】解：对于选项 ：当 ， 时，满足 ，但是 ，故 错误；
对于选项 ：当 ， 时，满足 ，但是 ，故 错误；
对于选项 ， ，根据不等式的同向相加可知： ，故 ，
故 正确；对于选项 ：当 时，若 ，则 ，故 错误；
故选： ．
5．（2022•杭州模拟）用一架两臂不等长的天平称黄金，先将 的砝码放在天平左盘中，
取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
【解答】解：设左右两臂的长度为 ， ，两次取的黄金重量为 ， 克，显然 ，
则 ， ，化简得 ，
由基本不等式得 ．
故选： ．
6．（2022•杭州模拟）设 ， ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
7．（2022秋•周村区校级期末）设函数 ， ，若实数 ，
满足 （a） ， （b） ，则
A． （b） （a） B． （a） （b）C． （b）（a） D． （a） （b）
【解答】解： 是单调递增函数，
且 （1） ， （2） ，
又 （a） ，
，
同理， 在 上单调递增，
且 （2） ， （3） ，
又 （b） ，
，
（a） （2） ，
（b） （2） ，
（a） （b）．
故选： ．
8．（2023•金山区二模）若实数 、 满足 ，则下列不等式中成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于 ，取 ， ，满足 ，但是 不成立，故 错误；
对于 ，取 ， ，满足 ，但是 ，即 不成立，故
错误；
对于 ，取 ， ，满足 ，但是 不成立，故 错误；
对于 ， ，且 在 上单调递增，，故 正确．
故选： ．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋•西安区期末）下列命题中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【解答】解：对于 ，若 ，又 ，则 ，故 正确，
对于 ，若 ， ，满足 ，但是 ，故 错误，
对于 ，若 ，则 ，所以 ，即
，故 正确，
对于 ，若 ， ，满足 ，但是 ，故 错误，
故选： ．
10．（2022秋•雁峰区校级期末）下列说法中正确的是
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【解答】解：对于 ，因为 ， ，所以 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 ，所以 ，故 错误；
对于 ，若 ，则 ，又 ，所以 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，当 ， ， ， ，则 ，故 错误．故选： ．
11．（2022秋•宣城期末）已知 ， ， 则下列结论正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ，则
【解答】解：对于 ， ， ， ，即 ，故 正确；
对于 ，若 ，则 ， ，故 错误；
对于 ，设 ，显然 在 上单调递增，
， ，
，即 （a） （b），
，故 正确；
对于 ， ， ， ，故 错误．
故选： ．
12．（2022秋•市中区校级期末）下列命题为真命题的是
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【解答】解：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所
以 对；因为 ，所以 ，即 ，所以 对；
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 对；
当 ， ， ， ，满足 ， ，不满足 ，所以 错．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
13．（2021秋•贵溪市校级月考）若 ，则 ． 正确 （判断对错）
【解答】解：由 ，可知 ，所以 ，
故答案为：正确．
14 ． （ 2022 秋 • 昆 都 仑 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， ， 记 ，
，则 ．（用“ ”或“ ”或“ ”填）
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ．
故答案为： ．
15．（2022秋•兴庆区校级月考）已知 ， ，则 的范围是
．
【解答】解： ，
，
又 ，
，故 的范围是 ．
故答案为： ．
16．（2022秋•浦东新区期末）设 、 、 、 是实数，则下列命题为真命题的是
①③④ ．
①如果 ，且 ，那么 ；
②如果 ，且 ，那么 ；
③如果 ，那么 ；
④如果 ，那么 ．
【解答】解：对于①，根据不等式的基本性质得，如果 ，且 ，那么 ，
命题①正确；
对于②，如果 ，且 ，那么 错误，如 ， ， ， 时，
，命题②错误；
对于③，如果 ，那么 ，所以 ，即 ，命题③正确；
对于④，如果 ，那么 ，所以 ，命题④正确．
所以真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋•桃城区校级月考）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求 的值；
（2）当 时，比较 与 的大小．
【解答】解：（1）因为 的解集为 ，所以 ，解得 ；
（2）由 ，得 ，
时， ， ，所 以
所以 ，即 ．
18．（2022•南京模拟）比较 与 的大小．
【解答】解：
．
， ，
， ，
又 （当且仅当 时等号成立），
，
即 （当且仅当 时等号成立．
