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专题 03 等式性质与不等式性质
目录
题型一： 不等式的性质...................................................................................................................4
题型二： 比较大小...........................................................................................................................6
题型三： 不等式范围求解...............................................................................................................6
知识点总结
知识点一、比较实数a，b大小的基本事实
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
⇔
②a－b＝0 a＝b；
⇔
③a－b<0 a<b.
⇔
(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
⇔
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
⇔
③<1(a∈R，b>0) a<b(a∈R，b>0)．
⇔
知识点二、等式的基本性质
(1)对称性：a＝b b ＝ a ；
⇔
(2)传递性：a＝b，b＝c a ＝ c ；
⇒(3)可加性：a＝b a ± c ＝ b ± c ；
⇔
(4)可乘性：a＝b ac ＝ bc ；
⇒
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝ .
⇒
知识点三、不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b b < a ；a<b b > a 可逆
⇔ ⇔
传递性 a>b，b>c a > c ；a<b，b<c a < c 同向
⇒ ⇒
可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
⇔
可乘性 a>b，c>0 ac > bc ；a>b，c<0 ac < bc c的符号
⇒ ⇒
同向可加性 a>b，c>d a ＋ c > b ＋ d 同向
⇒
同向同正
a>b>0，c>d>0 ac > bd 同向，同正
可乘性
⇒
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
⇒
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
⇒
【常用结论与知识拓展】
1.不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
⇒
②a＜0＜b ＜；
⇒③a>b>0，d>c>0 >；
⇒
④0<a<x<b或a<x<b<0 <<.
⇒
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；
②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．
2.若a<x<b，c<y<d，则a－d<x－y<b－c.
3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
例题精讲
题型一：不等式的性质
【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差(商)法;
(4)构造函数,利用函数的单调性;
(5)利用基本不等式.
【例1】（2022•西城区校级三模）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
【变式训练1】（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是A． B． C． D．
【变式训练2】（2023•阿拉善盟一模）已知 ，则下列不等式不成立的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】（2023•广陵区校级模拟）已知 ， ，则下列不等式成立的
是
A． B．
C． D．
【变式训练4】（2023•惠州模拟）已知实数 ，则下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
【例2】（2023•大同二模）已知 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【变式训练1】（ 2023• 临 高 县 模 拟 ） 给 定 下 列 四 个 命 题 ： 命 题 ① ，
；命题②： ；命题③： ；命题④： ．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，且 ，则
【例3】（2023•盱眙县校级四模）已知 ，给出下列不等式：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的有
A．① B．② C．③ D．④
【变式训练1】（2021秋•莒南县校级月考）已知 糖水中含有 糖 ，若再添
加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，
下列不等式中一定成立的有
A． B．
C． D．
题型二：比较大小
【要点讲解】（1）做差法（2）做商法
【例4】已知 ， ， ，则 ， 的大小关系为A． B． C． D．
【变式训练1】已知 ， ，其中 ，则 ， 的大小关
系为
A． B． C． D．大小不确定
【变式训练2】（2021秋•舒城县）已知 ， 比较下列各题中两个代数式值的
大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
【变式训练3】（2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：
（1） 与 ，其中 ；
（2） 与 ，其中 ．
题型三：不等式范围求解
【要点讲解】1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的
取值范围;
a 1
2.求形如 的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出 的取值范围,再与a遵循“同向同
b b
a
正可乘性”的原则求出 的取值范围;
b
3.已知M<f(a,b)<N ,M<f(a,b)<N ,求g(a,b)的取值范围步骤:
1 1 1 2 2 2
(1)设g(a,b)=pf(a,b)+qf(a,b);
1 2
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.
【例5】（2022秋•魏县校级期中）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2021•鸡冠区校级三模）已知 ， ，则 的取
值范围是 ．
【变式训练2】（2022秋•南关区校级期末）若 ， ，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023•西山区校级模拟）已知 ， ，则
A． 的取值范围为 ， B． 的取值范围为 ，
C． 的取值范围为 ， D． 的取值范围为
【变式训练4】（2023•重庆模拟）已知 ， ，则下列不等式不正确
的是
A． B． C． D．
【变式训练5】（2022秋•广东期末）已知 ， ，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，【变式训练6】（2022秋•金山区校级期末）已知实数 、 满足 ， ，则
的取值范围为 ．
课后练习
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•怀仁市校级月考）设 ， ，那 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023•重庆一模）设 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
3．（2022秋•眉山期末）若 ，则
A． B． C． D．
4．（2022•杭州模拟）下列结论正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， 则 D．若 ，则
5．（2022•杭州模拟）用一架两臂不等长的天平称黄金，先将 的砝码放在天平左盘中，
取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
6．（2022•杭州模拟）设 ， ，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．
7．（2022秋•周村区校级期末）设函数 ， ，若实数 ，
满足 （a） ， （b） ，则
A． （b） （a） B． （a） （b）C． （b）
（a） D． （a） （b）
8．（2023•金山区二模）若实数 、 满足 ，则下列不等式中成立的是
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋•西安区期末）下列命题中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2022秋•雁峰区校级期末）下列说法中正确的是
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则D．若 ， ，则
11．（2022秋•宣城期末）已知 ， ， 则下列结论正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ，则
12．（2022秋•市中区校级期末）下列命题为真命题的是
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
三．填空题（共4小题）
13．（2021秋•贵溪市校级月考）若 ，则 ． （判断对错）
14 ． （ 2022 秋 • 昆 都 仑 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， ， 记 ，
，则 ．（用“ ”或“ ”或“ ”填）
15．（2022秋•兴庆区校级月考）已知 ， ，则 的范围是 ．
16．（2022秋•浦东新区期末）设 、 、 、 是实数，则下列命题为真命题的是 ．
①如果 ，且 ，那么 ；
②如果 ，且 ，那么 ；
③如果 ，那么 ；
④如果 ，那么 ．
四．解答题（共2小题）17．（2022秋•桃城区校级月考）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求 的值；
（2）当 时，比较 与 的大小．
18．（2022•南京模拟）比较 与 的大小．
