文档内容
重难点突破 08 利用导数解决一类整数问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离....................................................................2
题型二：整数解问题之直接限制法....................................................................................................9
题型三：整数解问题之虚设零点......................................................................................................14
题型四：整数解问题之必要性探路..................................................................................................18
03 过关测试.........................................................................................................................................24利用导数解决一类整数问题常见技巧有：
1、分离参数、分离函数、半分离
2、直接限制法
3、虚设零点
4、必要性探路
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合 中仅有2个整数，则实数k的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式等价于 ，设 ， ，
则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
又 ， 时， ，
因此 与 的图象如图，当 时，显然不满足题意；
当 时，当且仅当 ，或 .
由第一个不等式组，得 ，即 ，
由第二个不等式组，得 ，该不等式组无解.
综上所述， .
故选：A.
【典例1-2】若函数 有两个零点 ，且存在唯一的整数 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，得 有两个实根，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故当 时，函数取得极大值，且 ，
又 时， ； 时， ；当 时， ， ，
作出函数 的大致图象，如图所示：直线 与 的图象的两个交点的横坐标即分别为 ，
由题意知 ，又 ， ，
因为存在唯一的整数 ，所以 ，
又直线 与 的图象有两个交点，
由图可知： ，即 .
故选：C.
【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于2
的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于2的整数，
即 的解集中有且仅有两个大于2的整数，
构造函数 ，
即 的解集中有且仅有两个大于2的整数，
当 时，对于 ， ，
即 的解集中有无数个大于 的整数，不符合题意.
所以 .
.若 ，即 ，
设 ，
，
设 ，
，
在 上递减，且 ，
所以当 时， ， 递减，
由于 ，
所以当 时， ，
所以当 时， 递减，
所以 ，
所以当 时， 恒成立，
即 的解集中有无数个大于 的整数，不符合题意.
所以 ，即 ，
解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：D
【变式1-2】已知函数 ，若不等式 的解集中有且仅有一个整数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又当 时， ，当 时， 且 ，
作出 的函数图象如图所示：
由 仅有一个整数解，
得 只有一个整数解，
设 ，由图象可知：
当 时， 在 上恒成立，不符合题意，
当 时，若 只有1个整数解，则此整数解必为1，
所以 ，即 ，解得 ．
故选：D．
【变式1-3】若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，可得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，且 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数 ，且存在唯一的整数 ，
使得 ，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】令 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
如图，分别作出函数 与 的图象，
其中直线 恒过定点 .
由图可知， ， ，
存在唯一的整数 ，使得 ，则需 ，故实数a的取值范围是 ，
其中 ， ，
而 ， ，
故选：AC.
【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，若存在唯
一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数 存在唯一的整数 ，使得 ，
设 与 ,
即存在唯一的整数 ，使得 在直线 上方,
，当 时， , 在 上单调递增；当 时，
, 在 上单调递减， , ，
若要存在唯一的整数 ，使得 在直线 上方，
则 或 ，代入得 或 ，
解得 ,故答案为： .
题型二：整数解问题之直接限制法
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于 ， ，使得不等式
恒成立，则整数x的最大值为 ．
【答案】
【解析】 恒成立，
等价于 .
令 ， ，则 ，
注意到 时， ， ， 时， .
则 在 上单调递减，在 上单调递增，则 .
则 ，则
.
令 ， .
当 ， ，故 满足条件；
当 ，则 在 上单调递减，
故 .
令 ， .
则 ，得 在 上单调递增，
时， ，不合题意；
综上，整数x的最大值为 .
故答案为： .
【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数 在区间 上有最小值，则
整数 的一个取值可以是 ．
【答案】 （答案不唯一， 中的任意整数均可）【解析】由 可知， ，
又 在 上有最小值，
所以 在 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令 ，则 在 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 .
故答案为： （答案不唯一， 中的任意整数均可）.
【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整
数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】不等式 可整理为 ，
当 时， 成立，所以其它两个整数解大于1，
当 时，原不等式可整理为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以不等式 的两个整数解只能是2,3，
所以不等式 的三个整数解为1,2,3，
则 ，解得 ，
因为 ， ， ，所以整数 .
故选：B.
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过 轴上一点 作曲线 的切线，若这样的切
线不存在，则整数 的一个可能值为 ．
【答案】 ， ， ，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为 ，因为 ，所以切线方程为 ．
因为切线 经过点 ，所以 ，
由题意关于 的方程 没有实数解，
则 ，解得 ．
因为 为整数，所以 的取值可能是 ， ， .
故答案为： ， ， ，只需写出一个答案即可
【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的图象在
处的切线过原点．
(1)求 的值；
(2)设 ，若对 总 ，使 成立，求整数 的最
大值．
【解析】（1）易知 的定义域为 ，
又 ，
的图象在 处的切线方程为 ，
将 代入，得 ；
（2） ．
当 时， 取得最小值， ．
由（1）知， ．
，得 的定义域为 ．
则 ，
易知 单调递增，
又 ．即 在 上有唯一解 ，故 ．
于是当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增．
在 处取得极小值也是最小值．
则 ，
对 总 ，使 成立，
只需 ，得 ．
故整数 的最大值为 ．
【变式2-4】已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）当 时， ，
，
令 ，得 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 在 处取得唯一的极大值，即为最大值，
所以 ，
所以 ，
而 ，
所以 .
（2）令 .
则 .
当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，又因为 .
所以关于 的不等式 不能恒成立；
当 时， .
令 ，得 ，所以当 时， ；
当 时， .
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
故函数 的最大值为 .
令 ，
因为 ，
又因为 在 上单调递减，所以当 时， .
所以整数 的最小值为3.
【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为整数，且关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）若 时， 在区间 上单调递减，
所以 .
若 ，则二次函数图象对称轴 ，
当 ，即 时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以 .
当 ，即 时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.若 ，对称轴 在区间 上单调递减，
综上， .
（2）因为 恒成立，
即 恒成立，
令 ,
所以 ,
当 时，因为 ，所以 ，
所以 在 上是单调递增函数.
又因为 ，所以关于 的不等式 不能恒成立.
当 时， ,
令 得 ，所以当 时， ；当 时， .
因此函数 在 上是增函数，在 上是减函数.
故函数 的最大值为 .
令 ，因为 .
又因为 在 上是减函数，所以当 时， ,
即关于 的不等式 恒成立，
所以整数 的最小值为2.题型三：整数解问题之虚设零点
【典例3-1】已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求整数a的最大值．
【解析】（1）若 ，则 ， ，则切点坐标为 ，
，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ．
（2）由 ，得 ，
当 时， ， ；
当 时， ，
设 ， ，
设 ， ，
则 在 单调递增，
， ，所以存在 使得 ，即 ．
时， ，即 ； 时， ，即 ，
则有 在 单调递减，在 单调递增， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以整数a的最大值为4．
【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数 ，对任意的 ，关于 的方程
有两个不同实根，则整数 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由 ，即 ，得 ，
设 ，则 ，显然 是 上的增函数.因为 ，
所以存在 ，使得 ，即 ；
当 时， ，当 时， 0，
则 ；
令 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，则 ，又 为整数，所以 .
故选：A
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当 时， 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由题意得， 在 上恒成立，
设 ， ，所以 ，
因为 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 在 上仅有一个实数根，设为 ，
所以 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 .
因为 ， ，所以 ，
将 代入可得 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，所以 ，
当 时， 不成立，
又 ，则整数 的最大值为 .
故选：B.
【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数 ， ，对任意 ，存在
使得不等式 成立，则满足条件的 的最大整数为 .
【答案】
【解析】依题意对任意 ，且 有 ，
因为存在 使得不等式 成立，
所以存在 使得 ，即 ，
令 ， ，
则 ，
令 ， ，则 在 上单调递增，
且 ， ，
所以 使得 ，即 ， ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
依题意 ，又 为整数，所以 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时，不等式 恒成立，求整数 的最大值．
【解析】（1）当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由题意，知 对任意 恒成立，
可知 对任意 恒成立．
设函数 ，只需 ．
对函数 求导，得 ．
设函数 ，对函数 求导，得 ，
所以函数 在 上单调递增．
又 ，
所以存在 ，使 ，即 ，
所以当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，
所以 ．又 ，所以 ，
所以整数 的最大值为2．
题型四：整数解问题之必要性探路
【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在 上的函数 ，若存在 ，使得 ，则称
为 的一个不动点．设函数 ，已知 为函数 的不动点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，且 对任意满足条件的 成立，求整数 的最大值．
（参考数据： ， ， ， ， ）【解析】（1）依题意，方程 在 内有根 ，且 ，
令 ， ，求导得 ，
当 时， 在 ， 上都递增，而 ，因此函数 在 、 无零点，
当 时，令 ， ， ，则函数 在 ， 上
都递增，
当 时，当 时， ，函数 在 上递增，无零点，
当 时， ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， 递减，在 时， 递增，
，而 ，有 ，
，
因此存在 ，使得 ，即函数 在 上有零点 ，则 ，
当 时，当 时， ，函数 在 上递减， ，无零点，
当 时， ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， 递减，在 时， 递增， ，
，令 ，求导得 ，
令 ，则 ，即函数 在 上单调递增，
，函数 在 上单调递增，
因此存在 ，使得 ，即函数 在 上有零点 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）依题意， ，于是 ，即
因为 ，取 ，有 ，因此 取2，
下证： 对任意 成立，令 ，
，当 时， 递增，当 时， 递减，
，即 对 恒成立，当 时， ，
令 ， ，函数 在 上递增， ，即 ，从而 成立，
当 时，只需证： 成立，
令 ， ，只需证 ，
，令 ，
，显然 在 上递增，
， ，即存在 ，使 ，
且当 时， 递减，当 时， 递增，
，整理得 ，
因为函数 在 递减，
所以 ，
所以 在 恒成立，即 在 递增，
显然 ，所以成立.
【典例4-2】已知函数 ，对 ，不等式
恒成立，则整数 的最大值是 .
【答案】1
【解析】通过观察
可得 恒成立；
整数 满足 恒成立则一定满足 恒成立；
注意到 时， ，取特殊值 ，得到 ，
可验证当 时，若 取大于 的整数，都有 使得 .
下面验证 满足 恒成立：
令 ， ，
， ，由零点存在定理得：存在 使得 .
且当 ， ， 单调递减；
， ， 单调递增；
满足 .
，当且仅当 取等， ,可得 恒成立，
即 恒成立， 恒成立.
综上，可知满足题意的最大整数 为 .
故答案为：1
【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据 ， ）
【解析】（1）要证： ，（ ， ），
只要证： ，又当 时， ，当 时， ，
即 与 同号，故只要证： ，即证： ，
令 ，（ ， ），则 ，
当 时， ， 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，故原不等式得证．
（2）因为 ，当 时，有 ，
则 ，所以整数 ．
当 时，由（1）可得 ，
下证： ， ，只要证： ．令 ， ，
因为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，所以得证,
综上所述，整数 的最大值为2．
【变式4-2】已知 ，函数 ， ．
(1)若 ，求证： 在 上是增函数；
(2)若存在 ，使得 对于任意的 成立，求最大的整数 的值．
【解析】（1） ，令 ， ，
令 ,解得
在 上单调递减, 单调递增，
，
，
命题得证.
（2）存在 ,使得 对于 成立,
等价于存在 ,使得 对于 成立，
由于 ,原题意的必要条件是 ,对 都成立
设 ,使得 ,即 ，
在 是减函数,在 是增函数,其中 ,即 ，
，显然 ,
由上图知, ，
对 都成立的最大整数 是2，
以下证明充分性,当 时,存在 ,使得 恒成立,
,由上证明知 存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的 ,使得 恒成立，
当 时,设 ,
故对 不恒成立，
存在 ,使得 对于任意的 成立,最大的整数 的值是2.
【变式4-3】已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在 上恒成立，求整数a的最小值.
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以 ；
（2）由 ，可得 ，当 时， ，则 ，即 .
当 时，令 ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 ，所以 成立.
因此整数a的最小值为1.【变式4-4】 ，对 ， ，求整数 的最小值．
【解析】当 时， ，此时 不合题意，
当 时， ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
函数的最大值为 ，
即 满足题意，
下面证明当 时， 对 恒成立，
由于 ，
其对称轴为 ，
故当 时， ，
综上可得，整数 的最小值为1．
1．已知函数 ，若有且只有两个整数 使得 ，且 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 ，可得 ，其中 ，
若 时， ，则 在 上单调递增，且 ，
所以 有无数个整数解，不符合题意，
若 时，当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，因为 ，所以 ，
所以 ，综上可得，实数 的取值范围为 .
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的最
小整数为 ．
【答案】1
【解析】当 时， ，
不等式 恒成立，
则 ，即 恒成立，
亦即 恒成立，
令 ， ，则 ，
当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 恒成立，即 ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，即 在 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，
即 ， ，故 ，
据此可判断 满足不等式成立，
所以实数 的最小整数为 .
故答案为：3．（2024·云南·三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】由函数 ，设 和
因为存在唯一整数 ，使得 ，
所以存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，如图所示，
因为 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， 取得极小值，也为最小值 ，
且当 时， ，当 时， ，
又由直线 恒经过原点 ，斜率为 （其中 ），
所以 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
4．（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x的不等式 对任意的 恒成立，则整数k
的最大值为 .
【答案】1
【解析】因为 对于任意 恒成立，等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，即 ， ， ，
所以 .
故答案为：1.
5．（2024·甘肃·三模）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，则整数 的最大
值为 .
【答案】1
【解析】因为 对于任意 恒成立，
等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
故整数 的最大值为1.
故答案为：1
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知函数 ，若 的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题可知， ， ，
由于 的解集中恰有一个整数，
即 ，即 ，
因为 ，所以 的解集中恰有一个整数，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
画出 和 的大致图象，如图所示：
要使得 ，可知 ，
设 为 和 的交点的横坐标，
而 的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即 ，
当 时，得 ；当 时，得 ，
即 ， ，
当直线 过点 时，得 ，
当直线 过点 时，得 ，
所以 的取值范围为 .故答案为：
7．（2024·高三·上海宝山·期中）若不等式 的解集中仅有2个整数，则实数k的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于， ，
设 ，
所以 ，
令 ，得 ．
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
又 ， 时， ，
因此 与 的图象如下，
当 时，显然不满足条件，当 时，只需满足 ，
解可得， ．
故答案为： ．
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)当 时，对任意 ，都有 ，求整数 的最大值．【解析】（1） 时，设 ，则 ，
，
即 在 上恒成立，
在 上单调增， 又 ，
即 ；
（2） 时，当 时， ，所以 ．
下证 符合．
时，当 时， ，所以当 时， ．
记 ，则只需证 对 恒成立．
，令 ，则 在 递减，
又 ，所以存在 ，使得 ，
则 在 递增， 在 递减；
又 ，所以存在 使得 ，且
，
所以 在 递增，在 递减，又 ，所以 对 恒成
立，
因为 ，所以 符合．
综上，整数 的最大值为3．
9．（2024·贵州·一模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对 恒成立，求整数a的最小值．【解析】（1） 的定义域为 ，
（ⅰ）当 时， ，∴ 在 上单调递增；
（ⅱ）当 时，令 ，
令 ，
∴当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由 ，可得： ，
∵ ，∴原命题等价于 对 恒成立．
令 ，∴ ，
令 ，∴ ，∴ 在 上单调递增．
又 ，
故存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递减．
∴ ，
∴ 时， 恒成立．
∴ ，又 ，∴a的最小整数值为2．
10．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上的最大值在区间 内，求整数m的值．
【解析】（1） ，其定义域为 ， ，所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）由 ，得 ，
所以 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，即 ．
故当 时， ，当 时， ，
又当 时， （等号仅在 时成立），
所以当 时， ；当 时， （等号仅在 时成立）．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ．
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ， ．
所以 ，所以 ．
11．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且存在整数 使得 恒成立，求整数 的最大值.
（参考数据： ， ）
【解析】（1） ， ，若 ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
若 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
若 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 和 上递增，
若 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 和 上递增，
综上所述，当 时，函数 在 上递减，在 上递增，
当 时，函数 在 上递增，
当 时，函数 在 上递减，在 和 上递增，
当 时，函数 在 上递减，在 和 上递增；
（2）若 ， ， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，即函数 在 上递增，
又 ，则当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又 ， ， ，所以函数 存在唯一的零点 ，且 ，此时 ，
则当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
令 ， ，则 ， ，
所以函数 在 上递减，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
又存在整数 使得 恒成立，
所以整数 的最大值为0.
12．设函数
(1)求 的单调区间
(2)若 ，k为整数，且当 时 ，求k的最大值
【解析】（1）函数 的定义域是 ， ，当 时， ，所以函
数 在 上单调递增，
当 时， 时， ，当 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由于 ，所以 ，故当 ， ，等价
于
令 ，①
则 ，
由(1)可知，当 时，函数 在 上单调递增，
而 ，所以 在 存在唯一零点，故 在存在唯一零点，设此零点为 ，则有 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上的最小时为 ，又由 ，可得 ，
所以 ，由于①等价于 ，故整数 的最大值为2.
13．已知 ， R．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求整数a的最小值．
【解析】（1）由题意得 的定义域为 ，
，
① 时， ， 在 内单调递减，
② 时，令 得 或 （舍）
当 ， 单调递减
当 ， ， 单调递增．
（2）由题意得 ，
整理得 ，
因为 ，所以原命题等价于 在区间 内恒成立，
令 ，则 ，
令 ，易知 在区间 内单调递增，
又 ， ，故存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
故当 时，函数 有极大值，也即为最大值，
，
故 ，又 ，故 ，
又a为整数，故a的最小整数值为14．已知函数 .
(1)若函数 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ， 在 上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据： ， ）
【解析】（1） ，函数定义域为
，
∵ 在 上单调递增，∴ 在 上恒成立，
，记 ，
，解得 ， ，解得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
a的取值范围为
（2）由 可知， ，
∴ ，记 ，
∵ ，
令 ， ，
，解得 ， ，解得
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
∴ ， ，
， ，∴ ，∴ 单调递减，
， ， ，∴ 单调递增，
，
∵ ， ，∴ ，
∴整数k的最大值为6．
15．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为 .
(1)求实数a的值及函数 的单调区间；
(2)若 时， ，求整数m的最大值.
【解析】（1）函数 的定义域为（-∞，+∞），因 ， ，
在 处的切线方程为： ，由已知得 ，
，所以 ；
由 得 ，由 得 ，
所以函数 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
（2） 时，不等式 等价于 ，
令 ，则 ，
由（1）得 在（0，+∞）上单调递增，
又因为 ， ，所以 在 上有唯一零点 ，且 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的最小值为 ，由 得
所以 ，由于 ，所以 ，
因为 ，所以m的最大值为2；
综上， ，函数 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0），
m的最大值为2.
16．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 .
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值.
【解析】（1） 的定义域为 ，求导得： ，
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） ， ，
令 ， ，则 ，
由（1）知， 在 上单调递增，且 ，
则 在区间 内存在唯一的零点 ，使 ，即 ，
则当 时， ， ，有 在 上单调递减，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
于是得 ，因此， ，
所以整数 的最大值为3.
17．已知函数 ， 在 上恒成立，求整数k的最大值.
【解析】由题意， 在 上恒成立，
即 ( )．
设 ( )，
则 ，
令 ( )，则 ，
所以， 在 上为增函数．
因为 ， ， ，
所以 在 上有唯一实数根 ，
使得 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值，且 ，
所以 .由 ，得整数k的最大值为3.
18．已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求整数m的最小值
【解析】（1）因为 ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时， ，得 舍去 ， ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为对任意 ， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 .
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
19．（2024·高三·广东·开学考试）已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若对定义域内的一切实数 ，都有 ，求整数 的最小值．
（参考数据： ）
【解析】（1） 时， ，故 ，
因为 在 上均为增函数，故 在 上为增函数，
而 ，故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 .
（2）由 的定义域为 ， ，
因为 在 上均为增函数，故 在 上为增函数，
而 ，
当 （从 的右侧）时， ，故 在 上存在一个零点 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
而 ，故 ，且 ，
故 ，故 ，故 ，
故 ，故 .
若 ，则 即 ，因为 在 均为增函数，
故 在 为增函数，
而 ，但 ，故 ，即 ，
故 ，但 ，即 成立
故 时， 恒成立，故整数 的最小值为1.
