文档内容
重难点突破 08 利用导数解决一类整数问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离....................................................................2
题型二：整数解问题之直接限制法....................................................................................................3
题型三：整数解问题之虚设零点........................................................................................................4
题型四：整数解问题之必要性探路....................................................................................................5
03 过关测试...........................................................................................................................................7利用导数解决一类整数问题常见技巧有：
1、分离参数、分离函数、半分离
2、直接限制法
3、虚设零点
4、必要性探路
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合 中仅有2个整数，则实数k的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】若函数 有两个零点 ，且存在唯一的整数 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于2
的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【变式1-2】已知函数 ，若不等式 的解集中有且仅有一个整数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数 ，且存在唯一的整数 ，
使得 ，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，若存在唯
一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
题型二：整数解问题之直接限制法
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于 ， ，使得不等式
恒成立，则整数x的最大值为 ．
【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数 在区间 上有最小值，则
整数 的一个取值可以是 ．
【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整
数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过 轴上一点 作曲线 的切线，若这样的切
线不存在，则整数 的一个可能值为 ．
【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的图象在
处的切线过原点．(1)求 的值；
(2)设 ，若对 总 ，使 成立，求整数 的最
大值．
【变式2-4】已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为整数，且关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
题型三：整数解问题之虚设零点
【典例3-1】已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求整数a的最大值．
【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数 ，对任意的 ，关于 的方程
有两个不同实根，则整数 的最小值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当 时， 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数 ， ，对任意 ，存在
使得不等式 成立，则满足条件的 的最大整数为 .
【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，不等式 恒成立，求整数 的最大值．
题型四：整数解问题之必要性探路
【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在 上的函数 ，若存在 ，使得 ，则称
为 的一个不动点．设函数 ，已知 为函数 的不动点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，且 对任意满足条件的 成立，求整数 的最大值．
（参考数据： ， ， ， ， ）
【典例4-2】已知函数 ，对 ，不等式
恒成立，则整数 的最大值是 .
【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据 ， ）
【变式4-2】已知 ，函数 ， ．(1)若 ，求证： 在 上是增函数；
(2)若存在 ，使得 对于任意的 成立，求最大的整数 的值．
【变式4-3】已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在 上恒成立，求整数a的最小值.
【变式4-4】 ，对 ， ，求整数 的最小值．1．已知函数 ，若有且只有两个整数 使得 ，且 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的最
小整数为 ．
3．（2024·云南·三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则 的取值范
围是 .
4．（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x的不等式 对任意的 恒成立，则整数k
的最大值为 .
5．（2024·甘肃·三模）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，则整数 的最大
值为 .
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知函数 ，若 的解集中恰有一个整数，则m
的取值范围为 ．
7．（2024·高三·上海宝山·期中）若不等式 的解集中仅有2个整数，则实数k的取
值范围是 ．
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)当 时，对任意 ，都有 ，求整数 的最大值．9．（2024·贵州·一模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对 恒成立，求整数a的最小值．
10．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上的最大值在区间 内，求整数m的值．
11．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且存在整数 使得 恒成立，求整数 的最大值.
（参考数据： ， ）
12．设函数
(1)求 的单调区间
(2)若 ，k为整数，且当 时 ，求k的最大值13．已知 ， R．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求整数a的最小值．
14．已知函数 .
(1)若函数 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ， 在 上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据： ， ）
15．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为 .
(1)求实数a的值及函数 的单调区间；
(2)若 时， ，求整数m的最大值.
16．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 .
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值.
17．已知函数 ， 在 上恒成立，求整数k的最大值.18．已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求整数m的最小值
19．（2024·高三·广东·开学考试）已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若对定义域内的一切实数 ，都有 ，求整数 的最小值．
（参考数据： ）
