重难点突破04导数中的取整问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 04 导数中的取整问题 一．选择题（共6小题） 1．（2023春•孝感期中）已知函数 ，若 的解集为 ， 且 中恰有一个整数，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：由 ，得 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上递增， 当 时， ， 在 上递减， 令 ，画出 ， 的图象如图：根据条件，由图象，可得 ，解得 ， ． 故选： ． 2．（2023春•石家庄期中）已知函数 ，有且只有一个负整数 ，使 成立，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：已知函数 ，则 有且只有一个负整 数解． 令 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 当 时， 取得最小值为 ， 设 ，则 恒过点 ， 在同一坐标系中分别作出 和 的图象，如图所示： 显然 ，依题意得 且 ，即 且 ，解得， 所以实数 的取值范围是 ． 故选： ． 3．（2023春•安徽期中）已知函数 ，直线 ，若有且仅有一个整数 ，使得点 ， 在直线 上方，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． D． 【解答】解：点 ， 在直线 上方，即 ， 因为 ， 所以 有且仅有一个正整数解． ， 则 ， ， 单调递增； ， ， 单调递减， 所以 ． 又 ， ； ， ； ， ，故可得 图象如下图， 直线 过定点 ，当 ， 有无数个正整数解，不合题意，故 ， 又 有 且 仅 有 一 个 正 整 数 解 ， 故 2 是 唯 一 的 正 整 数 解 ， 即 ． 故选： ． 4．（2022秋•萍乡期末）已知函数 ， ，若关于 的不等式 在区间 内有且只有两个整数解，则实数 的取值范围为 A． ， B． C． ， D． 【解答】解：显然 ， 由 ，得 ，得 ， 得 ， 令 ， ，则 ， 所以函数 区间 内为增函数， 所以 可化为 ，即 ，即 ， 所以关于 的不等式 在区间 内有且只有两个整数解， 令 ，则 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上为减函数，在 上为增函数，因为关于 的不等式 在区间 内有且只有两个整数解， 结合图形可知，满足题意的整数解只能是1和2， 所以 （2） （3），即 ． 故选： ． 5．（2023•长沙模拟）已知函数 ，若不等式 的解集中恰有两 个不同的正整数解，则实数 的取值范围 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：函数 ，不等式 化为： ． 分别令 ， ． ． 可得：函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减． ， （2） ．如图所示． 不等式 的解集中恰有两个不同的正整数解， 正整数解为1，2，，即 ． 解得： ． 数 的取值范围是 ， ． 故选： ． 6．（2023•浑南区一模）已知不等式 的解集中仅有2个整数，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：法 ：由 ，得 ， 令 ，则 ， 设 ，即 ，可得 ， 在 单调递增，在 ， 单调递减， 当 的解中仅有2个整数为1，2，则需满足 ，可得 ； 法 ：由 ，得 ， 设 ， ， ， 令 ，得 ，即 在 单调递增，在 ， 单调递减， 当 时，可以有无数个整数解，不满足题意； 当 时，如图所示： 需满足 ，得 ， 故选： ． 二．多选题（共6小题） 7．（2023春•浙江期中）对于函数 ，则下列说法正确的是 A． 有极大值 ，没有极小值 B． 有极小值 ，没有极大值 C．若关于 的不等式 有唯一的负整数解，则实数 的取值范围是 D．若过点 与曲线 相切的直线有3条，则实数 的取值范围是【解答】解：对于 、 ， 令 得 ， 所以在 上 ， 单调递减， 在 上 ， 单调递增， 所以 ，没有极大值，故 错误， 正确； 对于 ：由上可知 ， 时， ； 时， ， 当 时，不等式 ，有无数个负整数解， 当 时， 恒过点 ， 此时 与 交点的横坐标为正数，不妨设为 所以当 时， ， 所以 有无数个负整数解， 当 时，若不等式 有唯一的负整数解， 则 ，解得 ， 综上所述， 的取值范围为 ， ，故 正确； 对于 ：设切点的坐标为 ， ， 所以 ，且 ， 又切线过点 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为过点 与曲线 相切的直线有3条， 所以方程 有三个解， 令 ， ， 所以在 上， ， 单调递减， 在 上， ， 单调递增， 在 上， ， 单调递减， 所以 ， （1） ， 所以 时， ； 时， ， 所以 ，故 正确， 故选： ． 8．（2023•黄州区校级三模）已知函数 ，若不等式 有且只有 三个整数解，则实数 的取值可以为 A． B． C． D． 【解答】解：因为 定义域为 ，由 ，可得 ， 即不等式 有且只有三个整数解， 令 ，则 ，所以当 时 ， 当 时 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 （1） ， 所以当 时 ，当 时 ， 易知函数 的图象恒过点 ， 在同一平面直角坐标系中作出 与 的图象如下图所示： 由题意及图象可知 ，要使不等式 有且只有三个整数解， 则 ，即 ，解得 ， 故符合题意的有 、 ． 故选： ． 9．（2023•泰安二模）已知函数 ， ， ． A．若曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，且过点 ，则 ， B．当 且 时，函数 在 上单调递增C．当 时，若函数 有三个零点，则 D．当 时，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 【解答】解： 选项， ， 则 （1） ， ，则 ， ，故 错误； 选项，当 时， ， ， 因为 ，则 ， 或 在 上单调递增， 则 在 上单调递增，故 正确； 选项，当 时，令 ， 注意到当 时， ，则 ， 则函数 有三个零点，相当于直线 与函数 的图象有三个交点． 令 ，其中 ， 或 ，则 在 ， 上单调递增， 或 或 或 ， 则 在 ， ， ， ， ， 上单调递减，又 ， ， ， ， 则可得 大致图象如下， 则由图可得，当 时，直线 与函数 图象有三个交点， 即此时函数 有三个零点，故 正确； 选项，由题可得， ， 即存在唯一整数 ，使得 的图象在 下方， 则 ， ， 得 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， ， ， 过定点 ， 可在同一坐标系下做出 与 图象， 又设 过 点切线方程的切点为 ， ， 则切线方程为： ，因其过 ， 则 ，解得 或 ，又注意到 （1） （1），结合两函数图象，可知 或2． 当 时，如图1，需满足 ，解得 ， 当 时，如图2，需满足 ，解得 ， 综上所述， ， ， ，故 正确． 故选： ． 10．（2023春•鼓楼区校级期中）已知函数 ，下面选项正确的有 A． 的最小值为 B． 时， C． D．若不等式 有且只有2个正整数解，则 【解答】解： ， ， 令 ，解得 且 ，令 ，解得 ， 所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增， （2） ， 如图， 所以函数 没有最小值，故 错误； ：当 时， ， 即 ， 即 ， 设 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 ，故 正确； ：设 ，则 ，又 ， 所以当 时， ，即 ． 令 ，则 ，得 ， 所 以 ， 故 错误； ：作出函数 图象和直线 ，如图， 由不等式 有两个正整数解知， （3） （1）， 即 ，故 正确． 故选： ． 11．（2022秋•揭阳期末）已知函数 ，且存在唯一的整数 ，使得 ，则实数 的可能取值为 A． B． C． D．【解答】解：令 ，可得 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 如图， 分别作出函数 与 的图象， 其中直线 恒过定点 ； 由 可知， ， ， 需满足： ， 故实数 的取值范围是 ， 其中 ， ， 故选： ． 12．（2023春•玉林期中）函数 ，其中 ，若有且只有一个整数 ，使得 ，则 的取值可能是 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， ，则 ， 所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 ， 若有且只有一个整数 ，使得 ，则存在唯一的整数 ，使得 在直线 的 上方， 因为 ， （1） （1） ，另外 恒过定点 且斜率为 ， 所以 ，即 ， 所以实数 的取值范围为 ， ，对比选项，可知 正确． 故选： ． 三．填空题（共10小题） 13．（2023•洪山区校级模拟）已知函数 ，若有且仅有两个 整数 ，满足 ，则实数 的取值范围为 ， ． 【解答】解：若 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 令 ， 则 ， 令 ， 则 在 上单调递增，且 ， （1） ， 所以存在 ，当 ，则 ， ， 单调递减，当 ， 时， ， ， 单调递增， 因为 （1）， 所以只需 且 且 （2）， 所以 ， 解得 ， 所以 的取值范围为 ， ． 故答案为： ， ． 14．（2023春•建华区校级月考）已知不等式 恰有1个整数解，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：原不等式 等价于 ， 设 ， ，令 ，得 当 时， ，所以 在 上单调递增， 当 时， ，所以 在 上单调递减， 当 时， 取极大值，又 ，且 时， ， 因此 的图像如下，直线 恒过点 ． 当 显然不满足条件； 当 时，只需要满足 ，即 ，解得 ． 则实数 的取值范围为 ． 故答案为： ． 15．（2023•云南模拟）设函数 ， ，若存在唯一整数 ，使得 ，则 的取值范围是 ． 【解答】解：由函数 ， ， 设 和 ， 因为存在唯一整数 ，使得 ， 所以存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，如图所示， 因为 ，当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 单调递增， 当 时， 取得极小值，也为最小值 ， 且当 时， ，当 时， ， 又由直线 恒经过原点 ，斜率为 （其中 ， 所以 且 ， 解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 16．（2023•南关区校级模拟）设函数 ，若不等式 有 且只有两个整数解，则实数 的取值范围是 ． 【 解 答 】 解 ： 由 函 数 ， 则 不 等 式 ， 即 ， 因为 ，则 可化为 ， 令 ，可得 ， 令 ，可得 ， 所以 在 上单调递增， 又由 ， （1） ，所以存在唯一的 使得 ， 当 时， ，可得 ，所以 单调递减； 当 ， 时， ，可得 ，所以 单调递增，且 ， 又因为 ， 所以当原不等式有且仅有两个整数解时，则满足 ， 解得 ， 即实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 17．（2023•河南模拟）已知函数 ，若不等式 有且仅有1个整 数解，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：易知 的定义域为 ，由 有且仅有1个整数解， 所以不等式 有且仅有1个整数解． 设 ，则 ， 当 时， ， 为增函数； 当 时， ， 为减函数． 又 （1） ，则当 时， ；当 时， ． 设 ，则直线 恒过点 ，在同一直角坐标系中，作出函数 与直 线 的图象，如图所示，由图象可知， ， 要使不等式 有且仅有1个整数解， 则 ，解得 ，实数 的取值范围为 ． 故答案为： ． 18．（2023春•浦东新区校级期末）设函数 ， ，若有且仅有两 个整数 满足 ，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：设 ， ，则 ， ， ， 在 上单调递增， ， ， 在 上单调递减， 时函数 取极大值即最大值 ， 又 ， （1） ， （3） ，直线 恒过定点 且斜率为 ， 要使有且仅有两个整数 满足 ， 即有且仅有两个整数 满足 ， （1） （1） 且 ， 解得 ，即 ． 故答案为： ． 19．（2023春•工业园区校级月考）已知函数 恰有三个正整数 ， 2， ，使得 ， ，2，3，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解： 的定义域为 ， 由 可得 （1）显然 时，不等式在 上无解，不符合题意； （2）当 时，不等式为 ， 令 ， ，则当 时， ， 故不等式 没有正整数解，不符合题意； （3）当 时，不等式为 为增函数， ，令 ，则 ， 当 时， ，故 在 上单调递减，而 ， 存在 使得 ， 当 ， 时， ，当 时， ， 即当 ， 时， ，当 时， ， 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减， 又 （1） ，且 时， ， 故不等式 的三个正整数解为1，2，3， ，即 ，解得： ． 故答案为： ． 20．（2023春•永春县校级期末）已知函数 ，若存在唯一整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：已知 ，即 ， 令 ， ， ， 则 ，易知 在 上单调递增， 又 （1） ， （2） ，所以存在实数 ，使得 ， 且当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ，又 （1） （2） ， 是过定点 的直线， 所以画出函数 和 的大致图象如图所示， 令 ， ， ， 由图可知若存在唯一整数 ，使得 成立，则需 ， ， 而 ，所以 ， 因为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 21．（2023•河南模拟）已知函数 ，若存在 唯一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ， ． 【解答】解：由 ， ， 化为 ， 分别令 ， ， 则 （2） （2） ， ，可得函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减． 由存在唯一的整数 ，使得 ， ，即 ， 解得 ， 实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 22．（2023•重庆模拟）已知函数 在区间 内存在极值点，且 在 上恰好有唯一整数解，则实数 的取值范围是 ． 【解答】解：若 时， 在 上单调递增，不合题意，则 ， 由题意可得： ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 有唯一极值点 ， 若函数 在区间 内存在极值点，则 ，解得 ， 又因为 在 上恰好有唯一整数解，且 ，则有： ①当 ，即 时，则当 时，则 在 ， 上单调递增，可得 ， 所以 在 上恰好有唯一整数解为 ，则 ，解得 ； ②当 ，即 时，则 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减， 可得 ，不合题意； ③当 ，即 时，则当 时，则 在 ， 上单调递减，可得 ， 所以 在 上恰好有唯一整数解为1， 则 ，解得 ； 综上所述：实数 的取值范围是 ． 故答案为： ．