文档内容
重难点突破 05 利用导数研究恒(能)成立问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：直接法....................................................................................................................................3
题型二：端点恒成立............................................................................................................................9
题型三：端点不成立..........................................................................................................................13
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离..........................................................................18
题型五：洛必达法则..........................................................................................................................25
题型六：同构法与朗博同构..............................................................................................................28
题型七：必要性探路..........................................................................................................................34
题型八：max，min函数问题...........................................................................................................41
题型九：构造函数技巧......................................................................................................................48
题型十：双变量最值问题..................................................................................................................58
题型十一：恒成立问题求参数的具体值..........................................................................................63
03过关测试.........................................................................................................................................681、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
4、法则1若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则2若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；
（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；（3） ，
那么 = ．
法则3若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，
否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)试比较 与 的大小；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．【解析】（1）因为 ，
构建 ，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递减，且 ，则有：
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 .
（2）若 恒成立，则 ，
构建 ，
原题意等价于 在 内恒成立，
则 ，
1、若 ，则
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，不符合题意；
2、若 ，则有：
（ⅰ）若 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，符合题意；
（ⅱ）若 时，令 ，解得 或 ，
①若 ，即 时，当 时， ，
可知 在 内单调递减，此时 ，不合题意；
②若 ，即 时，则 ，可知 在 内单调递增，
当 时，此时 ，不合题意；
③若 ，即 时，则 ，
由（1）可知：当 时， ，
则 ，
可得 ，不合题意；
综上所述： 的取值范围为 .
【典例1-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） ，
当 时， 恒成立，从而 在 上单调递增，
当 时， ， ， ， ，
从而 在 上递增，在 上单调递减，
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）由题可知 ，要使 恒成立，只要 ，
，
由于 ， ，所以 恒成立，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 的定义域为 ，
当 时， ，所以1是 的一个零点，
，
令 ，则 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ，
故 ， 在 上单调递增，结合 ，
可知此时 有1个零点；
当 ，即 时，若 ，则 时， ，
故 ， 在 上单调递增，结合 ，
可知此时 有1个零点；
若 ，则 时，则 的判别式 ，
不妨设两根为 ，则 ，
即 有2个正数根，且不妨设 ，
则当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
则可知 在 上单调递减，则 ，
在 上单调递减，则 ，由当x无限趋近于0时， 的变化幅度要大于 的变化幅度，
故 趋近于负无穷，
当x趋近于正无穷时，x的变化幅度要大于 的变化幅度，
故 趋近于正无穷，
此时函数 有3个零点，
综上：当 时， 有3个零点，当 时， 有1个零点
（2）不等式 在 上恒成立
等价于 在 上恒成立，
令 ，则 .
对于函数 ， ，所以其必有两个零点.
又两个零点之积为 ，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点 ，则 ，即 .
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
故需 ，即 .
设函数 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 .
由 在 上单调递增，
得 .
【变式1-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题设当 时， ，
所以 ，得 ，
又 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）若 ，不等式 恒成立，则 ，
，
当 时，对于 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 时， ，即 满足题意；
当 时，若 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 ，与 矛盾，不合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）设
(1)当 ，求函数 的零点个数.
(2)函数 ，若对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围
【解析】（1）当 时， ， ，
当 时， ， ， ， 在 上无零点.
当 时， ， 在 上单增.
， ， ，
， ， 在 上有一个零点.
当 时，又 ，
，在 上无零点.
综上所述， 在 上只有一个零点.
（2） 时， ，
，设 ，
，
当 ， 在 递增，在 上递减，
， ，
， ，
当 时， 在 递减，在 递增，在 递减，
只需 ， ，
，与 矛盾，舍去；
当 时， 在 上递减，只需 ， ，矛盾，舍去；
不满足条件.
当 ， 在 上递减，在 上递增，在 上递减.
， ， 只需 ，
，
， ，
又 ， ，
， 满足条件.
综上所述，题型二：端点恒成立
【典例2-1】（2024·广西·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，求 的取值范围.
【解析】（1） ，得 ，
当 时， ，函数 在 单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）对任意 ，即 ，
设 ，
①当 时， 在 单调递增， 单调递增，
，成立；
②当 时，令 在 单调递增，
在 单调递增，
，成立；
③当 时，当 时， 单调递减，
单调递减，
，不成立.
综上可知 .
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 有3个极值点，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由 ，得 ，
由 存在极值，则 ，知 ，则 有3个不相等实数根，令 ，则 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；当 时，
单调递减．
则 在 时取极小值 在 处取得极大值 ，
又 时， 时， ，又 ．
所以， 有3个不相等实数根时， ，即 ，
所以， 有3个极值点时， 的取值范围是 ．
（2）由 ，得 ，
令 ，得 ，知 ，
令 ，则 ，
又令 ，则 ，知 ，
当 时，即 时，
由于 单调递增，则 ，
故当 时， 即 单调递增，则 ，
所以，当 时， 即 单调递增，则 ，
故当 时， 单调递增，则 ，
所以，当 恒成立．则 时满足条件．
当 时，即 时，
由于 单调递增，由于 ，
故 ，使得 ，
当 时， ，则 时， 即 单调递减，
故 ，
故当 时， 即 单调递减，所以 ，此时 单调递减， ，不满足条件．
综上所述，当 恒成立时， 的取值范围是 ．
【变式2-1】（2024·山西·三模）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围
【解析】（1）当 时， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ，
因此所求三角形的面积为 .
（2）当 时，不等式 恒成立，即 恒成立.
令 ，
则 ，设
令 ，解得 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
所以 .
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， 恒成立.
所以当 时， 恒成立.
令 ，则 .
由于 时， 恒成立，即 ，所以 ，则 ，
当 时， 单调递增；当 ， 单调递减；
因此当 时， 取得极大值也是最大值，则 ，
所以 ，所以，实数 的取值范围是 .【变式2-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时 ，所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，即 ，无极小值.
（2）因为当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
即 在 上恒成立，
当 时 ，解得 ，
设 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时 ，则 单调递增，
当 时 ，则 单调递减，
因为 ， ， ， ，
当 ，即 时 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 恒成立，
当 时 使得 ，
所以当 时 ， 单调递增；
当 时 ， 单调递减；所以 ，则 ，解得 ，
综上可得 ，即 的取值范围为 .
题型三：端点不成立
【典例3-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ．（ ）
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ,
所以 ,
若 时, 单调递减, 时, , 单调递增；
若 ,由 得 或 ,
设 ,则 ,
时, 单调递减,
时, 单调递增,
所以 ，所以 ,
所以 时, 单调递减,
， 时, , 单调递增.
综上得,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递减,在 ， 上单调递增.
（2）当 时, ,
存在 ,使得 成立,
即 成立,即 成立，
设 ,则 ,设 , ，则 在 上单调递增，
且 ,
所以存在 ,使得 ,
所以
令 ， ， 在 上单调递增,得 ,
所以 , 时, 单调递减,
时, , 单调递增，
所以 ,
所以 ,即 的取值范围是 .
【典例3-2】（2024·山东泰安·三模）已知函数 .
(1)讨论 的最值；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）.解：因为 的定义域为 ，可得 .
当 时，令 ，可得 ；
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为 ，无最大值.
（2）解：当 时，由 ，可得 ，
整理得 ，即 ，令 ，
则 ，
由（1）知，当 时， 的最小值为 ，即 恒成立，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
故当 时， 取得最大值 ，即 ，
故 的取值范围为 .
【变式3-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 （ ， ）在点 处的切线
方程为 ．
(1)求函数 的极值；
(2)设 （ ），若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由题 ， ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ， ．
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 有极小值，极小值为 ，无极大值．
（2）由题意可知： ，且 ，
整理得 ，原题意等价于 在 内恒成立，
设 ，则 ，
设 ，则 ．
当 时， ；当 时， ，可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，即当 时， 恒成立，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，则 ，
由 恒成立，可得 ，
所以 的取值范围为 ．
【变式3-2】（2024·安徽合肥·模拟预测） .
(1)若 的图象在点 处的切线经过原点，求 ；
(2)对任意的 ，有 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
所以 且 ，即切线的斜率为 ，切点为
因为 的图象在点 处的切线经过原点，
可得 ，解得 .
（2）任意的 ，有 ，即 在 恒成立，
令 ，
若 ，则 ，可得 ，所以 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，则 ，
当 时， ， 在 递增，而 ，
所以，存在唯一的 ，使得 ，
所以，当 时， ， 在 递减，
当 时， ， 在区间 递增，
故当 ，函数 取得极小值 ，
所以 ，此时， ，可得 ，
即 ；当 时， ，
因而 ，符合题意，
综上所述，实数 的取值范围是求 .
【变式3-3】（2024·浙江金华·三模）已知函数 在 （ 为自然对数的底数）处取得极
值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式 恒成立，求k的范围．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∵函数 在点 处取得极值，
∴ ，
∴ ，经检验，符合题意，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ 恒成立，
即 对任意 恒成立．
令 ，则 ．
设 ，易得 是增函数，
而 ，
∴ 时， ，即 ，
时， ，即 ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
∴ ，
∴ ．题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 极值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，当 时， ，
求导得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，无极小值.
（2）函数 ， ， ，
设 ， ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
则 ，即 ，因此 ，
令 ， ，求导得 ，
令 ， ，求导得 ，当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，因此函数 在 上是增函数， ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【典例4-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 ，函数 ．
(1)若直线 与函数 交于点A，直线 与函数 交于点B，且函数 在点
A处的切线与函数 在点B处的切线相互平行或重合，求a的取值范围；
(2)函数 在其定义域内有两个不同的极值点 ， ，且 ，存在实数 使得不
等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ；
因为 在 处的切线与 在 处的切线相互平行或重合，
所以 ，即 在 上有解，
所以 在 上有解，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以函数 的值域为 ，
所以 ，
所以 ，
所以a的取值范围为 ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
所以 ；
因为 是 的两个极值点，
所以 ， ，所以 ；
因为 ， ，
则由 得： ，
所以 ，即 ，
所以 ；令 ，则 ；
令 ，
则 ；
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，满足题意；
②当 时，若 ，则 ，所以 在 上单调递减，
此时 ，即 ，不合题意；
所以由不等式 恒成立，可得 ，又 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【变式4-1】已知函数 ．
(1)若函数 ， ，讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数b的取值范围．
【解析】（1）由题， ，
，
当 时， ，∴ 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由题知， 恒成立，
即 恒成立，∵ ，∴ ，不等式两边同除以 ，得 ，
设 ， ，则不等式 恒成立．
∵ ，当 时， ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ．∵ ，当 时，
，当 时， ，∴ 在 上单调递增，
在 上单调递减，∴ ，
∴ ，∴ ，∴实数b的取值范围为 ．
【变式4-2】（2024·山东济南·三模）已知函数 ，其中 且 ．
(1)若 是偶函数，求a的值；
(2)若 时， ，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意， ，即 ，
解得， 或 （舍），经检验 时， 是偶函数，
所以a的值为 ；
（2）当 时， ， 成立；
当 且 时， ， ，
又 已证，故此时符合题意；
当 时， ，
因为函数 都是增函数，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
故存在 ，使得当 时， ，从而 单调递减，所以，存在 ，使得 ，此时不合题意．
综上所述， 且 ．
【变式4-3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数 的两个极值点分别为 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求正数 的取值范围（其中 为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题 ，定义域为 ．
则 ，
由题可得 有两个不等实数根 ，
于是 有两个不同的实数根，
等价于函数 与 图像在 有两个不同的交点，
，由 ，由 ，
所以 在 递增，在 递减，
又 有极大值为 ，当 时， ，
所以可得函数 的草图（如图所示）．
所以，要使函数 与 图像在 有两个不同的交点，
当且仅当 ，即实数 的取值范围为
（2）由（1）可知： 是方程 的两个实数根，且 ，
则 ，即 ，令 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，所以 ，
于是，当 时，有 ，即 ，
综上所述， ，即 的取值范围是 ．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线与
轴平行．
(1)求实数 的值；
(2)若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）解：因为函数 ，可得 ，
所以 ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行，所以 ，解得 ，
故实数 的值为 ．
（2）解：由（1）知 ，
因为 ，所以由 ，即 ．
设 ，
则 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
【变式4-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【解析】（1）函数 的定义域为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ， 在 上为减函数，
当 时， ， 在 上为增函数，
综上所述： 在 上为减函数，在 上为增函数；
（2）若 ，不等式 恒成立，
则 对 均成立，所以
令 ，
则 ，
令 ，显然 为 上的减函数，
又 ，
所以 ， ， 则 在 上为增函数，
当 时， ， 则 在 上为减函数，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
题型五：洛必达法则
【典例5-1】已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处
的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) ， ；
函数 在 处取得极值， ；
又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直， ；解得： ；
（2）不等式 恒成立可化为 ，即 ；
当 时，恒成立；当 时， 恒成立，
令 ，则 ；
令 ，则 ；
令 ，则 ；
得 在 是减函数，故 ，进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．
可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，但当 时， 没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案， ，故答案为 ．
【典例5-2】设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
【解析】由题设 ，此时 .
①当 时，若 ，则 ， 不成立；
②当 时，当 时， ，即 ；
若 ，则 ；
若 ，则 等价于 ，即 .
记 ，则 .记 ，则 ， .
因此， 在 上单调递增，且 ，所以 ，
即 在 上单调递增，且 ，所以 .
因此 ，所以 在 上单调递增.
由洛必达法则有 ，
即当 时， ，即有 ，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
【变式5-1】设函数 ．如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
【解析】 ，
若 ，则 ；
若 ，则 等价于 ，即
则 .
记 ，
因此，当 时， ， 在 上单调递减，且 ，
故 ，所以 在 上单调递减，
而 .
另一方面，当 时， ，
因此 .
【变式5-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .(1)讨论 的单调性;
(2)若对任意的 恒成立，求 的范围.
【解析】（1） ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调
递减；
（2）当 时， ，符合题意，此时 ；
当 时，因为 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
再令 ，则 恒成立，
则 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以
题型六：同构法与朗博同构
【典例6-1】已知函数 .
(1)若 ，判断 的零点个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
，定义域为 ，
令 ，可得 ，设 ，则 ，令 ，得 在 上单调递增；
令 ，得 ，
在 上单调递减，
.当 时， ；
当 时， ，从而可画出 的大致图象，
①当 或 时， 没有零点；
②当 或 时， 有一个零点；
③当 时， 有两个零点.
（2）当 时，不等式 恒成立，
可化为 在 上恒成立，
该问题等价于 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
，
即 ，即
①当 时， ，不等式恒成立；
②当 时，令 ，显然 单调递增，
且 ，故存在 ，使得 ，所以 ，
即 ，而 ，此时不满足 ，
所以实数 不存在.
综上可知，使得 恒成立的实数 的取值范围为 .
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题知 的定义域为 ，
由 ，得 ．
若 ，则 ， 在 上单调递减，
若 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
综上可得，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ，则 恒成立，
因为 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， ，
所以 恒成立，即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以实数 的取值范围是 ．【变式6-1】已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， 恒成立，
大致图象如下图所示，
则当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递减，无极值点；
当 时， 与 有两个不同交点，
此时 有两个变号零点， 有两个极值点；
当 时， 与 有且仅有一个交点，
此时 有且仅有一个变号零点， 有且仅有一个极值点；
综上所述：当 时， 无极值点；当 时， 有两个极值点；当 时， 有且
仅有一个极值点.
（2）由题意知：当 时， 恒成立；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 ， ，
又 恒成立， ，即实数 的取值范围为 .
【变式6-2】（2024·海南海口·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 ，不等式 成立，求实数 的最大值.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
所以 ，∴令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
又∵ ，∴当 时， ，∴ ，
∴函数 在 ， 上单调递减.
（2）∵ ，且 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ .
∵ ，由（1）知，函数 在 上单调递减，
∴只需 在 上能成立，
∴两边同时取自然对数，得 ，即 在 上能成立.
令 ，则 ，
∵当 时， ，∴函数 在 上单调递增，
当 时， ，∴函数 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴实数 的最大值为 .【变式6-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数
(1)若函数 在 处的切线 也与函数 的图象相切，求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） ，即 ，
函数 在 的切线 的方程为 ，
代入得切线 的方程为 .
，
由切线 的斜率为1，则令 ，解得： ，
由 ，则函数 在 处的切线方程为 ，
代入得： ，这与 重合，所以得 .
（2）由 恒成立，等价于 恒成立，
即： 恒成立， 利用 ，
则令 ，则 .
又 ， 在 上单调递增，
所以不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 .
令 ，所以 ，
因为当 时， ，所以 在 上的单调递增，
又因为当 时， ，所以 在 上的单调递减，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是： .
【变式6-4】（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 .
关于 的方程 ，当 时， ， ，所以 在 上单调递增.
当 时， ，此时 ，
，所以 在 上单调递增.
当 时，则 是方程 的两根.
又 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，可得 ，即 .
令 ，易知 单调递增.
由 ，可得 ，则 ，即 .
设 ，则 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
所以 ，则 的取值范围为 .
题型七：必要性探路
【典例7-1】（2024·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当 时，若 ， ，求实数m的取值范围．
【解析】（1） ．
当 时， ，易知f(x)在R上单调递减．当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 且 ，
∴f(x)在 和 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，令 ，可得 且 ；令 ，可得 ，
∴ 在 和 上单调增，在 上单调递减．
（2）当 时，由 ，得
即 ，
令 ，则
∵ ，且 ，∴存在 ，使得当 时， ，
∴ ，即 ．
下面证明当 时， 对 恒成立．
∵ ，且 ，
∴
设 ，∴ ，可知F(x)在 上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴
综上，实数m的取值范围为 ．
【典例7-2】已知函数 ）在 处的切线斜率为 .
(1)求a的值；
(2)若 ， ，求实数m的取值范围.
【解析】（1） ，
，
， ， ， .（2）由（1）可知 ， ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
，且 ， 存在 ，使得当 时， ，
，即 ；
下面证明当 时， ，
，且 ，
，
设 ， ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
；
当 时，令 ，则 ，
设 ，则 ，且为单调递增函数，
由于 ，故 ，仅在 是取等号，
故 在 上单调递增， ，故 ，即 ，
则 在 上单调递增，而 ，
当 时， 递增的幅度远大于 递增的幅度， ，
故必存在 ，使得 ，则 时， ，
故 在 上单调递减，则 ，与题意不符；
综上，实数m的取值范围为 .
【变式7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的零点个数；
(2)已知函数 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）解：因为函数 的定义域为 ，可得 ，
又因为 ，
当 时， ，所以 在 上为增函数，
当 时， ；当 时， ，
所以存在 ，使得 ，
所以，当 时， 的零点个数为 .
（2）解：由 ，
则 .
当 时， 恒成立，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 ， 在 是增函数，所以 ，
故若 在 上恒成立，则 ，所以实数 的取值范围为 .
【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）函数
(1)求 的单调区间.
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，定义域为 ，
令 ，即 ，即 ，
解得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间
是 .
（2）记 ，则 ，
所以 ，
根据题意原题可化为： 在 时恒成立，求 的取值范围；
因为 ，所以 在 时恒成立的必要条件为 ，
即 ，即 ；
构造函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以有 ，即 在 上恒成立，
令 ，当 时，有 ，
所以 在 上恒成立，
因为 ，不等式两边同时乘以 ，
有 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 时， 在 上恒成立，
综上 ，是 在 时恒成立的充要条件，
所以 的取值范围为 .
【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，又 ，
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增，
即 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）设 ，则 .关于 对称，不妨研究 时的图象性质.
.
令 ，显然 时， ，
下面证明 时， ：
.
，
，则此时 ，
在 上单调递增，则 ，
综上， 时，均有 ，
在 上单调递增，
.
.
【变式7-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上零点的个数；
(2)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，令 ，
则 ，
当 时， ， 在 单调递减，即 在 单调递减，
且 ， ，
，使 ，在 单调递增， 单调递减；
， ，
在 有1个零点；
（2） ，注意到 ，要使 ，则须满足 ，即 ，得
．
下证：当 时， ，均有 ．
当 时，
此时 在 单调递减， 此时 ．
当 时， ，必存在 ，使 在 单调递增，那么 均有
，矛盾．
综上所述：要使 成立的 的取值范围为： ．
【变式7-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，其中 为常数.
(1)当 时，讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 ， ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 时， ， ，
因为 ，有 ， ，所以 ，
于是函数 在 上单调递增.
（2）解法一：
，即 .
因为 ，所以 ，于是 .
令 ，则 .
当 时， ， ， ， ，则有 ，
于是 ，所以 在 上是增函数， ，所以 .
即实数 的取值范围为 .
解法二：
令 ， .
当 时， ， 在 上是增函数， .
当 时， ，而 ，不满足条件；
当 时， 在 上恒成立；
当 时， ， ， 在 上恒成立.
综上： ，即实数 的取值范围为 .
解法三：令 ，由 得 .
下证当 时， .
因为 且 ， ， ，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【变式7-6】（2024·重庆·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程，并求函数的单调区间:
(2)若 在定义域 上的值域是 的子集，求实数 的取值范围.
【解析】（1）解：当 时，可得 ，则 ，
所以 ，且 ，即切线的斜率为 ，切点为 ，
则在点 处的切线方程为 ，即 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 .
（2）解：若 定义域区间 ，由值域区间是定义域 的子集，
则 且 ，即 ，即 ，解得 ；
由 ，可得 ，
令 ，即 ，可得 ，
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，解得 ，
下面证明 ，即 ，即 ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
题型八：max，min函数问题
【典例8-1】已知函数 ， ，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） ， ,
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
当 时， ．
所以当 时， ， 在 上是增函数，又 ，
所以当 时， ；
当 时， ．
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）得，当 时， ，又 ，
所以当 时， 恒成立．
由于当 时， 恒成立，
故 等价于：当 时， 恒成立．
， ．
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ．
从而当 时， ， 单调递增．
①若 ，即 ，则当 时， ， 单调递减，
故当 时， ，不符合题意；
②若 ，即 ，取 ，
则 ，且 ，
故存在唯一 ，满足 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
若 ，则当 时， 单调递增， ，不符合题意；
若 ，则 ，符合题意，此时由 得 ；
若 ，则当 时， 单调递减， ，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数 满足题意．
【典例8-2】已知 是自然对数的底数，函数 ，直线 为曲线 的切线，
．
(1)求 的单调区间；
(2)求 的值；(3)定义 函数 ， 在 上单调递增，求实
数 的取值范围．
【解析】（1） ，
令 ，则 ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2） ,
设曲线 的切点为 ，
则 ，解得 .
（3）令 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
设 ，则 ，
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
所以 ，
所以 ， 在 单调递减，
当 时， ，故 ，
在 单调递减，综上， 在 单调递减.
,
所以 有一个零点，设为 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，且 ，
因为 在 上单调递增，则 在 恒成立，
当 时， 恒成立，
令 ，
，所以 在 单调递减， 单调递增；
.
当 时，由上可知， ，
所以 恒成立，合题.
综上所述： .
【变式8-1】已知函数 ， ，设 表示 ， 的最
大值，设 .
(1)讨论 在 上的零点个数；
(2)当 时 ，求 的取值范围.
【解析】（1） ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增.
①当 时， 在 上单调递增， ， 无零点；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴ ，而 ， ，
∴ ，使得 ，∴ 在 上有且只有一个零点.
综上所述，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上有且只有一个零点.
（2）①当 时， 在 上恒成立，显然 ；②当 时，若 ， ；若 ， .
∴ 等价于 在 上恒成立.
∵ ，∴ .
令 ，则 ；令 ，则 .
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
不妨令 ，则 ，则 .
令 ， ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，故 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴
，
令 ，∴ ，
∴ 在 上单调递减，而 ，
∵ 在 上恒成立，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为 .
【变式8-2】已知函数 ， ，其中 .
(1)证明：当 时， ；当 时， ；
(2)用 表示 中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 ，若不存在，请说明理由.
【解析】（1） ， .当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；
当 时， .
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）知，当 时， ，
又 ，
所以当 时， 恒成立，
由于当 时， 恒成立，
所以 等价于：当 时， .
.
①若 ，当 时， ，
故 ， 递增，此时 ，不合题意；
②若 ，当 时，由 知，
存在 ，使得 ，根据余弦函数的单调性可知，
在 上递增，故当 ， ， 递增，此时 ，不合题意；
③若 ，当 时，由 知，对任意 ， ， 递减，
此时 ，符合题意.
综上可知：存在实数 满足题意， 的取值范围是 .
【变式8-3】已知 为实数，函数 .
(1)若函数 在 处的切线斜率为2，求 的值；
(2)讨论函数 在 上的零点个数；
(3)设 表示 的最大值，设 .当 时， ，求 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为函数 在 处的切线斜率为2，所以 ；
（2） ，
令 ，
，
令 ，解得 .
①当 ，即 时， 在 恒成立，
在 为严格增函数，
，
由零点存在定理知 在 上有唯一零点.
②当 时， 在 恒成立，
在 为严格增函数，
，故 在 恒成立，没有零点.
③当 时
- 0 +
极小值
最小值 ，无零点.
综上， 时 有一个零点， 时 没有零点.
（3）当 时， ，
根据题中定义显然有 .
当 时，
时， ，
根据题中定义显然有 ；
时，
根据题中定义显然有 .
下考虑 时的情况.
，由 解得 ，且
- 0 +
极小值
最小值 .
令 ，则 在 为严格增函数.
① 时，
，故 ，
故 的最小值 ；
② 时，
故 在 上的最小值 ，
而在 上， ，即在 上 ，
此时 .
综上， .
题型九：构造函数技巧
【典例9-1】已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且关于 的不等式 在 上恒成立，其中 是自然对数的底数，求
实数 的取值范围．
【解析】（1）根据题意可知 的定义域为 ，
，令 ，得 ．当 时， 时， ， 时 ；
当 时， 时， ， 时 ．
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）依题意， ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ．
对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ，
则两个零点一正一负，设其正零点为 ，
则 ，即 ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ．
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，故 ，
显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，
则 ，
所以实数 的取值范围为 ．
【典例9-2】已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
【解析】（1）[方法一]:判别式法
由 可得 在R上恒成立，
即 和 ，
从而有 即 ，
所以 ，
因此， ．所以 ．
[方法二]【最优解】：特值+判别式法
由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，
所以 ，因此 .
故 .
（2）[方法一]
令 ， .
又 .
若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，
故存在 ，使 ，不符合题意.当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：特值辅助法
由已知得 在 内恒成立；
由已知得 ，
令 ，得 ，∴ (*)，
令 ， ，当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增，∴ ，∴当 时 在 内恒成立；
由 在 内恒成立，由(*)知 ，∴
，∴ ，解得 .
∴ 的取值范围是 .
（3）[方法一]：判别式+导数法
因为 对任意 恒成立，
① 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
当 ， ，
此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，
则 ，所以 .
令 ，构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
[方法二]：判别式法
由 ，从而对任意的 有 恒成立，等价于对任意的
①，恒成立．
（事实上，直线 为函数 的图像在 处的切线）
同理 对任意的 恒成立，即等价于对任意的
恒成立． ②
当 时，将①式看作一元二次方程，进而有 ，①式的解为 或 （不妨设
）；
当 时， ，从而 或 ，又 ，从而 成立；
当 时，由①式得 或 ，又 ，所以
．
当 时，将②式看作一元二次方程，进而有 ．
由 ，得 ，此时②式的解为 不妨设 ，从而
．
综上所述， ．
[方法三]【最优解】：反证法
假设存在 ，使得满足条件的m，n有 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 对恒成立，所以有
．则有
， ③
， ④解得 ．
由③+④并化简得， ．
因为 在区间 上递增，且 ，
所以， ．
由 对 恒成立，即有 ⑤
对 恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有
．
设 ，则 ，
所以 在区间 上递减，所以 ，即 ．
设不等式⑤的解集为 ，则 ，这与假设矛盾．从而 ．
由 均为偶函数．同样可证 时， 也成立．
综上所述， ．
【整体点评】（1）的方法一利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质，使用判别式得到不等式组，
求解得到；方法二先利用特值求得 的值，然后使用判别式进一步求解，简化了运算，是最优解；（2）中
的方法一利用导数和二次函数的性质，使用分类讨论思想分别求得 的取值范围，然后取交集；方法二先
利用特殊值进行判定得到 ，然后在此基础上，利用导数验证不等式的一侧恒成立，利用二次函数的性
质求得不等式的另一侧也成立的条件，进而得到结论，是最优解；（3）的方法一、方法二中的分解因式
难度较大，方法三使用反证法，推出矛盾，思路清晰，运算简洁，是最优解.
【变式9-1】已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ， ，
，
的图像在 处的切线方程为 ，即 .
（2）解法一：由题意得，因为函数 ，
故有 ，等价转化为 ，
即 在 时恒成立，所以 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以函数 在 时单调递增，
， ，
，使得 ，
当 时， ，即 单调递减，当 时， ，即 单调递
增，
故 ，
由 ，得
在 中， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增， ，即 与 ，
，
，即实数 的取值范围为 .
解法二：因为函数 ，
故有 ，等价转化为： ，
构造 ，
，所以可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 成立，令 ，
令 ， 在 单调递增，
又 ，所以存在 ，使得 ，即 ，
可知 ，
当 时，可知 恒成立，即此时不等式成立；
当 时，又因为 ，
所以 ，与不等式矛盾；综上所述，实数 的取值范围为 .
【变式9-2】已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
设
又 ，∴ 在 上单调递增，
又 ，∴当 时 ，当 时 ，
∴ 的单调递增区间为 .
（2）对函数 求导得， ，令 ，
则 ，∴ 在 上单调递增，
又 ，当 时 ，
故存在唯一正实数 使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，
由 恒成立，得 ，
由 得 ，∴
∴ ，∴ ，
∴ ，
设 ，则 恒成立，
故 在 上单调递增，而 ，
∴ ，
又 且函数 在 上是增函数，
故 的取值范围为法2：同法一得 ，
由 得 ，
∴
，当且仅当 时等号成立，
∴ ，
故 的取值范围为
【变式9-3】已知函数 ．
(1)判断 的导函数 的零点个数；
(2)若 ，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得： 的定义域为 ，且 ，
因为 ，则有：
当 时， 恒成立， 在 内无零点；
当 时，构建 ，则 恒成立，
则 在 上单调递增，
由于 ，取 ，
则 ，
，
故 在 内有且仅有一个零点，即 在 内有且仅有一个零点；
综上所述：当 时， 在 内无零点；
当 时， 在 内有且仅有一个零点.
（2）由题意可知： ，
由（1）可知： 在 内有且仅有一个零点，设为 ，
可得：当 时， ；当 时， ；则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
因为 ，
则 ，且
可得 ，
整理得 ，
构建 ，
则 ，
对于 ，由 ，可得 ，
所以 ，
则 在 上单调递增，且 ，
所以 的解集为 ，
又因为 在定义域内单调递减，
可得 ，所以 ，
故a的取值范围 .
【变式9-4】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 ，
（e为自然对数的底数）．
(1)若函数 的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，所以函数 为增函数，没有最大值；当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
所以当 时， ，
解得： .
（2）由 ，得 ，
化简得： ，
所以对于任意正数x，都有 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，则 ，可得 为增函数，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 可得， ，两边同时取对数，
得 ，
令 ，显然 为增函数，由 ，
得 ，所以 ，
所以 .
所以 ，即 .
故实数a的取值范围为： .题型十：双变量最值问题
【典例10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于 不等式 对任意 和正数 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】设 ， ，
若 ，对任意 和正数 恒成立，
则 ，对任意 和正数 恒成立，
如图，
时， ，对任意 和正数 不恒成立；
如图，
时，
，则 ，
设 ，解得 ，且 ，
∴当 的切线斜率为1时，切点坐标为 ，
由直线的点斜式方程可得切线方程为 ，
即 ，
若 ，对任意 和正数 恒成立，则∴
∴ ，
设 ，
，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考
查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.
【典例10-2】（2024·江苏·模拟预测）已知 ， ，对于 ，
恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】C
【解析】因为对于 ， 恒成立，
所以对于 ， 恒成立，
设 ，所以 .
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 没有最大值，所以这种情况不满足已知；
当 时，
当 时， ，函数 单调递增.
当 时， ，函数 单调递减.
所以 .
所以 .
所以 .
设 ，
所以 ，当 时， ，函数 单调递减.
当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
所以 的最小值为 .
故选：C
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；
（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
【变式10-1】若对于任意正实数 ，都有 ( 为自然对数的底数)成立，则 的最小值
是 .
【答案】0
【解析】因为对于任意正实数 x都有 成立，
不妨将 代入不等式中，得 .
下面证明 时满足题意，
令 ， ，则 .
由 ，得 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 对任意正数x都成立，
即 ， 时满足题意，所以 的最小值为0.
故答案为:0
【变式10-2】已知函数 ， ，其中
(1)若 ，且 的图象与 的图象相切，求 的值；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的最大值.
【解析】（1）因为 的图象与 的图象相切，设切点为 ，
又 ，所以 ，解得 ， .
（2）因为 等价于 ，令 ，
当 时， 对于任意正实数 恒成立， 单调递增，
故由 得 ，此时当 时，由 ，得 ，
又当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增.
所以当 时， 有最小值 ，
所以 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 ，故 ，所以 的最大值为1，此时 ，
综上所述， 的最大值为1.
【点睛】本题考查了切线问题和利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，其中分
类讨论和将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.
【变式10-3】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数 ， ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若曲线 在点(1，0)处的切线为l : x＋y－1＝0，求a，b的值；
（3）若 恒成立，求 的最大值．
【解析】（1）由题意知 ，则 ．
令 得 ，所以 在 上单调递增．
令 得 ，所以 在 上单调递减．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为 ，得 ，
由曲线在 处的切线为 ，可知 ，且 ，
所以
（3）设 ，则 恒成立．
易得（i）当 时，因为 ，所以此时 在 上单调递增．
①若 ，则当 时满足条件，此时 ；
②若 ，取 即 且 ，
此时 ，所以 不恒成立．
不满足条件；
(ii)当 时，令 ，得 由 ，得 ；
由 ，得
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
要使得“ 恒成立”，必须有
“当 时， ”成立．
所以 ．则
令 则
令 ，得 由 ，得 ；
由 ，得 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时，
从而，当 时， 的最大值为 ．
题型十一：恒成立问题求参数的具体值
【典例11-1】已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 ，求 的值．
【解析】（1）当 时，
．
因为 ，所以 ．
所以 在区间 上的单调递增．
（2） ，
当 时， ，所以存在 ，当 时，则 在区间 上单调递减，
所以当 时， ，不满足题意
当 时， ，所以存在 ，当 时，
则 在区间 上单调递增，
所以当 时， ，不满足题意
所以 ．
下面证明 时，
由（1）知， 在区间 上的单调递增，
所以当 时，
所以只要证明 .
令
令 ，
则
①当 时， ，得
所以 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增
且 ，
所以 ，使得 .
且当 时， ；当 时，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
且 ，所以当 时，
所以 在区间 上单调递减，
所以当 时，
②当 时，
因为 ，所以 ，所以
所以 在区间 上单调递减
且
所以 ，使得
当 时， ；当 时，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
且
所以当 时，
综上， 的值为1.
【典例11-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底
数.
(1)证明： 时， ；
(2)求函数 在 内的零点个数；
(3)若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）令 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，所以 时， ；
再令 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 时， .
综上所述， 时， .
（2） ，
，
① 时，由（1）知，
， 在 没有零点；
② 时， ，所以 是函数 的零点；
③当 时， ，
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，则 ，
则函数 在 上单调递减，则 ， 在 没有零点；
④当 ， ，没有零点.
综上所述，当 时，函数 的零点个数为1.
（3）由（2）知，当 时， ，
令
，
则 ，令
，故 单调递增，
①当 时， ，
，使得 ，
当 时， ， 单调递减， 不符合题意；
②当 时， ，若 时，总有 （不恒为零），
则 在 上为增函数，
但 ，故当 时， ，不合题意.
故在 上， 有解，故 ，使得 ，
又 在 时单调速增，所以当 时， ， 单调递增，
故当 时， ，不符合题意，故 不符合题意；
③当 时， ，由于 单调递增， ，
故 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，此时 ，
当 时， ；
综上可得， .
【变式11-1】（2024·河北保定·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的取值集合.
【解析】（1）由 ，得 ，定义域为 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由 ， ，得 ，
若 ，则显然 ，不符合题意，若 ，令 ，解得 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，当满足 时， ，
所以 的取值集合为 .
【变式11-2】（2024·福建福州·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的值
【解析】（1）定义域为 ，由 ，得 ，
因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）定义域为 ， ，
①当 时， ，不符合题意．
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ；
若 恒成立，则 ，设 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减，
所以 ，即 的解为 ．
所以 .
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 （其中 ）， .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 时， ， ，
，故 ，
故函数 在点 的切线方程为 ，即
（2） 时， 恒成立，
故 ，
令 ，定义域为 ，
则 ，令 ，
则 在 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，所以 ， 的取值范围是 .
2．（2024·甘肃酒泉·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，且 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，即 ，无极小值.
（2）若对任意 ，都有 成立，
即 对任意 恒成立，
令 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 为增函数，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，即 ，所以切点坐标为 ，
又因为 ，则 ，
由直线的点斜式方程可得 ，
化简可得 .
（2）因为函数 定义域为 ，且 ，为 上的增函数等价于 在 上恒成立，
由 可得 ，令 ，
所以只需 ，求导可得 ，
令 ，则 ，
即 是 上的减函数，又 ，
故 是 的唯一零点，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故当 时， 取得极大值且为最大值， ，
所以 ，当 时， 不恒为0，满足题意.
所以 的取值范围是 .
4．（2024·广西·模拟预测）设函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)证明： ．
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，
令 ，得 ，
令
因为 ，
所以 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，
所以当 时， ；当 时， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ．
（2）证明： ，
即 ，
的定义域为 ，
且 ．
在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，
又 ，当 趋近于0时， ，
根据零点存在定理可知，导函数 存在唯一的零点，
设该零点为 ．
当 时， ；
当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 ．
则 ，即 ，即 ，
两边同时取对数得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故当 时， ，
即 ．5．（2024·江西·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求 的单调区间；
(3)已知 ，且 ，证明：对任意的 ， ．
【解析】（1） ，
则 ．
因为 ，所以 ，
解得 ， ．
（2） ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 恒成立，即 恒成立，
故 在 上单调递增，无单调递减区间．
（3）证明：由 ，可得 ．
又 ，所以 ．
因为 ， ，所以只需证明 ， ，
即证明 ， ．
先证明 ，即 ，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增．
只需证 ， ，
即 ， ．
令 ， ，则 ，
所以 ，故 ．再证明 ，即 ．同理，只需证明 ，
即 ．
令 ， ，则 ．
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增．
又因为 ， ，
则存在 ，使得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
又因为 ， ，所以 ，故 ．
综上，对任意的 ， ．
6．（2024·河南·三模）已知函数 .
(1)如果 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)如果对于任意的 都有 且 ，求实数 满足的条件.
【解析】（1）当 时， ，
记 ，则 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ，且 ，
，
所以有 ，
，
，令 ，
，，
如果 在 上单调递减 ，
即有 在 上单调递减 ，此时与 矛盾，
故 ，
令 ，
则 ，因为 ，
所以 在 上单调递减， ，
而 ，
故由零点存在定理，可知存在 ，使得 ，
也就是当 时， ，当 时， ，
进一步分析可知存在 ，使得 在 上单调递增，
在 上单调递减，
要使得 恒成立，必有 ，
，
，因为 ，
所以由 ，
如果 ，此时 在 上单调递增，
，满足题意，
如果 在 上单调递增，在 上单调递减，
要使 恒成立，必有 ，所以当 时， 恒成立，
综上有 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数先推导出 时的 的取值范围，再推导出
时的 的取值范围，综合两者所得即可得解.
7．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
令 ，解得 .
与 在区间 上的情况如下：
x
- 0 +
极小值
故 的增区间为 ，减区间为 .
（2）当 时，“ ”恒成立等价于当 时，“ ”恒成立，
令 ， ，则 ， .
当 时， ，所以 在区间 上单调递减.
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.
而 ， ，
所以 在区间 上的最大值为 .
所以当 时，对于任意 ，都有 .
综上所述，满足题意的实数 的取值范围是 .8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
单调递减； 单调递增；
（2） ，
设 ，
①若 ，由（1）知 ，不合题意；
②若 ，
设 单调递减，
，令 ，
单调递增， ，
单调递增， ，不合题意；
③ ，
单调递减， 单调递减， ；
综上， .
9．（2024·河南信阳·模拟预测）设函数 ，
(1)已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知直线 与曲线 ， 分别切于点 ， ，其中 ．
①求证： ；
②已知 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由已知可得 ，其中 ，
设 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，当 时， ，即 在 上单调递减，
所以， ；
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以， ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
（2）①因为 ， ，则 ， ，
所以，直线 可表示为 ，即 ，
直线 的方程也可表示为 ，即 ，
故有 ，所以， ，
所以， ，即 ，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
又因为 ， ，所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ， ，
所以，函数 在 上无零点，
因为 ，所以，存在 ，使得 ，
所以， ，则 ；
②由①可知， ，当 时， ，由 可得 ，
设 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以， ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
10．（2024·黑龙江·三模）设函数
(1)讨论 的单调性;
(2)若 为正数，且存在 ，使得 求 的取值范围.
【解析】（1）
①当 时， ， 在 上单调递增;
②当 时， ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，由上问知 的最小值为
由题意得 即
令 则
所以 在 上单调递增，又
所以 时， ，于是
当 时， ，于是
故 的取值范围为 .11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ．
(1)若存在唯一的负整数 ，使得 ，求 的取值范围；
(2)若 ，当 时， ，求 的取值范围．
【解析】（1） ，当 时， ，当 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，作出 与 的大致图象如图所示，
因为存在唯一的负整数 ，使得 ，则 ，
故 ，即 ，解得 ，
故 的取值范围为 ．
（2）根据题意， 对 恒成立，
等价于 对 恒成立，
令 ，则有 ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 时， 时， ，
从而存在唯一的 ，使得 ，
即 ，可得 ，
当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
故 ，
故原不等式恒成立只需 ，
即 ．
构造函数 ，
可得 ，
当 时，令 ，因为 ，
从而可得 在 时恒成立，又 ，
所以 的解集为 ，
又因为 ，
令 ，易得 在定义域内单调递减，
所以 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
12．（2024·福建厦门·三模）已知函数 .
(1)若 ，设 ，讨论函数 的单调性；
(2)令 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【解析】（1） .
∴ .令 ，
则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
∴ ，即
∴ 在 和 上单调递减.
（2）函数 的定义域为 ， ，
∴ .
①当 时，则 ，则当 时， ，∴函数 在 单调递增，
∴存在 ，使得 的充要条件是 ，即 ，
解得 ；
②当 时，则 ，则当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
∴存在 ，使得 的充要条件是 ，
而 ，不符合题意，应舍去.
③若 时， ，成立.
综上可得： 的取值范围是 .
13．（2024·云南昭通·模拟预测）设函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 时，函数 的定义域为 ，因为 ，所以，当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）函数 的定义域为 ，
等价于 ，
设 ，则 ，
设 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，当 ，当 ，
所以 ，使得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，所以 单调递减，
当 时， ，所以 单调递增，
所以 ，
设 ，则 ，而 恒成立，
所以 为增函数，
由 ，所以 .
因为 均为减函数，所以 在 上为减函数，
所以，当 时， ，所以实数 的取值范围为
14．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)如果存在 ，使得当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，求导得： ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，
因为存在 ，使得当 时，恒有 成立，则存在 ，使得当 时， ，
令 ，即有 ， 恒成立，
求导得 ，令 ， ，
因此函数 ，即函数 在 上单调递增，而 ，
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增，
， 成立，从而 ，
当 时， ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，不符合题意，
所以 的取值范围是 .
15．（2024·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 ， ，则 ，
当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
+ 0
↗ 极大值 ↘
综上所述，当 是， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 等价于 ，令 ，
当 时， ，所以 不恒成立，不合题意.
当 时， 等价于 ，
由（1）可知 ，
所以 ，对 有解，所以 对 有解，
因此原命题转化为存在 ，使得 .令 ， ，则 ，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ，故 在 上单调递减，
当 时， ， ，故 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）依题意，存在 ，使得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，因此 ，故 的取值范围为 ．
17．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2) ， ，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， 显然成立，此时 可为任意实数；
当 时，由 ， 在 上恒成立，得 ，
令 ， ，
则 ，
设 ，由（1）可知， 在 上单调递增，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
则 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
18．（2024·江西·二模）设函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ， ，
当 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减；当 时，令 ，则 ，
所以 时， ； 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）不等式 ，
化简得 ，
设 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以在 上， ，且 ， ，
当 ，即 时， ，
在 上单调递减， ，不合题意，舍去；
当 ，即 时，
若 且 ，即 ， ，
使得 ，当 时， ， 在 内单调递减， ，不符合题意，舍
去；
若 且 ，即 ， ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
所以 恒成立，符合题意；若 且 ，即 ， 恒成立，
在 上单调递增，则 ，符合题意.
综上，实数a的取值范围为 .
19．（2024·安徽·三模）已知函数 ．
(1)求证： 至多只有一个零点；
(2)当 时， 分别为 的极大值点和极小值点，若 成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由题意得， ，
当 时，令 ，解得 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，此时函数 有唯一的零点 ；
②当 时， ，
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，
时， 单调递增，
又 ，
则函数 在区间 上无零点，
在 上至多只有一个零点，
所以函数 至多只有一个零点；
③当 时， ，
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，
时， 单调递增，
又 ，
则函数 在 上至多只有一个零点，在区间 上无零点，
所以函数 至多只有一个零点，
综上，函数 至多只有一个零点；（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 的极大值点为 ，极小值点为 ，
此时 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ,
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
①当 时， ，此时 恒成立，则 在 上单调递增，
所以 ，此时 ，
②当 时， ，设 的两个根为 ，且 ，
则 ，所以 ，
则当 时， ，此时 在 上单调递减，
所以当 时， ，此时 ，与 矛盾，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
20．（2024·四川雅安·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
，
，在 上单调递增， ，
的值域为
（2）法一：令 ，
①当 时， 在 上恒成立.
②当 时，
，
在 上单调递增， 成立.
③当 时， ，
，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，
，
存在 使得当 时 ，故 在 上单调递减，
则 ，不合题意.
④当 时，令 ，
则 ，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，
，即 在 上单调递增， 成立.
综上， 的取值范围是 .
法二：令 ，
，
令 得 .
①当 时， ，
令 ，，
单调递增，故
在 上单调递增， 恒成立.
②当 时， ，
，使 ，这与 恒成立矛盾.
综上， .
21．（2024·北京海淀·二模）已知函数 .
(1)若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求证：函数 恰有一个零点；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， .
① .
所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
②由①知 ，且 .
当 时，因为 ，所以 ；
当 时，因为 ，所以 .
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
因为 .
所以函数 恰有一个零点.
（2）由 得 .设 ，则 .
所以 是 上的减函数.
因为 ，
所以存在唯一 .
所以 与 的情况如下：
+ 0 -
极大
所以 在区间 上的最大值是
.
当 时，因为 ，所以 .
所以 .
所以 ，符合题意.
当 时，因为 ，所以 .
所以 ，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
22．（2024·辽宁·二模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ， ，
在 处的切线为 ， ，
解得： ， .
（2）由 得： ，
令 ，则当 时， 恒成立；；
①当 时， ， ， ，
在 上单调递减， ，不合题意；
②当 时， ，
i.当 ，即 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增， ，符合题意；
ii.当 ，即 时，
若 ，则 ， 在 上单调递减，
此时 ，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
23．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意 ，不等式 成立，求a的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ．
所以 ．
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ，定义域为 ，
所以 ．因为 ，令 ，即 ，
解得 ， ，所以 ．
当x变化时， ， 的变化情况如下表所示．
x 2
0 0
单调递
单调递减 极小值 极大值 单调递减
增
所以 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
（3）在（2）的条件下， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
因为对于任意 ，不等式 成立，
所以 ， ， ．
所以 ，得 ， ，得 ；
，得 ．
因为 ，
所以 ．
所以a的取值范围是 ．
24．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【解析】（1）由于 ，则切点坐标为 ，因为 ，所以切线斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， 等价于 ，
令 ， ，
恒成立，则 恒成立， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ，不符合题意；
当 时，由 ，得 ，
时， ，函数 单调递减， ，不符合题意；
当 时， ，因为 ，所以 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增， ，符合题意．
综上所述， ．
25．（2024·天津·二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为2，求 的值；
(2)当 时，证明： ， ；
(3)若 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由 ，可知 ，
因为 在 处的切线斜率为2，
所以 ，所以， ．
（2）证明：当 时， ，要证 ，
即证 ，两边取对数得， ，
即证 ，
令 ，只需证 即可．．
所以， 在 上单调递减．
所以， 成立，
所以 ， .
（3）若 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立．
令 ．则 ，
令 ， ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 时单调递增．
可知 ．
当 时， ，即 ，所以 在 时单调递增．
所以 成立．
当 时， ，
当 时， ，
所以 使得 ．
当 时， ，即 ，所以 此时单调递减；
当 时， ，即 ，所以 此时单调递增；
所以， 不成立，舍去．
综上， ．
26．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，若曲线 不在 轴的上方，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
，且 ，故在点 处的切线方程为： ，
即 .
（2）曲线 不在 轴的上方，即 恒成立，
且
设
设
设
时，
故存在 ，在区间 上， 在 上递增，
故 时， ，即 在 上递增，
故 时， ，即 在 上递增，
故 时， ，不满足 恒成立，舍去.
时， ，故
设 ，则 ，故 单调递减，
所以 ，
故
所以 单调递减，故 恒成立.
综上得：实数 的取值范围为 .
27．（2024·江西南昌·二模）已知 且 .
(1)当 时，求证： 在 上单调递增;
(2)设 ，已知 ，有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
令 ，则 ，两边取对数得 .设 ，则 ，
所以 在 单调递增，
所以 时 ，即 时， ，
所以 时 恒成立，即 ，
所以 在 上单调递增.
（2）法一:
，即 ，两边取对数得: ，即 .
设 ，则问题即为：当 时， 恒成立.
只需 时， .
，令 得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
又因为 ，则 ，所以 时， 单调递减，
所以 时， ，
所以 即 .
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
当 时， ， 时， ，
所以 的图象与 轴有1个交点，设这个交点为 ，
因为 ，所以 ；
所以当 时， ，即当 时，不等式 ，
所以当不等式 在 恒成立时， .
即实数 的取值范围为 .
法二： ，即 ，两边取对数得： ，即
设 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减.
又因为 ，所以 ， 在 单调递减，
由 ，则 在 恒成立，即 ，
上式等价于 ，即 ，
由 在 单调递减，所以 .
即实数 的取值范围为 .
