文档内容
重难点突破 02 数列与概率综合
一．选择题（共3小题）
1．（2022•西城区校级三模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所
有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感
染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染
数 ，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为
注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，每个感染者再传染 个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为 人，
经过二轮传染后，感染人数为 人，
经过三轮传染后，感染人数为 人；
则每一轮传染后的感染人数构成以 4为首项，以4为公比的等比数列，设为 ，到第
轮传染后，感染人数为 ，
由 ，得： ，
感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮．
故选： ．
2．（2022•东城区校级三模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所
有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感
染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数 ，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为
注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个人再传染 个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为 人，
经过二轮传染后，感染人数为 人，
经过三轮传染后，感染人数为 人；
则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，设为 ，
到第 轮传染后，感染人数为 ，
由 ，得 ，
感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮．
故选： ．
3．（2020•赣州模拟）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知
一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没
有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144
这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 ，其中， ，
．若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， ，
可得：每三个数中有2个奇数，
可得：从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为：
．故选： ．
二．多选题（共3小题）
4．（2023•湖北模拟）在正三棱柱 中，若 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱
柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，
设蚂蚁移动 次后还在底面 的概率为 ，则下列说法正确的是
A． B．
C． 为等比数列 D．
【解答】解：由题可知，当 时， ，故选项 错误．
当 时， 表示第 次在平面 的顶点上的概率， 表示第 次在平面
的顶点上的概率．
由底面走到底面的概率为 ，由上面走到底面的概率为 ，
所以 ，得 ，又 ，
所以 是等比数列，首项为 ，公比为 ． 正确；
故 ，
化简得 ，故 ，所以选项 正确．
故选： ．
5．（2022•辽宁模拟）记数列 的前 项和为 ，已知 ，在数集 ，
0， 中随机抽取一个数作为 ，在数集 ，0， 中随机抽取一个数作为 ．在这些不同数列中随机抽取一个数列 ，下列结论正确的是
A． 是等差数列的概率为 B． 是递增数列的概率为
C． 是递减数列的概率为 D． 的概率为
【解答】解： ， 当 时， ，
当 时， ，
若 是等差数列，则 ，解得 ，
在数集 ，0， 中取到0即可，概率为 ，故 正确；
若 是递增数列，则 ，且 ，即 ，解得 ，
或 ，
是递增数列的概率为 ，故 正确；
与证明 的结论同理得到 错误；
由已知得 ，
若 ，则 ，满足 ，概率为 ，
若 ， 是 的最小值，则 ，概率为 ，
的概率为 ，故 错误．
故选： ．
6．（2022•盐城一模）若数列 的通项公式为 ，记在数列 的前
项中任取两项都是正数的概率为 ，则
A． B．C． D．
【解答】解：因为数列 的通项公式为 ，
所以数列 的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列 的偶数项为 ，即偶数项为负
数，
又数列 的前 项中，任取两项都是正数的概率为 ，
当 时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为 ，故 正确；
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项都
是正数的概率为
，
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项
都是正数的概率为 ，
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取
两项都是正数的概率为 ，
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取
两项都是正数的概率为 ，
所以 ，所以 ，故 正确；
，
所以 ，故 错误；
，
所以 ，故 错误，
故选： ．
三．填空题（共2小题）
7．（2021•江苏模拟）集合 中有4个等差数列，集合 中有5个等比数列， 的元
素个数是1，在 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是
．
【解答】解：集合 中有4个等差数列，集合 中有5个等比数列， 的元素个数是
1，
中有8个数列，
在 中任取两个数列，基本事件总数 ，
这两个数列中既有等差数列又有等比数列包含的基本事件个数 ，
这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是 ．
故答案为： ．
8．（2020•安阳一模）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，
观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 ，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 ；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率
是 ．记观众甲第 次看到广告后不来此景区的概率为 ，若当 时， 恒成立，
则 的最小值为 ．
【解答】解：根据题意， 为观众甲第 次看到广告后不来此景区的概率，
则 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
，显然数列 单调递减，
所以当 时， ，
所以 ，所以 的最小值为 ．
故答案为：
四．解答题（共10小题）
9．（2022•襄城区校级模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律
宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测
结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指
令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规
定“熔断期”的航班量
不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周 1班航班计划．已知
某国际航空公司 航线
计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是 ，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是 ，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是
．一条航线处于“熔断期”的原计划航
班不记入该航线的航班次数，记该航空公司 航线的第 次航班被熔断的概率为 ．
（1）求 ；
（2）证明： 为等比数列；
（3）求数列 的前 项和 ，并说明 的实际意义．
【解答】解：（1） ；
（2）由题得 ，
，
又 ， 数列 是以 为首项、 为公比的等比数列；
（3）由（2）知 ，故 ，
从而 ，
由于 可以理解为第 次航班平均被熔断的次数，
表示前 次航班平均被熔断的次数．
10．（2022•三河市模拟）某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是 ，
棋盘上标有第0站、第1站、第2站、 、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每
掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从 到 ；若掷出反面，棋子向前跳两站（从 到 ，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100
站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第 站的概率为 ．
（1）求 、 、 的值；
（2）求证： ，其中 ， ；
（3）求玩该游戏获胜的概率及失败的概率．
【解答】解：（1）根据题意，分析可得棋子开始在第0站，则 ，
若棋子跳到1站，必有硬币掷出正面，则 ，
若棋子跳到2站，有2种情况，即2次硬币掷出正面或1次掷出反面，则 ，
（2）证明：根据题意，依题意，棋子跳到第 站 有两种可能：
①棋子先到第 站，又掷出反面，此时有概率为 ，
②棋子先到第 站，又掷出正面，此时有概率为 ，
则有 ，
变形可得： ，其中 ， ；
即可得证明；
（3）根据题意，由（2）的结论，数列 是以 为首项，公比为
的等比数列，
则有 ，
则 有即该游戏获胜的概率为 ，
则该游戏失败的概率 ．
11．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对
出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子： 使之开红花， 使之开白花，两个因子的相
互组合可以构成三种不同的遗传性状： 为开红花， 和 一样不加区分为开粉色花，
为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传
因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传
因子以 的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第 代的遗传
设想为第 次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状 的父
系来说，如果抛出正面就选择因子 ，如果抛出反面就选择因子 ，概率都是 ；对母系
也一样．父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种
遗传性状 ， （或 ， 在父系和母系中以同样的比例 出现，
则在随机杂交实验中，遗传因子 被选中的概率是 ，遗传因子 被选中的概率是
，称 ， 分别为父系和母系中遗传因子 和 的频率， 实际上是父系和母
系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是 ，后代遗传性状为 ， （或
， 的概率各是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得
父系和母系中仅有遗传性状为 和 （或 的个体，在进行第一代杂交实验时，假设
遗传因子 被选中的概率为 ， 被选中的概率为 ， ．求杂交所得子代的三种遗传性状 ， （或 ， 所占的比例 ， ， ．
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为 的个体．假设
得到的第 代总体中 3 种遗传性状 ， （或 ， 所占比例分别为 ， ，
．设第 代遗传因子 和 的频率分别为 和 ，已知有以下公式
， ， ，2， ，证明 是等差数列．
（4）求 ， ， 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下
去，会有什么现象发生？
【解答】解：（1）即 与 是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是 ，
故 出现的概率是 或 出现的概率是 ，
出现的概率是 ，
所以： ， 或 ， 的概率分别是 ．
（2） ．
（3）由 （2）知 ，
于是 ，
，
，是等差数列，公差为 1．
（4） ，
其中， （由（2）的结论得），
所以 ，
于是， ，
，
，
很明显 越大， 越小，
所以这种实验长期进行下去， 越来越小，而 是子代中 所占的比例，
也即性状 会渐渐消失．
12．足球运动被誉为“世界第一运动”．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于
报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：
（1）如表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的
概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为 ，求 ；
点球数 20 30 30 25 20 25
进球数 10 17 20 16 13 14
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中
的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假
定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第 1次触球者，接到第 次传球的人即为第
次触球者 ，第 次触球者是甲的概率记为 ．
求 ， ， （直接写出结果即可）；
证明：数列 为等比数列．
【解答】解：（1）这150个点球中的进球频率为：
，
该同学踢一次点球命中的概率为 ，
由题意， 的可能取值为1，2，3，
则 ，
，
，
．
（2） 由题意 ．
证明： 第 次触球者是甲的概率为 ，
当 时，第 次触球者是甲的概率为 ，
第 次触球者不是甲的概率为 ，则 ，
，
，
是以 为首项，公比为 的等比数列．
13． 2020元旦联欢晚会上， ， 两班各设计了一个摸球表演节目的游戏： 班在一个
纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外完全相同，记事件 ：同学们
有放回地每次摸出1个球，重复 次， 次摸球中既有红球，也有黄球，还有白球； 班
在一个纸盒中装有1个蓝球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，记事件 ：同学们有
放回地每次摸出1个球，重复 次， 次摸球中既有蓝球，也有黑球，事件 发生的概率
为 ，事件 发生的概率为 ．
（1）求概率 ， 及 ， ；
（2）已知 ，其中 ， 为常数，求 ．
【解答】解：（1） 班3次摸球共有 种不同的可能，其中集齐红球，黄球，白球
有 种，
故 ；
班4次摸球共有 种不同可能，4次后集齐红球，黄球，白球，即某种颜色出现两
次，其余各出现一次，
可能性为 种，故 ；班摸球 3 次共有 种不同的可能，其中不能集齐黑球，蓝球有两种，故
；
班摸球 4 次共有 种不同的可能，其中不能集齐黑球，蓝球有两种，故
；
（2）记 ， ，结合（1）中的计算得下表：
1 2 3 4 5
0 0
0
由于 的对立事件总是2种情形，即全是黑球或全是蓝球，故 ．
令 ，即 ，
解得 或 （舍去，因为 ．
故 ．
即 ，
，
．
累加可得 ．当 时， 适合上式．
故 ．
14．如图，直角坐标系中，圆的方程为 ， ， ， ， ，
为圆上三个定点，某同学从 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一
次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰
子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，
则按图中箭头相反的方向移动．
设掷骰子 次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 （A）， （B）， （C）．
例如：
掷骰子一次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 （A） ， （B） ，
（C）
（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率；
（2）掷骰子 次时，若以 轴非负半轴为始边，以射线 ， ， 为终边的角的余弦
值记为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（3）记 （A） ， （B） ， （C） ，其中 ．证明：数列
是等比数列，并求 ．【解答】解：（1） （A） ， （B） ， （C）
，
（A） ， （B） ， （C） ；
（2）随机变量 的可能取值为1， ，
由（1）可得 （B） （C） ，
（A） （C） （A） （B） ，
则 的分布列为
1
；
（3）证明：易得 ，即 ， ，
时， ，
又 ，可得 ，
由 ，
可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
又 ，
故 ．
15．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征 和严重急性呼吸综合征 等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒 是
以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症
状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综
合征、肾衰竭，甚至死亡．
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，有以下两
种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 次．
方式二：混合检验，将其中 且 份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验
结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪几份为
阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液的检验次数总共为
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份
样本是阳性结果的概率为 ．现取其中 且 份血液样本，记采用逐份
检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）若 ，试求关于 的函数关系式 ；
（2）若 与干扰素计量 相关，其中 ， ， ， 是不同的正实数，满足
且 都有 成立．
求证：数列 为等比数列；
当 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份
检验的总次数的期望值更少，求 的最大值．（参考数据： ，【解答】解：（1）由已知可得 ， 的所有取值为1， ，
， ，
，
由 ，可得 ，即 ，即 ，即 ，
可得 ， ， ；
（2） 证明：当 时， ，即 ，
可令 ，则 ，由 ，下面证明对任意的正整数 ， ，
①当 ，2时，显然成立；②假设对任意的 ， ，下面证明 时，
，
由题意可得 ，则 ，
则 ， ，
，即 ，
可得 或 （舍去），即 成立，
由①②可得数列 为等比数列，且 ；
由 可 知 ， ， 可 得 ， 即，
所以 ，设 ， ， ，当 时， ， 递
减，又 ， ，则 ；
， ，则 ，可得 的最大值为4．
16．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和
黄花的概率都是 ，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是 ，开黄
花的概率是 ；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是 ，开黄花的概率是 ．记第
代开红花的概率为 ，第 代开黄花的概率为
（1）求 ；
（2）①证明：数列 为等比数列；
②第 ， 代开哪种颜色花的概率更大？
【解答】解：（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，
第一代开黄花而第二代开红花，
故由 ，得： ．
（2）①由题意可知，第 代开红花的概率与第 代的开花的情况相关，故有
．
则有 ，
由于 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
②所以 ，所以 ，
故有当 时， ，因此第 代开黄花的概率更大．
17．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一
种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白
鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则
乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈
率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 ．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， ，1， ， 表示“甲药的累计得
分 为 时 ， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 ， ，
，2， ， ，其中 ， ， ．
假设 ， ．
（ⅰ）证明： ，1，2， ， 为等比数列；
（ⅱ）求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
【解答】（1）解： 的所有可能取值为 ，0，1．
， ， ，
的分布列为：
0 1（2） 证明： ， ，
由（1）得， ， ， ．
因此 ，2， ， ，
故 ，即 ，
又 ， ，1，2， ， 为公比为4，首项为 的等比数列；
解：由 可得，
，
， ，
．
表示最终认为甲药更有效的概率．
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率
为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
18．已知构成某系统的元件能正常工作的概率为 ，且各个元件能否正常工作是
相互独立的．今有 大于 个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、
乙．
（1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率 ， ；
（2）比较 与 的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．【解答】解：（1）由图知，甲系统中每个通路能正常工作的概率为 ，故整个系统能正
常工作的概率是 ，
乙系统每个小并联电路能正常工作的概率是 ，故整个系统能正常工作的概率是
．（4分）
（ 2 ） 由 于 ， 故 比 较 与 的 大 小 可 通 过 比 较
符号，
当 时，有 ．故有 时， ，
假设 时，有 ，
当 时，
由于 ，可得 ，故有 时， ，
综上证得 ，
由此结论知，在所用的电子器件数目一样的情况下，乙系统工作情况比甲系统更稳定，出
现不正常工作的可能小，较可靠．
