重难点突破02导数中的构造问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 02 导数中的构造问题 (1)构造函数 : 当条件中含 “+” 时优先考虑 ；当条件中含 “ - ” 时优先考虑 . (2)构造函数 ：条件中含 “ ” 的形式；构造函数 ： 条件中含 “ ” 的形式. (3)构造函数 : 条件中含 “ ” 的形式. (4)构造函数 : 条件中含 “ ” 的形式. 1．（2023春•资溪县校级期末）已知函数 是定义域为 的奇函数， 是其 导函数， （2） ，当 时， ，则不等式 的解集是 A． ， ， B． ， ， C． D． ， ， 【解答】解：令 ，则 ， 当 时， ，故 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以 即 （2），因为函数 是定义域为 的奇函数， 所以 ， 即 为定义域为 的偶函数， 所以由 （2）可得 （2）， 所以 ，即 或 ， 即不等式 的解集是 ， ， ， 故选： ． 2．（2022 春•赣州期末）已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ．若 ，且当 时， ，则不等式 的 解集为 A． B． ， C． D． 【解答】解：设 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 即 为奇函数， 而 ，则 在 上单调递增， ， 即 ，即 ， 所以 的范围为 ． 故选： ． 3．（2021春•海安市校级期中）设定义在 ， 上的函数 的导函数 ，若 ，则 A． （1） （3） B． （1） （3） C． （3） （1） D． （3） （1） 【解答】解：令 ， ， 因为 ， 所以 ， 所以 在 ， 上单调递减， 所以 （3） （1） ，即 ， 所以 （1） （3） ． 故选： ． 4．（2023春•鄄城县校级月考）已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ， 都有 ，且 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D．【解答】解：构造函数 ， 因为对任意的 ，都有 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递减， 因为 ，所以 ． 由 ，得 ， 即 ， 所以 ． 故选： ． 5．（2023 春•泉州期末）设偶函数 在 上的导函数为 ，当 时，有 ，则下列结论一定正确的是 A． （1） B． （2） （1） C． D． 【解答】解：当 时，有 ，即 ， 令 ，则 ， 即 在 上单调递增， 又 为偶函数，则 ，即 为偶函数， 故 （2） （1），即 ， 即 ，故 错误， 正确；由 （2） （1），即 ，即 ， 错误； 而 （1），故 ，则 不一定成立， 错误， 故选： ． 6．（2023春•上高县校级期末）已知若 为定义在 上的偶函数，且当 ， 时， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设 ， 则 ， 若 为偶函数，则 ，即可得函数 为偶函数， 又由当 ， 时， ，则 单调递增，则 在 ， 上递减， 则 ，解可得 ， 即不等式的解集为 ， ； 故选： ． 7．（2023 春•东莞市期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，当 时， ， 设 ，则 ， 所以 在 上单调递减， 不等式 等价于 ， 即为 ，所以 ， 解得 ． 故选： ． 8．（2023春•西青区期末）已知可导函数 的导函数为 ， ，若对任意 的 ，都有 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ， ， 因为对任意的 ，都有 ， 所以对任意的 ，都有 ， 所以对任意的 ，都有 ， 单调递增， 不等式 可化为 ，进而可得 ， 所以 ， 所以 ， 故选： ． 9．（2023 春•嘉陵区校级期中）已知函数 的导函数是 ，对任意的 ，，若 ，则 的解集是 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，则 ， ， ，则 单调递减， 又 ， ， ，得 ． 的解集是 ． 故选： ． 10．（2023 春•蒲城县校级期中）设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的 解集为 A． B． C． D． ， ， 【解答】解：设 ，则 ， ， ， 又 ， ， 在 上单调递增，又 ， 的解集为 ， 即不等式 的解集为 ， 故选： ． 11．（2023 春•龙岩期末） ， ， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，则 ，① ， 因为 ， 所以 ， 设 ， 由①知 ， 所以 ， 所以 ，二次函数对称轴为 ，且 （2） ， 在 上 单调递增，在 ， 上单调递减， 不等式 可化为 ，即 ， 所以 ． 故选： ．12．（2023 春•渭滨区期末）已知函数 为定义在 上的奇函数，若当 时， ，且 （2） ，则不等式 的解集是 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． 【解答】解：由题意设 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 是定义在 上奇函数， 是定义在 上偶函数， 在 上单调递减， 又 （2） ，则 （2） （2） ， （2） ， 当 时，不等式 等价于 ，由 （2），得 ； 当 时，不等式 等价于 ，由 ，得 ， 故不等式 的解集为 ， ， ． 故选： ． 13．（2023春•沙坪坝区校级期末）设函数 的定义域为 ， 是其导函数，若 ， （1） ，则不等式 的解集是 A． B． C． D．【解答】解：设 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 不等式 等价于 ， 又 （1） （1） ， 则 等价于 （1）， 又 在 上单调递增， 则所求不等式的解集为 ． 故选： ． 14．（2023春•武汉期末）已知定义域为 的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 当 时， ，当 时， ，且 （3） ，则关于 的不等 式 的解集为 A． B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：由题可知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 是定义域为 的奇函数， ，且 在 上单调递减，在 上单调递增． 不等式 等价于 或 ， （3） ，， ， ． 故选： ． 15．（2023春•台州期中）已知函数 是定义在 上的可导函数，满足 （1） ，且 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：不等式 ， 变形为 ， 令 ． 又 （1） ， （1） ， 则不等式变为 （1）， ， 又 是定义在 上的可导函数，且 ， ， ， 在 上是减函数， ． 故选： ． 16．（2023春•响水县校级期中）已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，则不等式 的解集是 A． B． ， ， C． ， ， D． 【解答】解：根据题意，构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 又 ，即 ， 所以 ，即 ，解得 ． 故选： ． 17．（2023 春•武清区校级期中）已知定义在 上的奇函数 满足 时， 成立，且 （1） 则 的解集为 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：令 ， ， （1） （1） ， 是定义在 上的奇函数， 函数 是定义在 上的偶函数， 时， ， 函数 在 上单调递减， 函数 在 上单调递增．时， ； 时， ； 不符合题意． ， ， ， 故选： ． 18．（2023 春•通许县期末）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：由题可设 ， ，则 ， 函数 在 上单调递增， 由已知有 ，不等式两边同时除以 可得： ， 即 ，因为 在 上单调递增， 故 ，解得： ， 故选： ． 19．（2023春•惠州月考）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且对任意都有 ， （2） ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，则 ， 对任意 都有 ， 恒成立，即 在 上单调递增， 又 （2） ，则 （2） （2） ， 不等式 ，即 （2）， ，即不等式 的解集为 ． 故选： ． 20．（2023 春•重庆期中）已知定义在 上的函数 满足： ，且 （1） ，则 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意设 ，函数定义域为 ，则 ， ， 在 ， ， 上恒成立， 即 在 和 上单调递增， 又 （1） ，则 （1） ， ，即 ， （1），，解得 ， 又当 时， （1） ，不符合 ， 故 的解集为 ． 故选： ． 21．（2023 春•涪城区校级期中）函数 定义域为 ，其导函数为 ，若 ， ，且 （1） ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ， 则 故 在 单调递减， 又因为 （1） （1） ， 所以不等式 等价于 （1），故 ． 故选： ． 22．（2023 春•南阳月考）已知函数 满足： ， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， 对于 恒成立 ，在 上递减， 则不等式 ， 等价为 ， 即 ， 在 上递减， ， 即不等式的解集为 ， 故选： ． 23．（2023 春•薛城区校级月考）已知定义在 上的函数 的导数为 ， 且 （e） ，若 对任意 恒成立，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ， （e） （e） ， ， ，在 上恒成立， 函数 在 上单调递增， ， 不等式 等价于 ，即 ，即 （e）， 又 函数 在 上单调递增， ，不等式 的解集为 ． 故选： ． 24．（2023春•绿园区期中）设 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ， 且有 ，则不等式 （3） 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：由 ， ， 得 ，即 ， 令 ，则 ， 则当 时，得 ，即 在 上是增函数， ， （3） （3）， 即不等式等价为 （3）， 在 是增函数， 由 （3），得 ， 即 ，而 ，故 ， 不等式 （3） 的解集是 ． 故选： ． 25．（2023春•普陀区校级期末）已知 ，下列判断错误的是 A．函数 的图像在点 处的切线方程为 B． 是函数 的一个极值点C．当 时， D．当 时，不等式 的解集为 【解答】解：因为 ，所以 ， 所以 （1） ，因此函数 的图像在点 处的切线方程为 ， 即 ，故 正确； 当 时， 在 上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极 值点；故 错； 当 时， ，由 得 ，由 得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因此 ，即 ，故 正确； 当 时， 在 上恒成立， 所以函数 在 上单调递减， 由 可得 ，解得： ，故 正确； 故选： ． 26．（2023 春•新城区校级期中）定义在 上的函数 的导函数为 ，满足 ，则不等式 （1） 的解集为 A． B． ， ， C． D．【解答】解：令 ，则 ， 所以 在定义域 上单调递增， 不等式 （1） ，即 （1）， 即 （1）， 所以 ，解得 ， 即不等式 （1） 的解集为 ． 故选： ． 27．（2023 春•浙江期中）已知定义在 上的奇函数 满足， ，若 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：已知 是定义在 上的奇函数， 所以 ， 易得 ， 所以 是偶函数， 因为 ， 所以 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 所以函数 单调递增，此时不等式 可转化为 ， 即 （1）， 此时 ， 解得 ． 故选： ． 28．（2023春•南岸区校级期中）已知函数 是定义在 上的可导函数，满足 （1） ，且 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：不等式 ， 变形为 ， 令 ． 又 （1） ， （1） ， 则不等式变为 （1）， ， 又 是定义在 上的可导函数，且 ， ， ， 在 上是减函数， ．故选： ． 29．（2023 春•三台县期中）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， （1） ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． ， 【解答】解：令 ，则 ， ， ， 在 上递减， （1） ， （1） ， 不等式 ， （1）， ，解得： ， 故不等式的解集是 ， 故选： ． 30 ． （ 2023• 全 国 二 模 ） 已 知 函 数 ， 则 关 于 的 不 等 式 的解集为 A． B． C． ， ， D． ， ， 【解答】解：因为 ，所以 ， 因为 ，当且仅当 时取等号， ， 所以 ， 故 在 上单调递增， 由 可得 ， 所以 ，即 ， 解得 ． 故选： ．