重难点突破04数列与不等式综合（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 04 数列与不等式综合 一．选择题（共6小题） 1．（2023•江西模拟）在等比数列 中， ， ．记 ，2， ，则数列 A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【解答】解：根据题意，设等比数列 的公比为 ， 若 ， ，则 ，解可得 ， 则 ， 故 ， 分析可得：当 为偶数时， 为正，当 时， 最大，此时 取得最大值， 当 为奇数时， 为负，当 时， 最大，此时 取得最小值， 故选： ． 2．（2023•海淀区校级三模）已知等比数列 ，对任意 ， ， 是数列 的前 项和，若存在一个常数 ，使得 ， ，下列结论中正确的是 A． 是递减数列 B． 是递增数列C． D．一定存在 ，当 时， 【解答】解：设等比数列 的公比为 ， 对于 ：假设 ， ，符合 ，此时 ， 故存在 ，对 ， ， 又数列 是递增数列，故 错误； 对于 ；假设 ， ，符合 ，此时 ， 故存在 ，对 ， ， 又数列 是递减数列，故 错误； 对于 ：由选项 得 ， ， 则 ，故 错误； 对于 ：假设存在 ，当 时， ， 则 ， 当 时， ，这与 ，使得 ， 矛盾， 故一定存在 ，当 时， ，故 正确．故选： ． 3．（2023•全国二模）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立， ， ， 对任意 恒成立， 又 ， ，即 ， 故选： ． 4．（2023•江苏模拟）已知等比数列 的前 项和为 ， ，则使得 不等式 成立的正整数 的最大值为 A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解：已知 ， 当 时， ，则 ；当 时， ，则 ； 因为数列 是等比数列，所以 ，即 ， 整理得 ，解得 ， ，公比 ， 所以 ． 由不等式 ， 得 ， 即 ， 整理得 ，又 ， 所以 ，即 ， ， 所以正整数 的最大值为11． 故选： ． 5．（2023•鼓楼区校级模拟）数列 中， ，点 ， 在双曲线 上．若 恒成立，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：双曲线 的渐近线方程为 ， 因为点 ， 在双曲线 上， 则 ，且 ， 可得 ，可知 为递减数列，且 ， 则 为递减数列， 可得 ，且 ， 可得 ， 记点 ， ， 则 为直线 的斜率，记 ， 由双曲线的性质以及 为递减数列可知，直线 的斜率 为递减数列， 即 ，且随着 增大，直线 越接近渐近线 ， 故 接近于 ， 所以 ， 则 ． 故选： ． 6．（2023•江西模拟）若正项递增等比数列 满足： ， 则 的最小值为 A． B．2 C． D．4 【解答】解：根据题意，设等比数列 的公比为 ，由于数列 是正项递增等比数列，则 ， 由 于 ， 则 有 ， 变 形 可 得 ， 则 ， 又由 ， ，当且仅当 时等号成立， 故 ，当且仅当 时等号成立， 即 的最小值为2． 故选： ． 二．多选题（共1小题） 7．（2023•株洲一模）已知各项均为正数的等差数列 ，且 ，则 A． B． C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列 【解答】解：根据题意，设等差数列 的公差为 ，由于 ，则 ； 依次分析选项： 对于 ，数列 是各项均为正数的等差数列，则 ， 正确； 对 于 ， ， ， 则 ， 错误；对于 ，数列 是等差数列 中奇数项组成的数列，则数列 是等差数列， 正确； 对于 ， 时，数列 不是等比数列， 错误； 故选： ． 三．填空题（共4小题） 8 ． （ 2023• 黑 龙 江 一 模 ） 已 知 数 列 前 项 和 ， 数 列 满 足 为数列 的前 项和．若对任意的 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：当 时， ； 当 时， ， 将 代 入 上 式 ， 可 得 ， 则 ； ， ， 代入不等式 ，可得 ， 整理可得 ， 当 为偶数时，不等式为 ， 令 ， ，当 时， ，则 在 上单调递增， 由于 （4） （2），故 （2） ，此时 ； 当 为奇数时，不等式为 ， 令 ， 为奇数且 ， 易知 在 单调递增，则 （1） ，此时 ， 综上所述，实数 的取值范围为 ． 9．（2023•深圳模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足： ，且 ， 为方程 的两根，且 ．若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：由 可知数列 是等差数列，设其公差为 ， 解方程 得 或 ，又 ， ， ， ， ， ， 由 得 ， ，设 ， 则 ，由 对于任意 恒成立，所以只考虑 的符号， 设 ， ， 令 解得 ，即 在 上单调递增， 令 解得 ，即 在 上单调递减， （1） ， （2） ， （3） ， 当 ， （3） ， 当 ， 时， ，即 ， ， 当 ， ，即 ， 即从 ， 开始单调递减， 即 ， ，即 ， 的取值范围为 ． 故答案为： ． 10．（2023•辽宁模拟）已知数列 是以2为公比的等比数列， ， ，记数 列 的前 项和为 ，若不等式 对任意 ， 恒成立，则 的最 小值为 9 ． 【解答】解：由题知 ，则 ，所以 ， 所以 ， 所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列； 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 则 ， 因为 ，则有 ， 因为 对任意 ， 恒成立， 则只需 即可， 令 ， 则 在区间 ， 上单调递增， 所以 ， 所以 ，即 ，即 ， 解得 ，又 ， 所以 的最小值为9． 故答案为：9． 11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知数列 的通项 ， ， 设 是数列 的前 项和．若 对任意 都成立，则 的取值范围是． 【解答】解：由 ，得 ， ， ①当 为正奇数时， 对任意 都成立， 因为 ，所以 ，即 对任意正奇数 都成立， 又因为数列 递增， 所以当 时， 有最小值1，所以 ； ② 当 为 正 偶 数 时 ， ， 即 对任意 都成立， 又因为 ，所以 ，即 对任意正偶数 都成立， 又因为数列 递增， 所以当 时， 有最小值 ，所以 ； 综上所述， 的取值范围是 ． 故答案为： ． 四．解答题（共19小题） 12．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ， 且 ．（1）求 ； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，且 ， ， 所以 ， 则 ，即 ， 故 ． （2） ， 所以 ， 而 ， 故 对任意 恒成立， 需 ，即 或 ． 所以 的取值范围为 ， ． 13．（2023•包河区模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商 功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层 有6个球， ．球数构成一个数列 ，满足 ， 且 ． （1）求数列 的通项公式；（2）求证： ． 【解答】解：（1）因为 ， ，所以 ， ， 所以当 时， ， 当 时，上式也成立， 所以 ； （2）证明：由 ， 所以 ． 14．（2023•海口模拟）记 为数列 的前 项和，已知 ． （Ⅰ）证明：数列 是等差数列； （Ⅱ）设 为实数，且对任意 ，总有 ，求 的最小值． 【解答】解：（1）因为 ，所以 ， 作差可得 ，变形可得： ， 由条件可得 ，所以 ， ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）得： ， ， ， ， ， 满足 的 的最小值为2． 15．（2023•哈尔滨二模）已知数列 的首项 ，且满足 ． （1）求证：数列 为等比数列； （ 2 ） 设 数 列 满 足 求 最 小 的 实 数 ， 使 得 对一切正整数 均成立． 【解答】解：（1）证明：由于 ，则 ， 于是 ，由于 ，则 ， 故数列 是首项为 ，公比为 等比数列； （2）由（1）知 ，则 ， 由于 ，则， 当 时， ， 由 对一切正整数 均成立可得 ， 故最小的实数 为： ． 16．（2023•葫芦岛一模）设等差数列 的前项和为 ，已知 ， ，等比数列 满足 ， ． （1）求 ； （2）设 ，求证： ． 【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ， 则由题意得 ， 解得 ， ， ， ； 证明：（2）设等比数列 的公比为 ，由题意得， ，解得： ， ， ， ， ， 又 ， 令 ， ， 两式相减得 ， ， ． 17．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ①， 当 时， ，解得 ； 当 时， ②，由① ②得 ，即 ， 故 ， 又当 时， 符合上式， 故 ； （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 不 等 式 对 恒 成 立 ， 转 化 为 对 恒成立，即 对 恒成立， 令 ，则 ， 故 是递增数列， （1） ，即 ， 故实数 的取值范围为 ， ． 18．（2023•安徽模拟）已知数列 满足： ， ， ，从第二项开始，每 一项与前一项的差构成等差数列． （1）求 ； （2）设 ，若 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得， ， ， ， 数列 是以 为首项，公差 的等差数列， ， ， ， ， ， ，将所有上式累加可得 ， ． 又 也满足上式， ． （2）由（1）得， ， 则 ， 恒成立， ， 恒成立， ，即 的取值范围是 ， ． 19．（2023•湖北模拟）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，若数列 满足 ，求证： ． 【解答】解：（1） ， 当 时， ， 两式相减得： ，整理得 ， ， ，当 时， ， （舍 或 ， 是以1为首项，1为公差的等差数列，则 ； （2）证明：由（1）知， ， ， ， ，即 ． 20．（2023•陈仓区模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）证明： ． 【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ， 则 ， 解得： ， ． （2）证明：由（1）得： ，， ， ． 21．（2023•让胡路区校级模拟）已知数列 为等差数列，数列 满足 ，且 ， ． （1）求 ， 的通项公式； （2）证明： ． 【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ． 由 ， 所以数列 为等差数列，且 ， 的公差相等，均为 ． 由 ，得 ，则 ． 由 ，得 ，即 ． 因为 ，所以 ，则有 ，则 ， 故数列 的通项公式为 ， 则数列 的通项公式 ； （2）证明：由（1）可知 ，则 ． 22 ． （ 2023• 渭 南 模 拟 ） 已 知 首 项 为 1 的 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ． （1）求 及数列 的通项公式； （2）数列 中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如 果不存在，请说明理由． （3）若数列 满足 ，求证： ． 【解答】解：（1）由 ， 两边同时除以 ，可得 ， 则 是首项为 ，公差为 的等差数列， 即有 ， 即为 ， 时， ， 上式对 也成立， 所以 ， ； （2）数列 中假设存在连续的三项成一个等差数列，设 ， ， 成等差数列，则 ，即为 ， 即 ，即有 不成立，所以不存在连续的三项成一个等差数列； （3）证明：由 ，可得 ， 所以 ． 即有原不等式成立． 23．（2023•宜章县模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求证： ． 【解答】解：（1）由 ，可得 为公差为2的等差数列， 又 ，可得 ，解得 ， 则 ； （2）证明： ， ， 当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，原不等式成立； 当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，原不等式成立； 假设 时， ． 当 时， ， 要证 ，只要证 ， 即为 ，左边 ，右边 ，恒成立， 即 时，不等式也成立． 综上， ． 24．（2023•兴义市校级一模）记 为数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）证明： ． 【解答】解：（1）由已知 ①， 所以当 时， ②， ① ②得 ，整理可得 ， 则 ， ， ， 等式左右分别相乘得 ， 所以 ； （2）证明：由（1）得 ， 则 ， 所以 ，所 以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ，即 ． 25．（2023•铜陵三模）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证： ． 【解答】解：（1）由题意可知： ， 则 时，有 ， ， ， ，．经验证 符合题意； 时， ，经验证 ，符合题意． ． （2）证明：由（1）可知 ， ， ， ， ， ． 26．（2023•锦州一模）记 为数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）设单调递增的等差数列 满足 ，且 成等比数列． 求 的通项公式； 设 ，证明： ． 【解答】解：（1）因为 ，可得 ， ， 两式相减可得 ，即 ，则 ， ， 又因为 ，可得 ， 所以当 时， ，即 ， 当 时， 不满足上式， 所以数列 的通项公式为 （2） 设数列 的公差为 ， 因为 成等比数列，且 ， ， ， 所以 ， ， 整理得 ，解得 或 ， 因为 ，可得 ， 又因为 ，所以数列 的通项公式为 ． 证明：由 知， ， 可得 ， 当 时， ； 当 时 ， 综上可得，对于任意 ，都有 ． 27．（2023•襄城区校级模拟）函数 的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为 的一条线段．已知数列 由 定义． （1）用 表示 ， ； （2）若 ，记 ，求证： ． 【解答】解：（1）由题意可得， ， ， 解得： ， ； 证明：（2）当 时，由 ，得 ， ，则 ， ， 令 ， 则 ， ， ， 则 ． 28．（2023•龙华区校级模拟）已知各项均为正数的数列 满足 ，其中 是 数列 的前 项和．（1）求数列 的通项公式； （2）若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求 实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ， ， 时， ， 化为 ， ，都有 ， ， 时， ，解得 ， 数列 是等差数列，公差为2，首项为1， ． （2）由（1）可得： ， 时， ， 当 时 ，， 当 时，总有 恒成立， ， 实数 的取值范围为： ， ． 29．（2023•天津模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足： ． （1）求证：数列 为等差数列； （2）若 ，数列 满足 ， ， ，记 为 的前 项和，求证： ； （3）在（2）的前提下，记 ，数列 的前 项和为 ，若不 等式 对一切 恒成立，求 的取值范围． 【 解 答 】 证 明 ： （ 1 ） 因 为 ， 所 以 ① ， ②， ② ①可得 ，即 ③， 则 ④， ④ ③可得 ， 化简可得 ，所以 ，所以数列 为等差数列； （2） ，，当 时可得 ，解得 ， 因为 ，所以 ， 因为数列 满足 ， 所以 ，所以 ， 所以数列 为等比数列， ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， 所以 ，即 ， （3）解：由（2）可得 ； 所以 设 的前 项和中，奇数项的和为 ，偶数项的和为 ， 所以 ， ， 当 为奇数时， ， 所 以 当 为偶数时， ，所以 ， 由 ， 得 ， 即 ， 当 为偶数时， 对一切偶数成立，所以 ， 当 为奇数时， 对一切奇数成立，所以此时 ， 综上，对一切 恒成立，则 的取值范围是 ． 30．（2023•温州模拟）设 为正项数列 的前 项和，满足 ． 求 的通项公式； 若不等式 对任意正整数 都成立，求实数 的取值范围； （Ⅲ）设 （其中 是自然对数的底数），求证： ． 【解答】解： ， ． ， 两式相减得 ， 即 ， 得 ， ， 又由 ，得 ， ；即为 ， 当 时， ，得 且 ， 下面证明当 且 时， 对任意正整数 都成立． 当 时， ， ， 又 时，上式显然成立． 故只要证明 对任意正整数 都成立即可． （Ⅲ） ， ， 当 时 ，