重难点突破07零点与隐零点问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 06 零点与隐零点问题 导数问题中遇到隐零点问题的解决方法 第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零 点是否存在以及取值范围； 第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参。 1．（2022春•昭通月考）设函数 ，曲线 在点 ， 处切线 的斜率为1， 为 的导函数． （1）求 ； （2）证明： 在 ， 上存在唯一的极大值点 ． 【解答】解：（1） ， 由题意得， ， 即 ； （2）证明：令 ，则 ， 所以 且 ， 当 ， 时， ， 单调递增，当 ， 时， ， 单调递 减， 又 ， ， ， 由零点存在定理可知，在 ， 上存在唯一的 ，使得 ， 当 时， ，当 ， 时， ， 所以 即 在 ， 上存在唯一的极值点 ．2．（2023春•阜阳期末）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）令 ，若不等式 恒成立，求 的最小值． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 所以 单调递增，即 单调递增， 又 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 综上，函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； （2）若 ，函数定义域为 ， 可得 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 所以 在单调递增，即 上单调递增， 又 ，， 所以存在 ， ，使得 ，① 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 要使不等式 恒成立， 需满足 ，② 联立①②，解得 ， 由①式知， ， 解得 ， 则 的最小值为 ． 3．（2023春•河池期末）已知函数 ． （1）求函数 的最小值； （2）求证： ． 【解答】（1）解： ， ， 设 ， ， 在 上为单调递增函数， （1） ， （1） ，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 时， 取得最小值， （1） ；（ 2 ） 证 明 ： 要 证 ， 只 需 证 ， 即证 ，令 ，则 ， 当 时，令 ，则 ， 在 上单调递 增， 即 在 上为增函数， 又 ， 存在 ，使得 ， 由 ， 得 ，即 ，即 ， 当 时， ， 单调递减， 当 ， 时， ， 单调递增， ， 令 ， 则 ， 在 上单调递增， ，， ， 即 ． 4．（2023•东莞市校级三模）已知函数 ． （1）证明： ； （ 2 ） 证 明 ： 函 数 在 上 有 唯 一 零 点 ， 且 ． 【解答】证明：（1）令 ，求导得 ， ， 即函数 在 上单调递增，由 ，得 ，由 ，得 ， 因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ． （2）由 ，求导得 ， ，即函数 在 上单调递减， 又 ， 由零点存在性定理知，存在唯一实数 ，使得 ， 则当 ， ， 单调递增， 单调递减，而 ， 则 ，且 在 恒成立，又 ， 因此存在唯一 ，使得 ， 下面证明 ，由 知 ，即 ， 则只需证 ，即证 ， 由（1）知： ，只需证： ， 令 ，而 ， 故只需证 ，其中 ， 令 ， 则 ，函数 在 上单调递增， 因此 ，即 时， ， ． 5．（2023春•咸阳期末）已知函数 ． （1）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）记 ，若当 时， 恒成立，求正实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由 ，得 ， ，又 （1） ， 曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ， 即 ；（2） ， ， ， ， 令 ，改函数在 上单调递增，可得 ． 当 时， ，则 ， 在 上单调递增，有 ， 在 上单调递减，则 ， 符合题意； 当 时，存在实数 ，使 ， 时， ， 即 ， 在 ， 上单调递减， ，则 在 ， 上单调递增， ， 时， ，可知 不符合题意． 综上所属，正实数 的取值范围为 ， ． 6．（2021春•雨花区校级月考）已知函数 ， ， ． （1）当 时，讨论函数 的零点个数； （2）记函数 的最小值为 ，求 的最小值． 【解答】解：（1） 的定义域为 ， ，①当 时， ， 单调递增，又 ， ， 所以函数 有唯一零点， ②当 时， 恒成立，所以函数 无零点， ③当 时，令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 ， 故当 时， ，所以函数 无零点， 综上所述，当 时，函数 无零点，当 时， 有一个零点． （2）由题意得， ， 则 ，令 ，则 ， 所以 在 上为增函数，即 在 上为增函数， 又 （1） ， ，所以 在 上存在唯一零点 ，且 ， ， ，即 ， 当 时， ， 在 上为减函数，当 ， 时， ， 在 ， 上为增函数， 的最小值 ，因为 ，所以 ，所以 ， 由 ，得 ，在 上为增函数， 因为 ，所以 （1） ， ， 所以 在 上存在唯一零点 ，且 ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 ， 时， ， 单调递增， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 又 ， 所以 ， 又函数 在 上为增函数，所以 ， 因为 ，所以 ，即 在 上的最小值为0． 7．（2023•葫芦岛二模）已知函数 ，且 ．（1）求 ； （2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ． 【解答】解：（1）由 恒成立， 令 且 ， ①当 时， （2） （舍 ； ②当 时， ， 在 上， ， 单调递减，在 上， ， 单调递增， ． 令 （a） ， （a） ， 在 上， （a） ， （a）单调递增，在 上， （a） ， （a）单调递 减， ，则 ． （2）证明：由（1）知： ， ，则 ， 令 ，则 ， 在 上， ，则 单调递减，在 上， ，则 单调递增， ， ， 有两个根 ， 图象如下，在 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 存在唯一极大值为 ，又 ， ， 令 ，在 上 ，故 单调递增． ，故 ，且 为极大值， ， ， ． 8．（2020秋•开福区校级期末）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）当 时， ，记函数 在 上的最大值为 ， 证明： ． 【解答】解：（1） 的定义域为 ， 又 ，①当 时， ，若 ，则 ，若 ，则 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； ②当 时，若 ，即 时，同理可得， 在 ， ， 上单调递增， 在 上单调递减； 若 ，即 时， ， 在 上单调递增； 若 ，即 时，同理可得， 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调 递减； 综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ， ， ；单调递减区间为 ， ； 当 时， 的单调递增区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ， ； （ 2 ） 证 明 ： 当 时 ， ， 则 ， 当 时， ， 令 ，则 ， 所以 在 ， 上单调递增． 因为 ， （1） ，所以存在 ， ，使得 ，即 ，即 ， 故当 ， 时， ， ；当 ， 时， ， ； 即 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减． 所 以 令 ， ， ，则 ， 所以 在 ， 上单调递增， 所以 ， （1） ， 所以 ． 9．（2021春•河南月考）已知函数 ． （1）求 的极值； （2）若 在 ， 上的最大值为 ，求证： ； 【解答】解：（1） ． ， （2） ， 时， ，此时函数 单调递增； 时， ，此时函数 单调递 减． 在 处取得极小值， （2） ，无极大值．（2）证明： ， ， ． ． ， ， ． 函数 在 ， 上单调递增， 又 ， （1） ， 因此函数 在 ， 上存在唯一零点 ，并且 ， ， （可得 ． 时，函数 取得极大值即最大值 ， ． 而函数 在 上单调递减． ， 而 ， ， ． 10．（2018•呼和浩特一模）已知二次函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）设函数 ，记 为函数 极大值点，求证： ． 【解答】解：（1） ，， 当 时， 在 上恒正； 所以， 在 上单调递增， 当 时，由 得 ， 所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． 综上所述， 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． （2）证明： 则 ， 令 ， 当 时， ， 为增函数； 当 时， ， 为减函数；所以， 在 处取得极大值 ， 一定有2个零点， 分别是 的极大值点和极小值点． 设 是函数 的一个极大值点，则 ， 所以， ， 又 ， 所以， ， 此时 ， 所以 ．