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重难点突破 02 数列与概率综合
一．选择题（共3小题）
1．（2022•西城区校级三模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所
有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感
染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染
数 ，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为
注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，每个感染者再传染 个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022•东城区校级三模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所
有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感
染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染
数 ，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为
注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个人再传染 个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2020•赣州模拟）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知
一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没
有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144
这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 ，其中， ，
．若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
4．（2023•湖北模拟）在正三棱柱 中，若 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱
柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，
设蚂蚁移动 次后还在底面 的概率为 ，则下列说法正确的是
A． B．
C． 为等比数列 D．
5．（2022•辽宁模拟）记数列 的前 项和为 ，已知 ，在数集 ，
0， 中随机抽取一个数作为 ，在数集 ，0， 中随机抽取一个数作为 ．在这些不
同数列中随机抽取一个数列 ，下列结论正确的是
A． 是等差数列的概率为 B． 是递增数列的概率为
C． 是递减数列的概率为 D． 的概率为
6．（2022•盐城一模）若数列 的通项公式为 ，记在数列 的前
项中任取两项都是正数的概率为 ，则
A． B．
C． D．
三．填空题（共2小题）
7．（2021•江苏模拟）集合 中有4个等差数列，集合 中有5个等比数列， 的元素个数是1，在 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是
．
8．（2020•安阳一模）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，
观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 ，从第二次看到广告起，若前一
次不来此景区，则这次来此景区的概率是 ；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率
是 ．记观众甲第 次看到广告后不来此景区的概率为 ，若当 时， 恒成立，
则 的最小值为 ．四．解答题（共10小题）
9．（2022•襄城区校级模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律
宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测
结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指
令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规
定“熔断期”的航班量
不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周 1班航班计划．已知
某国际航空公司 航线
计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是 ，且被熔断的一次航班的
下一次航班也被熔断的概率是 ，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是
．一条航线处于“熔断期”的原计划航
班不记入该航线的航班次数，记该航空公司 航线的第 次航班被熔断的概率为 ．
（1）求 ；
（2）证明： 为等比数列；
（3）求数列 的前 项和 ，并说明 的实际意义．10．（2022•三河市模拟）某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是 ，
棋盘上标有第0站、第1站、第2站、 、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每
掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从 到 ；若掷出反
面，棋子向前跳两站（从 到 ，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100
站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第 站的概率为 ．
（1）求 、 、 的值；
（2）求证： ，其中 ， ；
（3）求玩该游戏获胜的概率及失败的概率．11．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对
出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子： 使之开红花， 使之开白花，两个因子的相
互组合可以构成三种不同的遗传性状： 为开红花， 和 一样不加区分为开粉色花，
为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传
因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传
因子以 的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第 代的遗传
设想为第 次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状 的父
系来说，如果抛出正面就选择因子 ，如果抛出反面就选择因子 ，概率都是 ；对母系
也一样．父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种
遗传性状 ， （或 ， 在父系和母系中以同样的比例 出现，
则在随机杂交实验中，遗传因子 被选中的概率是 ，遗传因子 被选中的概率是
，称 ， 分别为父系和母系中遗传因子 和 的频率， 实际上是父系和母
系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是 ，后代遗传性状为 ， （或
， 的概率各是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得
父系和母系中仅有遗传性状为 和 （或 的个体，在进行第一代杂交实验时，假设
遗传因子 被选中的概率为 ， 被选中的概率为 ， ．求杂交所得子代的三种
遗传性状 ， （或 ， 所占的比例 ， ， ．
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为 的个体．假设得到的第 代总体中 3 种遗传性状 ， （或 ， 所占比例分别为 ， ，
．设第 代遗传因子 和 的频率分别为 和 ，已知有以下公式
， ， ，2， ，证明 是等差数列．
（4）求 ， ， 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下
去，会有什么现象发生？
12．足球运动被誉为“世界第一运动”．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于
报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：
（1）如表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的
概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他
在测试中所踢的点球次数记为 ，求 ；
点球数 20 30 30 25 20 25
进球数 10 17 20 16 13 14
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中
的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假
定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第 1次触球者，接到第 次传球的人即为第
次触球者 ，第 次触球者是甲的概率记为 ．
求 ， ， （直接写出结果即可）；
证明：数列 为等比数列．13． 2020元旦联欢晚会上， ， 两班各设计了一个摸球表演节目的游戏： 班在一个
纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外完全相同，记事件 ：同学们
有放回地每次摸出1个球，重复 次， 次摸球中既有红球，也有黄球，还有白球； 班
在一个纸盒中装有1个蓝球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，记事件 ：同学们有
放回地每次摸出1个球，重复 次， 次摸球中既有蓝球，也有黑球，事件 发生的概率
为 ，事件 发生的概率为 ．
（1）求概率 ， 及 ， ；
（2）已知 ，其中 ， 为常数，求 ．14．如图，直角坐标系中，圆的方程为 ， ， ， ， ，
为圆上三个定点，某同学从 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一
次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰
子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，
则按图中箭头相反的方向移动．
设掷骰子 次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 （A）， （B）， （C）．
例如：
掷骰子一次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 （A） ， （B） ，
（C）
（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率；
（2）掷骰子 次时，若以 轴非负半轴为始边，以射线 ， ， 为终边的角的余弦
值记为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（3）记 （A） ， （B） ， （C） ，其中 ．证明：数列
是等比数列，并求 ．15．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征 和严重
急性呼吸综合征 等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒 是
以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症
状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综
合征、肾衰竭，甚至死亡．
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，有以下两
种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 次．
方式二：混合检验，将其中 且 份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验
结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪几份为
阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液的检验次数总共为
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份
样本是阳性结果的概率为 ．现取其中 且 份血液样本，记采用逐份
检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）若 ，试求关于 的函数关系式 ；
（2）若 与干扰素计量 相关，其中 ， ， ， 是不同的正实数，满足
且 都有 成立．
求证：数列 为等比数列；
当 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求 的最大值．（参考数据： ，16．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和
黄花的概率都是 ，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是 ，开黄
花的概率是 ；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是 ，开黄花的概率是 ．记第
代开红花的概率为 ，第 代开黄花的概率为
（1）求 ；
（2）①证明：数列 为等比数列；
②第 ， 代开哪种颜色花的概率更大？17．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一
种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白
鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则
乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈
率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 ．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， ，1， ， 表示“甲药的累计得
分 为 时 ， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 ， ，
，2， ， ，其中 ， ， ．
假设 ， ．
（ⅰ）证明： ，1，2， ， 为等比数列；
（ⅱ）求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．18．已知构成某系统的元件能正常工作的概率为 ，且各个元件能否正常工作是
相互独立的．今有 大于 个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、
乙．
（1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率 ， ；
（2）比较 与 的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．
