文档内容
重难点突破 05 利用导数研究恒(能)成立问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：直接法....................................................................................................................................3
题型二：端点恒成立............................................................................................................................5
题型三：端点不成立............................................................................................................................6
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离............................................................................7
题型五：洛必达法则............................................................................................................................9
题型六：同构法与朗博同构..............................................................................................................10
题型七：必要性探路..........................................................................................................................11
题型八：max，min函数问题...........................................................................................................13
题型九：构造函数技巧......................................................................................................................14
题型十：双变量最值问题..................................................................................................................16
题型十一：恒成立问题求参数的具体值..........................................................................................17
03过关测试.........................................................................................................................................181、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
4、法则1若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则2若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；
（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；（3） ，
那么 = ．
法则3若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，
否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)试比较 与 的大小；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．【典例1-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
【变式1-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）设
(1)当 ，求函数 的零点个数.
(2)函数 ，若对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围题型二：端点恒成立
【典例2-1】（2024·广西·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，求 的取值范围.
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 有3个极值点，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【变式2-1】（2024·山西·三模）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围
【变式2-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.题型三：端点不成立
【典例3-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ．（ ）
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【典例3-2】（2024·山东泰安·三模）已知函数 .
(1)讨论 的最值；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围.
【变式3-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 （ ， ）在点 处的切线
方程为 ．
(1)求函数 的极值；
(2)设 （ ），若 恒成立，求 的取值范围．
【变式3-2】（2024·安徽合肥·模拟预测） .
(1)若 的图象在点 处的切线经过原点，求 ；(2)对任意的 ，有 ，求 的取值范围.
【变式3-3】（2024·浙江金华·三模）已知函数 在 （ 为自然对数的底数）处取得极
值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式 恒成立，求k的范围．
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 极值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【典例4-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 ，函数 ．
(1)若直线 与函数 交于点A，直线 与函数 交于点B，且函数 在点
A处的切线与函数 在点B处的切线相互平行或重合，求a的取值范围；
(2)函数 在其定义域内有两个不同的极值点 ， ，且 ，存在实数 使得不
等式 恒成立，求实数 的取值范围．【变式4-1】已知函数 ．
(1)若函数 ， ，讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数b的取值范围．
【变式4-2】（2024·山东济南·三模）已知函数 ，其中 且 ．
(1)若 是偶函数，求a的值；
(2)若 时， ，求a的取值范围．
【变式4-3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数 的两个极值点分别为 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求正数 的取值范围（其中 为自然对数的底数）．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线与
轴平行．
(1)求实数 的值；
(2)若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【变式4-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 .(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
题型五：洛必达法则
【典例5-1】已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处
的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【典例5-2】设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
【变式5-1】设函数 ．如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
【变式5-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若对任意的 恒成立，求 的范围.题型六：同构法与朗博同构
【典例6-1】已知函数 .
(1)若 ，判断 的零点个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【变式6-1】已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【变式6-2】（2024·海南海口·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 ，不等式 成立，求实数 的最大值.【变式6-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数
(1)若函数 在 处的切线 也与函数 的图象相切，求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【变式6-4】（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
题型七：必要性探路
【典例7-1】（2024·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当 时，若 ， ，求实数m的取值范围．
【典例7-2】已知函数 ）在 处的切线斜率为 .
(1)求a的值；
(2)若 ， ，求实数m的取值范围.
【变式7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 .(1)当 时，求 的零点个数；
(2)已知函数 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）函数
(1)求 的单调区间.
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围.
【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
【变式7-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上零点的个数；
(2)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【变式7-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，其中 为常数.
(1)当 时，讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 ， ，求实数 的取值范围.【变式7-6】（2024·重庆·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程，并求函数的单调区间:
(2)若 在定义域 上的值域是 的子集，求实数 的取值范围.
题型八：max，min函数问题
【典例8-1】已知函数 ， ，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【典例8-2】已知 是自然对数的底数，函数 ，直线 为曲线 的切线，
．
(1)求 的单调区间；
(2)求 的值；
(3)定义 函数 ， 在 上单调递增，求实
数 的取值范围．
【变式8-1】已知函数 ， ，设 表示 ， 的最大值，设 .
(1)讨论 在 上的零点个数；
(2)当 时 ，求 的取值范围.
【变式8-2】已知函数 ， ，其中 .
(1)证明：当 时， ；当 时， ；
(2)用 表示 中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 ，若不存在，请说明理由.
【变式8-3】已知 为实数，函数 .
(1)若函数 在 处的切线斜率为2，求 的值；
(2)讨论函数 在 上的零点个数；
(3)设 表示 的最大值，设 .当 时， ，求 的取值范围.
题型九：构造函数技巧
【典例9-1】已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且关于 的不等式 在 上恒成立，其中 是自然对数的底数，求
实数 的取值范围．【典例9-2】已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
【变式9-1】已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式9-2】已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【变式9-3】已知函数 ．
(1)判断 的导函数 的零点个数；
(2)若 ，求a的取值范围．【变式9-4】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 ，
（e为自然对数的底数）．
(1)若函数 的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x， 恒成立，求实数a的取值范围．
题型十：双变量最值问题
【典例10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于 不等式 对任意 和正数 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例10-2】（2024·江苏·模拟预测）已知 ， ，对于 ，
恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【变式10-1】若对于任意正实数 ，都有 ( 为自然对数的底数)成立，则 的最小值
是 .
【变式10-2】已知函数 ， ，其中
(1)若 ，且 的图象与 的图象相切，求 的值；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的最大值.
【变式10-3】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数 ， ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若曲线 在点(1，0)处的切线为l : x＋y－1＝0，求a，b的值；
（3）若 恒成立，求 的最大值．题型十一：恒成立问题求参数的具体值
【典例11-1】已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 ，求 的值．
【典例11-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底
数.
(1)证明： 时， ；
(2)求函数 在 内的零点个数；
(3)若 ，求 的取值范围.
【变式11-1】（2024·河北保定·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的取值集合.
【变式11-2】（2024·福建福州·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 恒成立，求 的值
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 （其中 ）， .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求 的取值范围.
2．（2024·甘肃酒泉·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 为增函数，求 的取值范围.
4．（2024·广西·模拟预测）设函数 ， ．(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)证明： ．
5．（2024·江西·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求 的单调区间；
(3)已知 ，且 ，证明：对任意的 ， ．
6．（2024·河南·三模）已知函数 .
(1)如果 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)如果对于任意的 都有 且 ，求实数 满足的条件.
7．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围.
8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的最小值；(2)若 时， 恒成立，求 的取值范围.
9．（2024·河南信阳·模拟预测）设函数 ，
(1)已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知直线 与曲线 ， 分别切于点 ， ，其中 ．
①求证： ；
②已知 对任意 恒成立，求 的取值范围．
10．（2024·黑龙江·三模）设函数
(1)讨论 的单调性;
(2)若 为正数，且存在 ，使得 求 的取值范围.
11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ．
(1)若存在唯一的负整数 ，使得 ，求 的取值范围；
(2)若 ，当 时， ，求 的取值范围．
12．（2024·福建厦门·三模）已知函数 .(1)若 ，设 ，讨论函数 的单调性；
(2)令 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
13．（2024·云南昭通·模拟预测）设函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
14．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)如果存在 ，使得当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
15．（2024·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．17．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2) ， ，求 的取值范围.
18．（2024·江西·二模）设函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
19．（2024·安徽·三模）已知函数 ．
(1)求证： 至多只有一个零点；
(2)当 时， 分别为 的极大值点和极小值点，若 成立，求实数k的取值范围．
20．（2024·四川雅安·三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
21．（2024·北京海淀·二模）已知函数 .(1)若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求证：函数 恰有一个零点；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.
22．（2024·辽宁·二模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
23．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意 ，不等式 成立，求a的取值范围．
24．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求a的取值范围．25．（2024·天津·二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为2，求 的值；
(2)当 时，证明： ， ；
(3)若 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
26．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，若曲线 不在 轴的上方，求实数 的取值范围.
27．（2024·江西南昌·二模）已知 且 .
(1)当 时，求证： 在 上单调递增;
(2)设 ，已知 ，有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
