文档内容
重难点突破 02 原函数与导函数混合还原问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：利用 构造型....................................................................................................................................3
题型二：利用 构造型........................................................................................................................................4
题型三：利用 构造型...................................................................................................................................7
题型四：用 构造型............................................................................................................................................9
题型五：利用 、 与 构造型........................................................................................................11
题型六：利用 与 构造型......................................................................................................................14
题型七：复杂型： 与 等构造型..............................................................................................16
题型八：复杂型： 与 型................................................................................................................18
题型九：复杂型：与 结合型................................................................................................................20
题型十：复杂型：基础型添加因式型......................................................................................................................22
题型十一：复杂型：二次构造..................................................................................................................................24
题型十二：综合构造..................................................................................................................................................26
题型十三：找出原函数..............................................................................................................................................29
03过关测试.........................................................................................................................................331、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于 ，构造 ，
4、对于 ，构造
5、对于 ，构造 ，
6、对于 ，构造
7、对于 ，构造 ，
8、对于 ，构造
9、对于 ，构造 ，
10、对于 ，构造
11、对于 ，构造 ，
12、对于 ，构造
13、对于 ，构造
14、对于 ，构造
15、 ； ； ；
16、 ； ．题型一：利用 构造型
【典例1-1】函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意， ，则导函数 ，
函数 在区间 上，满足 ，则有 ，
所以 ，即函数 在区间 上为增函数，
，
所以 ，
则有 ，
解得 ，
即此不等式的解集为 .
故选：D
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数是 ，函数
为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，
设 ，则 ，
仅当 时，等号成立，所以 单调递减．
又因为函数 为奇函数，所以 ，即 ，
故由 可得 ，所以不等式 的解集为 ，
故选：A
【变式1-1】设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 ，
令 ，则当 时，得 ，即 在 上是减函数，
∴ ， ，
即不等式等价为 ，
∴ ，得 ，即 ，
又 ，解得 ，故 ．
故选：D.
【变式1-2】（2024·江西南昌·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，对任意 ，
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
对任意 ， ， 恒成立，即 在 上单调递减，
由 可得 ， ，解得 ，即解集为 .
故选：A
题型二：利用 构造型
【典例2-1】已知函数 的定义域为 ， ，其导函数 满足 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可令 ，
所以 在 上单调递减，
则原不等式等价于 ，
由 ，
解之得 .
故选：B
【典例2-2】已知函数 是定义在 的奇函数，当 时， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
【变式2-1】（多选题）已知函数 为定义在 上的奇函数，若当 时，
，且 ，则（ ）
A． B．当 时，
C． D．不等式 解集为
【答案】ACD
【解析】构造函数 ，其中 ，
因为函数 为定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故函数 为偶函数，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，则 ，则 .
因为 ，所以 ，即 ， ，故A正确；
不妨取 ，则 ， ，B错误；
因为偶函数 在 上单调递增，则 ，
即 ，整理可得 ，C正确；
当 时，由 可得 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，解得 .
综上所述，不等式 解集为 ，D正确.
故选：ACD.【变式2-2】已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以 ，
由 ，且 得 ，
则 ，
所以 ，又 在 单调递增，
所以 ，
故选：A．
题型三：利用 构造型
【典例3-1】设函数 的定义域为R， 是其导函数，若 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，则 ，
故 在R上单调递增， ，
可化为 ，
故原不等式的解集为 ，
故选：B【典例3-2】已知定义在 上的函数 满足 且 ，则不等式 的解集为
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，
则 ，
因为定义在 上的函数 满足 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以不等式 可化为 ，即 ，所以 ，
即不等式 的解集为 .
故选：D.
【变式3-1】（2024·云南楚雄·一模）已知 是 上的奇函数，且对任意的 均有
成立．若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， 为奇函数，
所以 ， ，
则 ．
故选：B.
【变式3-2】已知定义在 上的可导函数 ，其导函数为 ，若 ，且 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】构造函数 ，该函数的定义域为 ，
则 ，
所以，函数 在 上为增函数，且 ，
由 可得 ，即 ，解得 .
所以，不等式 的解集为 .
故选：A.
题型四：用 构造型
【典例4-1】（2024·广东广州·三模）已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有
，且 为奇函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，由题设条件，得 ，
故函数 在 上单调递减.
由 为奇函数，得 ，得 ，
所以 ，
不等式 等价于 ，即 ，
又函数 在 上单调递减，所以 ，
故不等式 的解集是 ．
故选：D．
【典例4-2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，且
， 为 的导函数，当 时， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，，
所以 是奇函数.
当 时， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
不等式 即 ，
所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
【变式4-1】已知定义在 上的函数 满足 ， 为 的导函数，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
则 ，即 ，
故函数 是定义在 上的奇函数，
当 , 时， ，则 ，
故 在 , 上单调递增，在 , 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
则不等式 ，即 ，
故 ，解得 ．
故选：C．【变式4-2】（2024·高三·江苏常州·期末）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任
意的 满足 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构建 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
可知 在 上单调递减，且 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A．
【变式4-3】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数
都有 ，设 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为 ，则 ，可知 在 上单调递减，且 ，
由不等式 可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
题型五：利用 、 与 构造型
【典例5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数 的定义域为R，其导函数为 ，若，且当 时， ，则 的解集
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可推得， .
令 ，则 ，
所以 ，
所以， 为偶函数.
又 ，
因为当 时， ，
所以， ，所以 在 上单调递增.
又 为偶函数，所以 在 上单调递减.
由 可得，
.
因为 ，
所以， .
因为 在 上单调递减， 为偶函数，
所以有 ，
平方整理可得， ，
解得 .
故选：C.
【典例5-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .若对任意的 有 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函数 ， ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递减，不等式 ，
即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：B
【变式5-1】已知定义在R上的函数 ，满足 ，且任意 时，有
成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ．
由 ，得 ，所以 为偶函数．
因为当 时，有任意 时，有 成立，
所以 在 上单调递增，
又 为偶函数，所以 在 上单调递减，
因为 ，即 ，
所以 ，解得 ．
故选：D．
【变式5-2】已知函数 ，又当 时， ，则关于x的不等式
的解集为（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
，
设
所以 ，即 为 上的偶函数
当 时， ，
因为 ，所以
则 在区间 上单调递增
所以
即
即
等价于 ，
即
解得 ．
故选：A.
题型六：利用 与 构造型
【典例6-1】（2024·安徽淮南·二模）定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
令 ，则 ，
∴ 在 上为奇函数，
又∵当 时， ，
∴当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
又∵ 在 上为奇函数，
∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 在 上单调递增，
∴ ，解得： .
故选：A.
【典例6-2】偶函数 定义域为 ，其导函数为 ，若对 ，有
成立，则关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】令 ， ，因为 定义域为 上的偶函数，
所以 ，则 ，即 为偶函数，
又 ，
因为对 ，有 成立，所以当 时 ，
即 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
又 ，所以 ，则不等式 等价于 ，即 ，即 ，所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
【变式6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有
，则关于 的不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】依题意令 ， ，
则 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
则 等价于 ，即 ，
∴ ，解得 ，所以所求不等式的解集为 .
故答案为：
题型七：复杂型： 与 等构造型
【典例7-1】已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ．且
为奇函数，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造 ，则 ，
且 ，故 在 上单调递减；
又 为 上的奇函数，故可得 ，
即 ，则 .
则不等式 等价于 ，
又因为 是 上的单调减函数，故解得 .
故选：A.
【典例7-2】已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，因为 ，
所以 ，因为 ，整理得 ，
所以 ，因为 在 上单调递减，所以 .
故选：C.
【变式7-1】已知函数 与 定义域都为 ，满足 ，且有
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 .而 ，∴ ，∴ 在 上单调递减，
又 ，则 ，
所以 ，则 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：D．
【变式7-2】已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数，当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，所以 ，因为 ，所以
，化简得 ，
所以 是 上的奇函数；
，
因为当 时， ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递增，又 是 上的奇函数，所以 在
上单调递增；
考虑到 ，由 ，
得 ，即 ，
由 在 上单调递增，得 解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B.
题型八：复杂型： 与 型
【典例8-1】已知函数 的定义域是（-5，5），其导函数为 ，且 ，则不等式
的解集是 .
【答案】【解析】设 ，
则 .
因为 ，
所以 ，
则 是 上的增函数.
不等式 等价于，
，
即 ，则
解得 .
故答案为：
【典例8-2】已知函数 的定义域为 ， ，若对于任意 都有 ，则当
时，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意构造函数 ，则 ，
函数 在 上为增函数，
， ，
又 ，
，
，由 ，∴
故选：B．
【变式8-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当 时，
， ，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
构造函数 ，当 时， ，
所以函数 在区间 内单调递增，且 ，
又 是定义在R上的偶函数，所以 是定义在R上的偶函数，
所以 在区间 内单调递减，且 ．
不等式 整理可得： ，
即 ，当 时， ，则 ，解得 ；当 时，
，则 ，
解得 ，又 ，所以 ．
综上，不等式 的解集为 ．
故选：A．
【变式8-2】已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ．
因为 ，所以 ，即 ，所以 在 上单调递减．
不等式 等价于不等式 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 在 上单调递减，所以 ，解得 ．
故选：C．
题型九：复杂型：与 结合型
【典例9-1】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）若可导函数 是定义在R上的奇函数，当 时，有
，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ， ，
则 ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，
则当 时， ，
因为可导函数 是定义在R上的奇函数，故 ，
当 时，
所以 ，解得 ，
又 ，故不等式 的解集为 .
故选：B
【典例9-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增．
不等式 可转化为 ，
又 ，且 ，
即 ，所以 ，解得 ，
即不等式 的解集为 ．
故选：A．
【变式9-1】已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ， ，则关于的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，
则 ，
因为 ，所以 时， ，
即 在 上单调递减，
又 ，则 ，
所以 ，
即 ，则 ，解得： ，
所以关于 的不等式 的解集为 ，
故选：C.
题型十：复杂型：基础型添加因式型
【典例10-1】已知 为定义域 上函数 的导函数，且 ， ，
且 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】由 ，整理可得 ，则函数 关于成中心对称，
所以 关于直线 成轴对称，
当 时， ，由 ，则 ，
由函数 的导数为 ，
则函数 在 上单调递增，易知在 上单调递减，
当 时， ；当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .【典例10-2】（2024·高三·湖南株洲·开学考试）已知定义在 上的可导函数 满足
，若 是奇函数，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，依题意可知 ，
所以 在 上单调递减.由于 是奇函数，
所以当 时， ，所以 ，
所以 ，
由 得 ，即 ，所以 ，
故不等式的解集为 .
故选：B
【变式10-1】（2024·山东聊城·三模）设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时，
，且对于任意的实数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
设 ，
则 ，
即 为 上的偶函数，
又当 时， ，
则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，即 ，解得 .
故选：B
题型十一：复杂型：二次构造
【典例11-1】已知定义为 的函数 的导函数 且 ，则不等式
的解集是
【答案】
【解析】设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 （ 为常数）.
又 所以 所以 .
所以 .
则不等式 为 .
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增.
即为 ，所以 .
所以不等式 的解集是 .
故答案为: .
【典例11-2】函数 满足： ， ．则 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ,
令 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
则当 时， ，当 时，
即函数 在 为增函数，在 为减函数，
所以 ，
即 ，即函数 在 为减函数，
即 时， 既无极大值，也无极小值，
故选D.
【变式11-1】设函数 的导数为 ，且 ， ， ，则当 时，
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设 ，所以 ， ，所以存
在 使得 ，又 ，所以 在 上单调递增.
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
因此，当 时， 取极小值，但无极大值，故选B.
【变式11-2】定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，①
令 ，则 ，
又 ，记 ，所以 .
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增.
结合①当 时， ，所以 的最小值为0，即 ，
因为 ，则 ，（当且仅当 时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
题型十二：综合构造
【典例12-1】已知定义在R上的偶函数 满足 ， ，若 ，
则关于x的不等式 的解集为（ ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数 满足 ，故 ，故
，即 ，所以 ，即 的周期为
3.又 ，故 ，即 .因为 ，即
，故构造函数 ，则 ，且 .综上
有 在R上单调递增，且 .又 即 ， ，所
以 ，解得
故选：A
【典例12-2】已知定义在 上的奇函数 ，其导函数为 ，当 时，满足
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，则 ，
所以函数 是 上的奇函数，
当 时， ，即 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
又因为函数 是 上的奇函数，
所以函数 在 上是增函数，
则不等式 ，
等价于 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
【变式12-1】已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，不等式
恒成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上是单调递增．
不等式 等价于 ，即 ，而 ，所求不等式即 ．
由于 在 上是单调递增函数，所以 ，故不等式的解集为 .
故选：C．
【变式12-2】（2024·高三·山东烟台·期中）定义在R上的函数f(x)的导函数为 ，满足
，且当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ， ，
令 ，则 ，即 是 上的偶函数，
求导得 ，因为当 时， ，
即 ，则 ，则 在 上单调递增，
， ，即 ，
即 ，即 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，则解集为 .
故选：C.
【变式12-3】（2024·高三·河南新乡·开学考试）设函数 在 上的导函数为 ， ，
对任意 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 的定义域为 所以 为奇函数， ，
令 ， ，
因为对任意 ，都有 ，所以 ，
所以 在 上单调递增.
因为 为偶函数，所以 在 上单调递减.不等式 等价于 ，因为 ，所以 ，
所以不等式 等价于 ，
所以 ，即 .
故选：B．
题型十三：找出原函数
【典例13-1】设函数 满足 ， ，则 时， （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】B
【解析】由 ，即 ，
结合 ，可知 ，
，
可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．
故选：B
【典例13-2】设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及其导函数
满足 ，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】由题意可知， ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为函数 在 处存在导数，所以 为定值， ， ，
所以 ，
令 ，当 时， ，
构建函数 ，则有 ，所以函数 在 上单调递增，
当 ， ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，
所以当 时函数 必有一解，
令这一解为 ， ，则当 时 ，
当 时 ，
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递增，
所以 有极小值，无极大值．
【变式13-1】（2024·辽宁大连·一模）函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，
则 的极值情况为
A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
将 代入可得：
则
=
令 则 ，当 时， ，当 时， ，故当
时， 取最大值0，故 恒成立，故 恒成立，故既无极大值也无极小值，故选
【变式13-2】设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及其导函数
满足 ，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C【解析】因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为函数 是连续函数，所以由 ，可得 ，
代入 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
令 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以当 时， 取得极小值即最小值 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式13-3】（2024·全国·一模）若函数 满足 ，则当 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设知，当 时， ，
可得 为常数），又 ，得C=0
所以 .
又 ,令 ，解得 或 （舍去）.
所以当 时， ，
所以当 时， 有极小值 ，无极大值.
故选B.【变式13-4】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为函数 的导
函数，若 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故 ，
，可得 ，
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减，
所以 的极大值为 .简图如下：
所以 ， ， .
故选：D.
1．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知函数 的导数为 ，对任意实数 ，都有 ，
且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由 ，可得 ，
令 ，结合 ，则 ，
所以 在R上递减，故 ，
则原不等式解集为 .
故选：A
2．已知函数 是奇函数 的导函数，且满足 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令函数 ，则 ，即当 时，函数 单调递减，
因为 ，所以当 时， ，当 时， .
因为当 时， ，当 时， ，所以当 时， .
又 ， ，所以当 时， ；
又 为奇函数，所以当 时， ，
所以不等式 可化为 或 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ，
故选：D.
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数 在R上的导函数为 ，若 恒成立，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造新函数 ，
因为 恒成立，
所以 ，因此函数 单调递增，，
由 ，
故选：B
4．已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意对任意的 ，都有 ，即 ，
令 ，则 ，
即 为R上的增函数，
而 ，故 ，
又 即 ，即 ，
所以 ，即不等式 的解集为 ，
故选：D
5．（2024·高三·四川内江·期末）已知 是函数 的导函数， ，其中 是自然对数的底数，
对任意 ，恒有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，令函数 ， ，求导得 ，
则函数 在R上单调递增， ，
而 ，则 ，因此有 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .
故选：C
6．已知 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ，对 时，有 ，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
故选：C.
7．定义域为R的可导函数 的导函数为 ，满足 且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
∴ 在R上单调递减，又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：C.
8．已知定义在R上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题设， ，
令 ，则 ，即 为偶函数.
所以 ，
当 时 ，则 在 为减函数，故 在 上为增函数，
由 ，即 ，
∴ ，解得 .
故选：D.
9．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，
则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为奇函数，
所以 ，即 ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
又 ， 的解集等价于 的解集，即 ，
所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：C.
10．（多选题）设定义在 上的函数 的导函数为 ，若满足 ，且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．不等式 的解集为
C．若 恒成立，则
D．若 ，则【答案】BCD
【解析】因为 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 （c为常数），所以 .
因为 ，所以 ，即 .
对于A，因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误.
对于B,当 时， ， 时， ， 时，
而 ，根据 单调性知： ，故B正确.
对于C，若 ，则 .
当 时， 恒成立.
当 时， 等价于 ，即 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，故C正确.
对于D，若 ，即 .
因为 在 恒小于0，在 上又单调递增，且 ，
所以 ，且 ，所以 ，
故D正确.
故选：BCD
11．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
即 在 上是增函数，由题意 是定义在 上的偶函数，
所以 ，又 ，
所以 是偶函数，所以 在 递减，
所以 ，
即不等式等价为 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
12．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，有 ，若
，则不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】因为定义在 上的函数 满足
所以函数 关于直线 对称，即
因为当 时,有 即
故令 则 ，在 上单调递增,
因为 ，
所以 关于点 对称，
所以 在 上单调递增，因为 ，
所以 所以当 时, ,
所以 ，当 时, ，
所以 且 ,即无解.所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
13．若定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为【答案】
【解析】构造 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
不等式 可化为 ，即 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
14．定义在 上的奇函数 的导函数为 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】令 ，因为 是定义在 上的奇函数，
则 ，
所以 为偶函数.
当 时， ， ，
由已知 ，
所以 ，
则 在 上单调递增，
由 可化为 ，
即 ，得 ；
当 ， ，则 ，即 ，
由 为偶函数，则 在 上单调递减，
得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： .
15．已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】当 时，由 ，得 ，则 ，
所以 成立，所以 符合 ，
当 时，令 ，则 ，
因为 ，
当 时， ，
所以 在 上递增，
因为 定义在 上的偶函数，所以 ，
所以 ，所以 为偶函数，
因为 ， 定义在 上的偶函数，所以 ，
所以
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
因为 在 上递增，
所以 ，且 ，得 ，且 ，
综上， ，即不等式 的解集是 ，故答案为：
16．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 ，若 ，则不等式
的解集为 .
【答案】 .
【解析】由函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 ，
令 ，可得 ，且 ，
因为 ，可得 ，所以 在 上单调递减，
不等式 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
17．已知 是函数 的导函数，且满足 在 上恒成立，则不等式
的解集是 .（用区间表示）
【答案】
【解析】令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
由 ，两端同除以 ，并移项得 ，
即 ，又 在 上单调递增，所以 ，解得 .
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
18． 是定义域为 上的奇函数， ，当 时，有 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】【解析】令 ，则 ，
故函数在 上单调递减，
又 为奇函数，所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
综上，不等式的解集为 .
故答案为：
19．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
∴ 在 上是减函数，
，
不等式 化为 ，
即 ，也即为 ，
所以 ， .
故答案为： ，
20．（2024·高三·上海浦东新·期中）定义在 上的函数 满足 ，其中 为
的导函数，若 ，则 的解集为 .
【答案】
【解析】由题意知 ，故 ，
设 ，则 ，
即 在R上单调递增，
由 ，可得 ，
故 即 ，即 ，则 ，故 ，即 的解集为 ，
故答案为：
21．已知定义在 上的函数 满足 ，则关于 的不等式 的
解集为 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为： .
22．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在 上的可导函数 满足： ， ，
则 的解集为 .
【答案】
【解析】记 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在R上单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以，不等式 的解集为 .
故答案为：
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 为偶函数，且当 时， ，其中
为 的导数，则不等式 的解集为 ．【答案】
【解析】令函数 ，当 时， ，即函数 在 上单调递
减，
由 为偶函数，得 ，即函数 是奇函数，于是 在R上单调递减，
不等式 ，
因此 ，解得 ，所以原不等式的解集是 .
故答案为：
24．（2024·山东菏泽·三模）已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，
有 ，则 的解集为 ．
【答案】
【解析】当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，且 的定义域为 ，关于原点对称，
所以 也是定义在 上的奇函数，且 ，
又因为 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，因为 在 上为增函数，
所以 ，即 .
所以 的解集为 .
故答案为：
25．函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有 ，则关于 的不
等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 在 上为减函数，
所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
26．已知函数 的导函数为 ，且满足 在 上恒成立，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 .
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
