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专题 07 函数的图象
目录
题型一： 作函数图像...........................................................4
题型二： 函数图像的判断.......................................................7
题型三： 结合函数图像解不等式................................................12
知识点总结
知识点一、利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周
期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，
连线．
知识点二、函数图象的变换
(1)平移变换左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把x提出
来，再进行操作．
上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．
(2)对称变换
①y＝f(x)――――――――→y＝ － f ( x )．
②y＝f(x)――――――――→y＝ f ( － x ) ．
③y＝f(x)――――――――→y＝ － f ( － x )．
④y＝ax(a＞0且a≠1)――――――――→y＝log x ( x >0) ．
a
(3)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝ f ( ax ) ．
②y＝f(x)――――――――――――――――→y＝ af ( x ) ．
【常用结论与知识拓展】
1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于
直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关
于点中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
3．两个函数图象的对称性(相互对称)(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线(a＋x)－(b－x)＝0，即x＝对称．
(2)函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称．
例题精讲
题型一：作函数图像
【要点讲解】(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据
这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,
则可利用图象变换作图.
【例1】利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
【解答】解：（1）把 的图象向右平移一个单位得到 图象如图所示：（2）把 的图象 轴右边不动， 轴左边的去掉，再把 轴右边图象沿 轴对折即
可得到 图象如图所示：
（3）把 的图象向下平移一个单位得到 图象如图所示：（4）把 的图象沿 轴对折得到 图象如图所示：
（5）把 的图象向下平移一个单位得到 图象，图象 轴右边不动， 轴左
边的图象沿 轴对折即可得到 图象如图所示：（6）把 的图象绕着原点旋转 ，即可得到 的图象如图所示：
【变式训练1】作出下列函数的图象
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1） ，故它的图象如图1所示．
（2）把 的图象位于 轴上方的保留不变，再把图象位于 轴下方的部分对称到 轴的上方，
即可得到 的图象，如图2所示．
（3） 为偶函数，它的图象关于 对称，它的图象如图3所示．
（4） 在 上是增函数，且 ；在 上是增函数，且 ，
它的图象关于点 对称，如图4所示．
题型二：函数图像的判断
【要点讲解】(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
【例2】函数 的图象大致为A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数 ，必有 ，解可得 ，
即函数的定义域为 ，
有 ，则 为奇函数，可排除 ；
又由 （1） ，排除 ，
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，则 的图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数 ，则 ，
其图象与 对应，故选： ．
【变式训练2】函数 的图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，则函数 为偶函数，排除 ，
在区间 上， ， ，则 ，排除 ，
故选： ．
【变式训练3】函数 的大致图像是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意， ，其定义域为 ，则 ，则函数 为偶函数，排除 ，
当 时， ，有 ，排除 ，
当 时， ，有 ，排除 ．
故选： ．
【变式训练4】函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：由 ，得 ， 函数的定义域为 ，关于原点对称，
，
为奇函数，排除选项 和 ，
，
在定义域内为减函数，
故选： ．【变式训练5】函数 ， ， 的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解： ，则函数 是奇函数，排除 ，
当 ， 时，函数 ，排除选项 、 ．
故选： ．
【变式训练6】已知函数 的部分图象大致如图所示，则其解析式可以是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据函数的对称性，可得函数 为偶函数，
对于 ， （2） ，排除 ．
对于 ， ，选项 不经过原点，排除 ，
对于 ， ，选项 为奇函数，排除 ，
故选： ．【变式训练7】函数 的图象可能为
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数 的定义域为 ， ， ，且 ，
所以函数 是奇函数，故 错误；
当 时， ，故 错误；
当 时， ，因为 的变化速度越来越快，
的变化速度越来越慢，所以 的变化速度越来越快，故 错误；
故选： ．
题型三：结合函数图像解不等式
【例3】已知函数 ，若存在 ，使得 （a） （b）
（c），则 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：设 （a） （b） （c） ，作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，
由图可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
且函数 在 上为增函数，
由 （c） ， ，因为 ，解得 ，
所以， ，
故选： ．
【变式训练1】若函数 的图象上存在两点关于直线 对称，则实数
的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：要使函数 的图象上存在两点关于直线 对称，
只需 的图象关于 的对称图象与 在 上有交点即可，作出它们的图象如右：要使图象满足上述情况，只需 即可，
即 ．
故选： ．
【变式训练2】已知函数 ，若存在非零实数 满足 （a）
（b） （c） （d） ， ， ， 互不相等），则 的取值范围是
．
【解答】解：函数 的图象如下图所示：
存在实数 ， 满足 （a） （b） （c） （d） ， ， ， 互不相
等），
不妨设 ，则由图可知 ， 关于 对称，所以 ；当 时，令 ，解得 或 ，故而 ， ，
且由图可得 ， ，
， ，
， ， ， ，
设 ，则 ， 在 上单调递减，
， ， ， ，
所以 ，所以 ，
综上所述 ．
故答案为： ．
【例4】已知函数 ．（1）画出 的图象，并写出 的单调递减区间；
（2）当实数 取不同的值时，讨论关于 的方程 的实根的个数；（不必求出方程
的解）；
（3）若关于 的方程 的有4个不同的实数根，求 的取值
范围．
【解答】解：（1）解：当 时， ，图象为开口向上的抛物线，对称轴
为 ，两个零点分别为 ， ，最小值为 ；
当 时， ，在 上单调递减，零点为 ．
作出图象如右：所以 的单调递减区间为 和 ；
（ 2 ） 解 ： 因 为 ， 时 ， ， 在 上 单 调 递 减 ， 且
，
故当 时， 有1个根；
当 时， 有2个根；
当 时， 有3个根；
当 时， 有1个根；
当 时， 没有根；
（3）解：设 ，
则由已知得方程 有两个不同的根 ， ．
要使原方程有4个不同的实数根，
则方程的 两个根必需满足：一个根大于3，一个根位于 ，或一个根等于 ，一个根位于 ，
当一个根大于3，一个根位于 时， ，解得 ；
当一个根等于 ，一个根位于 时， ，解得 ；
综上所述， 的取值范围为 ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．函数 的图象大致为
A． B．C． D．
【解答】解： ，即 是奇函数，图象关于原
点对称，排除 ．
当 时， ，排除 ，
当 时， ，则 ，排除 ．
故选： ．
2．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计 的比赛，其中某
位同学利用函数图象设计了如图的 ，那么该同学所选的函数最有可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，由 分析，该同学所选的函数为偶函数，在 轴右侧开始的一
部分为减函数；
由此分析选项：
对于 ， ， ，在区间 上， ，
为增函数，不符合题意；
对 于 ， ， 其 定 义 域 为 ， 有， 为偶函数，
且 ，在区间 上， ， 为减函数，符合题意；
对于 ， ， ，在区间 上， ，
则 ， 在 上为增函数，不符合题意；
对 于 ， ， 其 定 义 域 为 ， 有
， 为奇函数，不符合题意．
故选： ．
3．已知函数 的大致图象如图所示，则
A． ， ， B． ， ， C． ，
， D． ， ，
【解答】解：由图可知，函数 有两个递增区间，一个递减区间，
所以函数 图象开口方向朝上，且于 轴有两个交点，
故 ；
又函数 的极大值点在 轴左侧，极小值点在 轴右侧，且极大值点离 轴较近，
所以方程 的两根 ， 满足 ， ，
即 ，得 ， ，
因此 ， ， ．
故选： ．4．要得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解答】解：根据题意，函数 ，
要得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象向右平移 个单位．
故选： ．
5．函数 在区间 ， 内的图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，
，
当 时， ，
，
由选项可判定 选项图象正确．
故选： ．
6．函数 的部分图象大致为A． B．
C． D．
【 解 答 】 解 ： 函 数 的 定 义 域 为 ， 且
，
则 为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项 ；
又 ，
则排除选项 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．已知函数 ， ， ， 的图象如图所示，则下列说法与图象符
合的是
A． ， B． ， ， ，
C． ， D． ， ， ，【解答】解：根据题意，函数 ，则有 ，
由图象知，的定义域为 且 ，则方程 的两个根分别为 ，
，
所以 ， ，所以 ， ，
故有 ， 异号， ， 同号，又因为 ，所以 ， 异号，
分析选项可得： 正确， 错误；
故选： ．
8．在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是
A．
B．C．
D．
【解答】解：当 时，函数 是一条与 轴交在点 上方的直线，它的倾斜
角是 的钝角，
而要得到 的图像是将单调递增的指数函数 向下移动1个单
位，再将得到的图像 轴下方的翻上来，上方的图像保持不变，只有 选项满足条件．
当 时，函数 是一条与 轴交在原点与 之间的直线，它的倾斜角是
的钝角，
而要得到 的图像是将单调递减的指数函数 向下移动1个单
位，再将得到的图像 轴下方的翻上来，上方的图像保持不变，只有 选项满足条件．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．函数 是定义在 ， 上的奇函数，若当 ， 时， 的图象如图所示，
则不等式 的解集为 ， ， ．【解答】解：根据题意，奇函数的图象关于原点对称，
则 在 ， 上的图象如下所示：
结合图像可得： 的解集为 ， ， ；
故答案为： ， ， ．
10．函数 的图象如图所示，那么， 的定义域是 ， ， ；值域
是 ．
【解答】解：观察函数的图象，图象上各点的横坐标范围为 ， ， ，
函数的定义域为 ， ， ，
观察函数的图象，图象上各点的纵坐标范围为 ， ， ，， ， ， ，
故函数的值域为 ， ，
11．设函数 ，则函数 与 的图象的交点的
个数是 4 ．
【解答】解：当 时， ，解得 或 ，
当 ， ， 时， ，解得 或 ，
综上所述函数 与 的图象的交点的个数是4，
故答案为：4
12．函数 的图像不经过第 三 象限．
【解答】解：函数 的图像在二、四象限，以坐标轴为渐近线，
将它的图像向右平移1个单位，得到 的图像，该图像以 为渐近线，图像位
于第一、二、四象限，
再将 的图像向下平移2个单位，得到函数 的图像，此时，函数图像
位于第一、二、四象限，故不经过第三象限，
故答案为：三．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数 是定义域在 上的奇函数，当 时， ．
（1）求出函数 在 上的解析式；
（2）画出函数 的大致图象并写出函数的单调区间．【解答】解：（1）函数 是定义在 上的奇函数，所以 ；
设 ，则 ，所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
，
；
（2）由（1）知，
由图可知 单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ， ， ， ．14．作出下列函数的图象：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原函数解析式可化为 ，
故函数图象可由 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
如图1所示．
（2）原函数解析式化成分段形式，得 ，
再分别作出两段的图象，得图象如图2所示．
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
（1）求函数 的解析式，并作出函数的大致的简图；
（作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）；
（2）根据图象写出函数单调区间；
（3）若不等式 在 ， 上有解，求 的取值范围．
【解答】解：（1）令 ，则 ，，
是定义在 上的奇函数，
，
函数 的解析式为 ．
列表如下：
0 1 2
0 1 0 0
函数的大致简图如下所示．
（2）由（1）中的函数图象可知， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为
， ．
（3）由（1）可知， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
而 ， （3） ，
（3） ，
由于 在 ， 上有解，即 在 ， 上有解，可转化为成立，
，解得 ，
故实数 的取值范围为 ， ．
