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考向 48 离散型随机变量的分
布列、均值与方差
1．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一
起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每
人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次
数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．
【分析】
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 ，即可得解.
【详解】
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
2．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同
学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则
从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回
答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答
A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
【分析】
（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，
找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】
（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
1.用定义法求离散型随机变量ξ的分布列及均值、方差的步骤：
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值；
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)由均值的定义求E(ξ)．
2.求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法,求概率时一定要弄清相应的概率类型
（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）.
(1) 利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事
件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事
件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数
比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝求概率.
(2)较为复杂的概率问题的处理方法有：
①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；
②采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率.
3.条件概率的求法
①利用定义,分别求出P(A),P(AB),得P(B|A)＝；
⑵借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基
本事件数n(AB),即P(B|A)＝.
③为了求一些复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和,利用公式
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算,其中B,C互斥.4.高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合条
件,求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种
方案,试作出判断．利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策,品种的优劣、仪器的好坏、
预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量
的期望,当 时,不应认为它们一定一样好,需要用 来比较这两个随机变量的方差,
确定它们的偏离程度.若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.
1.随机变量与离散型随机变量
如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，
随机变量常用字母 ， ， ， 等表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2. 离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量 可能取的值为 ， ，…， ，…， ， 取每一个值 的概率
，则称表
… …
… …
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.有时为了简单起见，也可用 ，
表示 的分布列.
3. 离散型随机变量分布列的性质
①p≥0，i＝1,2，…，n；
i
②＝1.
i
4.两点分布(0－1分布)
随机变量 的分布列为
X 1 0
P p 1－p
则称 服从两点分布，并称 为成功概率，两点分布也称 分布.
5.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝,k＝
0,1,2,…,m,其中m＝min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列.记为X～H(n,M,N).此时有 .
6.二项分布
如果随机变量 的可能取值为 0，1，2，…，n，且 取值的概率 (其中
)，其随机变量分布列为
0 1 … k … n
… …
则称 服从二项分布，记为 .
7.条件概率
一般地，设 ， 为两个事件，且 ，称 为事件 发生的条件下，事件 发
生的条件概率. 读作 发生的条件下 发生的概率.
在古典概型中，若用 表示事件 中基本事件的个数，则 .
8.相互独立事件
(1)对于事件 ， ，若事件 的发生不会影响事件 发生的概率，则称 相互独立.
(2)若 与 相互独立，则 ， .
(3)若 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也都相互独立.
(4)若 ，则 ， 相互独立.
(5) 理解事件中常见词语的含义：
①A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；
②A,B都发生的事件为AB；
③A,B都不发生的事件为AB；
④A,B恰有一个发生的事件为AB∪AB；
⑤A,B至多一个发生的事件为AB∪AB∪AB.
9.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试
验只有两种结果,即要么发生、要么不发生,且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.在相同条件下
重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若A(i＝1,2,…,n)是第i次试验的结果,则P(AA…A)＝
i 1 2 n
P(A)P(A)…P(A).
1 2 n
(2)在n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为(每次试验中事件A发生的概率为p) Cpk(1－p)n－k ,
事件A发生的次数是一个随机变量X,其分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k (k＝0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n,p).此时有 .
10.离散型随机变量的数学期望（均值）
(1)若离散型随机变量 的概率分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则称 为随机变量 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量
取值的平均水平.
(2)若 ，其中 ， 为常数，则 也是随机变量，且 .
(3)①若 服从两点分布，则 ；②若 ，则 .
11.离散型随机变量的方差
(1)若离散型随机变量 的概率分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则称DX＝ 为随机变量 的方差，其算术平方根 为随机变量 的标准差.
(2) .
(3)①若 服从两点分布，则 ；②若 ，则 .
【知识拓展】
1.超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、
次品”等,②总体一般是有限个.超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景
下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量
很大时,超几何分布近似于二项分布.
2.条件概率具有的性质：
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 .1．（2021·浙江·模拟预测）随机变量 满足分布列如下：
0 1 2
P
则随着 的增大（ ）
A． 增大， 越来越大
B． 增大， 先增大后减小
C． 减小， 先减小后增大
D． 增大， 先减小后增大
2．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量 满足 ，且随机变量 的分布列如下：
0 1 2
则随机变量 的方差 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知 ，随机变量 的分布列如图所示，则（ ）
1 2 … …
… …
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·模拟预测）已知 为正常数，离散型随机变量 的分布列如表：
0 1若随机变量 的数学期望 ，则 ___________， __________.
1．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意
来自于国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的
人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师
们，保护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021
年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，
其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．
分组（时间：分钟） 频数 频率
50 0.25
20 0.1
50 0.25
60 0.3
12 0.06
8 0.04
将日均课外阅读时间在 内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”
的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（ ）
A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟
B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，
则这2人恰好是一男一女的概率为
C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟
D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人
2．（2021·辽宁抚顺·一模）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法
二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 和 ，则
（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
3．（2021·浙江·模拟预测）林老师等概率地从1~3中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从1~5中
抽取一个数字，记为Y，已知 ，其中 是 的概率，其中 ，则E
（XY）=（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
4．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量 的分布列如下：
X 1 2 3
P a b 2b—a
则 的最大值为（ ）
A． B．3
C．6 D．5
5．（2021·全国·模拟预测）（多选题）有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未
使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为 ， ，若事件“点
恰好落在直线 上”对应的随机变量为 ， ， 的数学期望和方差分别为
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·吉林长春·一模（理））水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是
2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体
育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为 ，求随机变量 的概率分布列
及数学期望 .
7．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，
发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为 （ 为参数），则这
个随机变量 的数学期望 ___________.
8．（2021·四川内江·模拟预测（理））设随机变量 的分布列为 ， ， ， ，
为常数，则 _________．
9．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））小明同学参加了本次数学质检测验，在做选择题时（每题5
分），前9道题均会做，但由于粗心做错一题，后3题不会做，只好每题从四个选项中随机蒙了一个.
（1）求小明同学选择题得分不低于50分的概率；
（2）当小明同学完成填空题时，考试时间只剩55分钟，此时还需完成6道解答题.若根据小明同学近期几
次模拟考时一道解答题平均所需花费时间估计概率（下表所示）
一题所需时长/分钟 8 9 10
概率 0.5
以小明同学答题时间的期望为依据，预计小明同学这次质检能顺利完成所有题目，求 的取值范围.
10．（2021·全国·模拟预测（理））据了解，现在快节奏的工作､不健康的生活方式，使人们患上“三
高（高血压､高血脂､高血糖）”的几率不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化.为提高辖区居民个人健康
管理意识，了解“三高”相关知识，某社区邀请市专家协会主任医师举办“三高”专题健康知识讲座，为
辖区居民解答健康疑问.讲座结束后，对参加市民举行网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过
随机抽样，得到参加问卷调查的 人的得分（满分： 分）数据，统计结果如下表所示：
组别
频数（1）求这 人得分的及格率（ 分及以上为及格）.
（2）求这 人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（3）社区为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分及格的可以获赠 次随机话费，得分不及格的可以获赠 次随机话费；
②每次赠送的随机话费和对应的概率如下表：
赠送的随机话费（单位：元）
概率
将这 人得分的及格率作为参加问卷调查及格的概率，记 （单位：元）为某市民参加问卷调查获赠的
话费，求 的分布列及数学期望.
11．（2021·宁夏大学附属中学三模（理））中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更
大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉､波兰苹果､法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的
汽车､电子元件､农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品
的一个系统 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为 ，且每个电子元件能否正常工作
相互独立，若系统 中有超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所
需费用为900元.
（1）求系统需要维修的概率；
（2）该电子产品共由3个系统 组成，设 为电子产品所需要维修的费用，求 的分布列和数学期望.
12．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正
式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同
步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精
度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度 近似满足 ，
预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾
斜地球同步轨道卫星数记为 ，求 的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5
颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为 ，求 的数学期望．附：若 ，则 ， ，
．
1．（2019·浙江·高考真题）设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
2．（2013·广东·高考真题（理））已知离散型随机变量 的分布列为
则 的数学期望
A． B． C． D．
3．（2015·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）
=20，则P=__________．
4．（2011·浙江·高考真题（理））某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人
简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）= ，则随机变量X的数学期望E
（X）=___________．
5．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数
为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ___________，
___________.
6．（2020·浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，
每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则 _______；
______．
7．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0
代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的
且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
8．（2020·江苏·高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两
口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X，恰有2个黑球
n
的概率为p，恰有1个黑球的概率为q．
n n
（1）求p·q和p·q；
1 1 2 2
（2）求2p+q与2p +q 的递推关系式和X的数学期望E(X)(用n表示) ．
n n n-1 n-1 n n
9．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，
蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用 表示取到的豆沙粽的个数，求 的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
10．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设点集 ，令 .从集合M中任取两个不同的
n
点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
1．【答案】B
【分析】
结合分布列的性质求出 的值以及 的范围，然后根据期望与方差的概念表示出期望与方差，结合函数的
性质即可得出结论.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，解得 ，
所以 ，随着 的增大， 增大；
，
因为 ，所以 先增大后减小.
故选：B.
2．【答案】B
【分析】
根据题意得 ，进而根据题意计算期望与方程即可.【详解】
解：由分布列的性质，得 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故选：B
3．【答案】ABD
【分析】
利用概率之和为 求得 ，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
，A正确.
，B正确.
，C错误.
，D正确.
故选：ABD
4．【答案】
【分析】
根据由 求解.
【详解】由题意知 ，
解得
所以 .
故答案为： ， .
1．【答案】B
【分析】
利用组中值乘以频率最后作和，求得平均值，可以判断A项是错误的；根据题中所给的条件，可以判断出
合格的同学有80人，根据男生20人，得到女生60人，从而求得不合格男女生人数，利用分层抽样方法，
结合概率公式求得B项是正确的；利用中位数满足的条件，可以确定其为26，可得C项错误；利用所占比
例可求得其人数为3000，得到D项错误，最终选出正确结果.
【详解】
，A错；
合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人
不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人
在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人
10人中任取两人为一男一女的概率为 ，B对；
设中位数为x，则
∴ ，C错
课外阅读合格女生所占全体学生的概率人，D错．
故选：B．
2．【答案】C
【分析】
分别计算 和 ，再比较大小.
【详解】
方法一：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率 ．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率 ．
，则 ．
故选：C.
3．【答案】C
【分析】
首先求出 、 ，再根据 与 相互独立，即可得到 计算可得；
【详解】
解：依题意 ， ，
所以 ， ，因为 与 相互独立，所以
故选：C
4．【答案】C
【分析】
根据概率和为1得到 ，再计算 ，得到 ， ，计算最值得
到答案.【详解】
，只需求 的最大值即可，根据题意： ， ，
，
所以 ，
当 时，其最大值为 ，故 的最大值为 ．
故选：C.
5． 【答案】ABD
【分析】
求出 的所有可能值，求出相应的概率，可判断AB，再计算期望与方差，判断CD．
【详解】
因为a的所有可能取值为2，3，4，b的所有可能取值为2，3，4．点 恰好落在直线 上，所
以 的所有可能取值为4，5，6，7，8．
从两个盒子中分别任取1个球，共有9种情况， ， ， ，
， ．对于A， ，故A选项正确；
对于B， ，故B选项正确；
对于C， ，故C选项错误；
对于D， ，故D选项正确，
故选：ABD．
6．
【答案】（1） ；
（2） 的分布列如下：.
【分析】
（1）、
所有基本事件 种,2人来自不同场馆的概率等于1减去2人来自同一场馆的概率，2人来自同一场馆即分
为2人都来自国家体育馆或2人都来自五棵松体育馆;
（2）、计算满足情况的所有基本情况数， 的所有可能取值为 .分别计算 ， ， 对应的概
率，然后列出分布列，最后计算数学期望 .
【详解】
（1）、设 “从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学
生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件 种情况. 若2人都来自国家体育馆有
种情况，若2人都来自五棵松体育馆有 种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率
.
（2）由题意 的所有可能取值为 .及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共
有： 种.
当 时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共 种，此
；
当 时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共 =24
种， ,当 时，3人都来自于五棵松体育馆，共 种.
的分布列如下：
.
7．【答案】
【分析】
由离散型随机变量分布列性质概率和为1得到 ，利用期望计算公式得
，再利用倒序相加可得答案.
【详解】
由离散型随机变量分布列性质：
，得 ，
所以 ，①
，②
由① +②得：
，
所以 .
故答案为：5.
8．【答案】
【分析】
首先根据概率和为1可得 的值，再由 即可得结果.【详解】
随机变量 的分布列为 ， ， ， ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
故答案为： .
9．【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据离散型随机变量分布列的性质，结合数学期望的公式进行求解即可.
（1）
小明同学后3题每题蒙对的概率都为 ，每题蒙错的概率都为 ，
所以小明同学选择题得分不低于50分的概率为：
；
（2）
由分布列的性质可知： ，
小明同学答题时间的期望为： ，由题意可知：
，即 .
10．【答案】（1）、这 人得分的及格率为 .
（2）、求这 人得分的平均值为 分
（3）、 的分布列如下：的数学期望为
【分析】
（1）、根据参加问卷调查的 人的得分统计表可知及格人数，除以总人数 即可得到及格率；
（2）、结合参加问卷调查的 人的得分统计表，利用每个区间的中点值乘以每个区间的概率并相加即可
得到这 人得分的平均值；
（3）、根据题意判断出获赠的话费 的所有可能值，分别算出其对应的概率，列出 的分布列，计算
的数学期望为 .
【详解】
（1）、这 人得分的及格率为： .
（2）、求这 人得分的平均值为：求这 人得分的平均值为：
分
（3）、根据题意，获赠的话费 的可能值为： ， ， ，
得 元的情况为得分不及格， ;
得 元的情况有一次获得 元，或者2次机会都是 元， ;
得 元的情况为两次机会，一次获得 元一次获得 元， ;
得 元的情况为两次机会，两次都获得 元， ;
的分布列如下：的数学期望为
11．【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）由 次独立重复试验中事件 恰好发生 次概率计算公式能求出系统需要维修的概率；
（2）设 为需要维修的系统的个数，则 ，且 ，写出随机变量 的所有取值，分别求
出对于随机变量的概率，由此能求出 的分布列及期望 ．
【详解】
解：（1）系统需要维修的概率为 ；
（2）设 为需要维修的系统的个数，则 ，且 ，
则 的所有可能取值为0，900，1800，2700，
，
，
，
0 900 1800 2700
所以 ．
12． 【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析， ；（ⅱ）4.
【分析】
（Ⅰ）根据“ ”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知 服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知 服从二项分布，利用公
式即可求解．
【详解】（Ⅰ）由 ，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知 ， ，
∴ 的分布列为
∴ ．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为 ，所以5个基
地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目 ，
∴ ．
【点睛】
方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型
随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出 取各
个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑
推理能力与计算能力，属于中档题.
1．【答案】D
【分析】
研究方差随 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要
知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】
方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先
减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】
易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能
正确得到二次函数表达式.
2． 【答案】A
【详解】
,故选A．
【考点定位】离散型随机变量的期望
3．（2015·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）
=20，则P=__________．
【答案】
【详解】
试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q= ，则p= ，
故答案为 ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．4．【答案】
【详解】
∵P(X＝0)＝ ＝(1－p)2× ，∴p＝ ，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝ ，P(X＝1)
＝ ×( )2＋2× ×( )2＝ ，P(X＝2)＝ ×( )2×2＋ ×( )2＝ ，P(X＝3)＝ ×( )2＝ ，
因此E(X)＝1× ＋2× ＋3× ＝ ．
5．【答案】1
【分析】
根据古典概型的概率公式即可列式求得 的值，再根据随机变量 的分布列即可求出 ．
【详解】
，所以 ，
, 所以 , 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．
6．【答案】
【分析】
先确定 对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期
望公式求结果.
【详解】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
随机变量 ，
，
，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
7． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
8． 【答案】（1） （2）
【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数学期望公式求结
果.
【详解】
（1） ，
，
.
（2） ，
，
因此 ，
从而 ，
即 .
又 的分布列为
0 1 2
故 .
【点睛】
本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，
属难题.
9．【答案】（1）分布列见解析；（2） .
【分析】
（1）首先求随机变量 ，再利用古典概型求概率；
（2）根据（1）的结果求概率.【详解】
（1）由条件可知 ，
， ， ，
所以 的分布列，如下表，
（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率 .
10．【答案】（1）见解析；
（2）
【分析】
(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；
(2)将原问题转化为对立事件的问题求解 的值，据此分类讨论①. ，②. ，③.
，④. 四种情况确定 满足 的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确
定 的值.
【详解】
（1）当 时， 的所有可能取值是 ．
的概率分布为 ，
．
（2）设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况．
①若 ，则 ，不存在 的取法；②若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或
，有2种取法；
③若 ，则 ，因为当 时， ，所以 当且仅当
，此时 或 ，有2种取法；
④若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或
，有2种取法．
综上，当 时， 的所有可能取值是 和 ，且
．
因此， ．
【点睛】
本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能
力．
